這篇將會從最開始的公式開始說起。

在高數的范圍中，線積分被限制在二維和三維空間，面積分則被限制在三維空間中。于是后面的分析也被局限在三維空間，而不擴展到n維空間。

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正文

首先應當將線積分和面積分分類，了解接下來要面對的是什么，然后有一個清晰的思路。

線積分分為一類和二類，二者在高數的范圍內又可以分為二維和三維：

當然，在這里略去了二維中求通量的的第二類線積分。為了說明的簡單，這部分內容忽略了。

面積分也可以分為一類和二類，都是在三維空間下的：

可以看到，即使都是第二類的積分，但是二者也是有差別的。線積分處理的是向量場對切向量的點積，而面積分處理的是對法向量的點積。由此應該可以預知到，二者在處理上總還是會有點不同的。

現在上述表達式的積分一般來說還是“不可計算”的，還得轉化成可以計算的微元。它們通常有兩種轉化方法：

1、化為已有變量（直接法）：

2、化為參數式（參數法）：

這三個公式便是最開始的公式，運用它們實際上就已經可以計算線面積分了。但是如果總是這樣處理的話未免不覺得很麻煩。因此接下來需要從這幾個公式開始逐步推導出更加方便實用的公式。

不過在此之前，應當稍微了解一下這些公式是怎么得來的，以及對這些公式進行一些解讀。

（稍微先提一下，線積分中化為已有變量的公式實際上是有問題的。原因是一元定積分定義中乘的微元不是小區間的長度，而是自變量的增量

。這會導致這個公式的對線積分的描述與面積分不同：線積分可以由積分上下限表示方向，而面積分的積分上下限都是下限小于上限。）

對直接法的解讀

首先應當知道公式

的由來。

接下來這部分的說明大部分在二維空間中進行，在必要的地方將會在三維空間說明。公式的由來以二維為例：

手繪…

以一小段的切線近似微元

，選擇其到某一個軸投影，比如在這里或許是 軸（即“曲面” ）。易見有關系：

易見可以用以曲線的梯度和投影面的單位法向量的點積來表示

：

所以公式中的

所表示的為投影面 的單位法向量。通常來說，我們習慣在笛卡爾坐標系下處理問題。于是若是在二維空間， 選擇投影到 軸上，則 ，且 ；在三維空間， 選擇投影到 平面上，則 ，且 。

并且可以發現，這個證明是很容易推廣到三維中的面積分的，但是卻不能輕易的推廣到三維中的線積分。這個小瑕疵就留到后面再處理了。

實際上，到這里就可以開始具體的計算第一類線面積分了。

例：

， 為 的上半部分，求 。

為 ，于是 ， 。

選擇投影到

軸，于是 。則 。

不過很快可以發現一個問題。如果對整個圓做線積分，很顯然結果是0 。但是計算的時候卻不能直接一次性的寫出來：

此時

，則 ，

一樣的投影到

軸，則 ，這樣得到的積分仍然是：

這仍然只是得到了上半部分的結果。可以意識到，這個圓上下部分在

軸都有同樣的的投影，這導致出現了這樣的問題。應該分別處理上下部分。

不管怎么說，這個計算總是有問題的，并且在處理整圓的時候也是麻煩的。接下來就會逐漸解決這樣的問題。

前面在解讀

的時候，很自然的把 放在笛卡爾坐標系下。但是不止如此，在常見的坐標系中，二維里有極坐標系，三維里有柱坐標系和球坐標系，或者投影到的是笛卡爾坐標系下傾斜的平面等等。我們當然地總會希望這個公式更普適一點。

但是很快會發現這樣的推廣會出現一些問題。以二維的極坐標為例，當

投影到圓上（即 ）時：

將

選擇投影到 與 的“曲面”（后面都將這么稱呼）上。

則在

面上， ；在 面上， 。但是積分式依舊是：

對于同一個曲線，

是一樣的；投影面都是圓，于是單位法向量都是 ，也就是意味著 是一樣的（顯然如此）。并且曲線投影在不同 的曲面上，積分上下限 的取值都是一樣的。但是整個積分式卻有 在變化，于是這樣便會求出兩個不同的值：

選擇不同的投影面就會得到不同的值，如果更極端的話，投影到

的曲面上，那么整個積分值就會是 。這顯然是不可能的。

雖然夾角

不變，但是 卻變了。可以想起來，在笛卡爾坐標系中，投影到 與 的 并無不同，三維空間中投影到 與 也是如此。但是在極坐標，或者球坐標下的 卻有明顯的伸縮。

可以認為，

描述的實際上是 到 的“傾斜程度”，而在不同的面上投影會有 不同的“伸縮程度”。因此投影的時候必須避免由投影面 的不同帶來的伸縮的干擾。

于是投影時，可以這么處理：在笛卡爾坐標系里實際上是

處的一小塊曲線 投影到 的投影面上。同樣的 的一小塊曲線應當投影在 的投影面上。這樣就避免了伸縮。

所以實際上積分應為：

可以看到，

中的 是在變化的，這就得使 處的微小曲面投影到同樣 的曲面上。三維的球坐標下也應該是如此。

既然如此，實際上就可以用前面拉梅系數的知識來處理

了。運用前一篇的知識可以很清晰的寫出各種正交坐標系下的投影面積微元 。

如投影到球坐標下的

曲面，則 ；投影到 曲面，則 等等。

若以

轉化的角度而不是投影的方式看，（三維中） ，本身就是與 投影所在的 的位置相關的。其關系就體現在拉梅系數中，因此也就不必考慮伸縮的問題，只需要簡單的“寫出” 的表達式即可。

當然，于此相對應的，

與 都應當用此坐標系下的基底來表示：

（以后會更為廣泛的用

來替代之前的 等。即在變量上加上 表示其對應的單位法向量。）

因此在比較任意的正交曲線坐標系下，（三維中）公式

應該解讀為：

重新來審視前面的例題：

例：

， 為 的上半部分，求 。

在極坐標下有：

， ，則 ，且 。

選擇投影到

曲面，則 ， 。

即使是整個圓也非常簡單，前面的操作依舊如此，只不過最后的積分上下限改成

罷了。這樣得到的結果就是 ，非常符合預期。

當然，現在只是剛開始對公式

的解讀而已，雖然上面舉的是第一類線積分的例子，但是這個公式卻并不局限于第一類的積分。更具體的分析以及簡化將在后面的筆記中詳細展示。

對參數法的解讀

對參數法公式

的由來就直接略掉了…二者在思路上是與直接法類似的。

在具體的解讀上…似乎也沒啥好說的，參數化之后算就完事了。各個變量的運算過程都十分清晰，也不會出什么幺蛾子。

不過需要注意的是，雖然很多時候參數化也就是“借用”其他坐標系下的表示曲面的方法，但是用直接法選擇不同的坐標系和曲面的參數化還是很不是那么一回事。

不同的坐標表示相當于是整個空間的變化

，而參數化可以狹義的認為處理的只是曲面的徑矢的表示 。而空間依然是笛卡爾坐標系下的表示。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的两个空间点直接距离投影公式_线积分与面积分（2）：最初的公式的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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