已知航天器在中心天體O附近的位置矢量和速度矢量，如何求解該航天器的軌道？如果是一枚彈道導彈，如何預測落點？解決這些問題，實質都是求解航天器的軌道。本文將利用開普勒第二定律推導航天器的軌道參數，并對軌道的一元二次方程解的形式進行討論，解釋不同的解情況意味著什么。最后，利用東方紅一號衛星的軌道數據進行了驗證。

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Miracle：行星轉移相位角計算推導?zhuanlan.zhihu.com

一、問題

已知航天器在中心天體O附近的位置矢量和速度矢量，如何求解該航天器的軌道？

假設僅有一個中心天體，其質量遠大于航天器質量。當航天速度小于中心天體的第二宇宙速度時，則其被中心天體捕獲，軌道為橢圓形，中心天體在橢圓的一個焦點上。對于橢圓軌道而言，只要我們確定了近地點PE（Perigee）和遠地點AP（Apogee）距離中心天體的距離，就能得到整個橢圓軌道的方程。

二、求解

根據開普勒第二定律，行星與中心天體連線，在相同時間內掃過的面積相等。假設航天器初始位置是A，速度方向是v，在t時間內運行到了B點，即掃過的面積為OAB。需要注意的是，由于AB段是弧線，因此OAB是一個不規則形狀。我們假設時間t是一個很短的時間dt，則可以將OAB近似為一個三角形。則開普勒第二定律可以表示為：三角形OAB的面積隨時間的變化速率為一個定值。

用公式來表示則為

如右圖所示，這個三角形的OA和OB分別為初始時的位置矢量r和末位置矢量r'，AB為速度v的方向。在dt的時間內，AB段近似為直線，長度為vdt。三角形OAB的面積可以表示為底邊OA乘B點的高度。已知初始位置矢量r和速度矢量的夾角，則面積可表示為

面積變化速率為常數，則

為了求得橢圓軌道，我們只需要知道O到PE點和AP點的距離，而PE點和AP點處速度矢量與位置矢量垂直，夾角為90度。我們任選PE點或AP點，設定其速度為v距離為r。根據題目，我們已知軌道上某一點A處的速度和位置矢量的大小和方向，假設大小和夾角分別為?，為滿足開普勒第二定律，則

上面這個形式是不是看著很眼熟。
其實，他就是角動量守恒的變型。在這個引力系中，航天器的角動量守恒。角動量的表示是 ?，其中r表示位矢，p表示動量，中間那個乘號是向量的叉乘，而叉乘也正好對應了上式中夾角的正弦項。
因此，開普勒第二定律，實際是角動量守恒的幾何解釋。

這個方程有兩個變量，分別是r和v，因此我們還需要一個方程。

在質量為M的單個中心天體的引力系中，滿足機械能守恒，即動能與勢能之和為0。我們以無窮遠處為零勢能點，則距離為r，速度為v處，質量為m的航天器機械能為

其中G為引力常數。為了保證航天器被中心天體束縛，在接近無窮遠處速度一定要為零，否則就逃逸。因此上式中的Const常數在航天器被捕獲的情況下恒為負數。

根據機械能守恒方程，我們可以建立第二個等式

至此，我們得到了兩個方程

將（2）式兩邊同時乘r的平方，將（1）式帶入，可以得到關于r的一元二次方程

我們可以很容易地利用公式得到這個一元二次方程的解

當根號不為零時，方程有兩個解，分別對應著近地點PE和遠地點AP的軌道高度。當根號為零時，表示兩個解相等，這意味著軌道為圓軌道。那么，這個根號內部是否有可能小于零呢？

三、討論

接下來，我們重點分析一下根號內部的情況。將上面的兩個常數帶入，我們進一步化簡根號的內部

由此可知，根號內部是一個平方項，滿足大于等于0，不會小于零。我們發現這樣的方程不會出現無解情況，這似乎超出了我們的預期：我們可能會認為無解應該對應著逃逸軌道。其實這也很好理解，我們在計算軌道時已經假定是橢圓軌道而進行推導，逃逸軌道屬于雙曲線軌道，并不符合假定。所以我們的橢圓軌道計算方程一直是有解的。

為什么這兩個解分別對應了近地點和遠地點。我們可以利用經驗來簡單地解釋一下。首先，上述的解變為

接下來，我們來想辦法去掉絕對值的符號。

前面提到，常數C2是小于零的，因此

至此，我們僅能知道絕對值內最大值，無法知道下限是否能小于0。如果我們換一種方式來理解絕對值內部的情況，將會變得很有意思

這個式子等于零的條件是軌道為正圓，在正圓軌道的任意一點，如果我們加速（減速），都會導致遠地點速度變小，近地點速度變大，進入一個更大（更小）的橢圓軌道。從而產生一個大v一個小v兩個解，正好印證了大v會導致絕對值內部大于零，小v導致絕對值內部小于零。

四、驗證

我們選取我國發射的第一顆衛星——東方紅一號的軌道數據進行驗證。選取衛星處于遠地點附近的數據，軌道速度6.52km/s，軌道高度2035.04km，假設位置矢量與速度矢量夾角為90度。地球半徑帶入6371km，地球質量取5.965E24kg，萬有引力常量取6.67E-11。計算得到C1為5.48E10，C2為-2.60748E7，則AP點和PE點分別為8422km和6836km，AP點和PE點的高度分別為2051km和465km。實際衛星的AP和PE點高度分別為2035km和438km。我們的方程計算誤差小于30km。考慮到實際衛星飛行是多體引力問題，而且低軌會有大氣減速效應，這樣的誤差是可以接受的。

（衛星數據來源：http://stuffin.space/）

東方紅1號衛星軌道數據

東方紅一號衛星在天上已經飛行了五十多年了，遠地點軌道也下降了幾百公里。由于近地點較高，它將仍然在太空中飛行著。它是中國人太空征程的起點，意義非凡。也許將來的某一天，我國的航天技術發展到可以將其帶回地球，即使那時，我們也始終不會忘記在追逐星辰大海的路上，一代代航天人不懈拼搏的壯美畫面！

總結

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