11 抽象向量空間

【官方雙語/合集】線性代數(shù)的本質(zhì) - 系列合集_嗶哩嗶哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili?www.bilibili.com

再來討論一下“什么是向量？”。二維平面內(nèi)它是一個箭頭，也是一個數(shù)組。但這兩者只是某種更深刻的東西的表象。將向量表現(xiàn)為數(shù)組，給了高維空間更容易的理解方式，使得高維向量看上去像是一個可操作的真實具體的概念。

但是對于處理空間的人來說，坐標(biāo)與選取的基向量相關(guān)。而現(xiàn)在一些核心內(nèi)容如行列式、特征向量等，它們不受所選坐標(biāo)的影響。行列式是一個變換對面積的縮放比例，特征向量則是在變換中留在它所張成空間中的向量，兩者都暗含于空間中的性質(zhì)，改變坐標(biāo)系并不會改變他們最根本的值。

如果向量根本不是一個數(shù)組，他們的本質(zhì)其實更具空間性。那么數(shù)學(xué)家所說的空間或空間性究竟是什么呢？

今天的課程將討論一種既不是箭頭也不是一組數(shù)字，但是同樣具有向量特性的東西——函數(shù)。從某種意義上說，函數(shù)實際上是另一種向量。

函數(shù)可進(jìn)行加和與數(shù)乘運算，而因為向量也不過只有相加和數(shù)乘兩種運算，所以最初以空間中箭頭為背景來建立的線性代數(shù)的合理概念和解決問題的手段，例如：線性變換，列空間、點積、特征值、特征向量等，應(yīng)該能夠直接應(yīng)用于函數(shù)。

函數(shù)作為線性變換有一個完全合理的解釋。這個變換接收一個函數(shù)，把它變成另一個函數(shù)。可以找到一個常見的例子，導(dǎo)數(shù)。

有時你聽到的是“算子”而不是“變換”，他們意思相同。一個函數(shù)變換是線性的，需要滿足以下兩條性質(zhì)。

即線性變換保持向量加法運算和數(shù)乘運算。

前面課程所討論過的網(wǎng)格線保持平行且等距分布的概念，只是線性在二維空間這一特殊情況下的體現(xiàn)。

求導(dǎo)就是一種線性運算，他符合以上兩個條件。

為了掌握這里的類比關(guān)系，來看一下矩陣描述求導(dǎo)是什么樣子。我們的空間是全體多項式。首先要做的是給這個空間賦予坐標(biāo)的含義，這是要選取基，很自然的就選取x的方冪（

）作為基函數(shù)，這個基函數(shù)集是無窮大的。

每個多項式的坐標(biāo)就是有現(xiàn)成的一串系數(shù)再加上無限長的一串0。

在這個坐標(biāo)系中，求導(dǎo)是用一個無限矩陣來描述的。其中絕大部分是0，而上對角線上按序列排布的正整數(shù)。這個矩陣是對每個基函數(shù)求導(dǎo)后，代入作為列向量得到的。

求導(dǎo)過程：

乍一看矩陣向量乘法和求導(dǎo)是毫不相干的。但它們其實屬于同一族概念。很多線性代數(shù)中的概念，在函數(shù)中都有直接類比。

數(shù)學(xué)中有很多類似向量的事物。只要所處理對象，具有合理的數(shù)乘和加和概念，不管是空間中的箭頭、一組數(shù)還是函數(shù)集合，線性代數(shù)中所有關(guān)于向量、線性變換和其他的概念都應(yīng)該適用于它。這些類似向量的事物，它們構(gòu)成的集合被稱為向量空間。

如果要讓已經(jīng)建立好的線代理論和概念適用于一個空間，那么必須滿足8條公理。這8條公理保證新定義的向量，其加法和數(shù)乘符合你一直接受的狀態(tài)。

在新定義的向量空間中應(yīng)用線性代數(shù)的結(jié)論之前，需要驗證它的定義是否滿足以上要求。

在數(shù)學(xué)的表達(dá)中，我們傾向于得到用普適的概念，而普適的代價就是抽象。

總結(jié)

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