【數學知識】非線性方程求解的二分法以及牛頓迭代法

本博客不談及理論推導，只提供代碼實現，關于理論推導，大家可以查看其它博客文章。

導入包

import sys

import math

import sympy as sp

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

%matplotlib inline

二分法

class ConditionError(Exception):

def __init__(self,ErrorInfo):

super().__init__(self)

self.errormsg = ErrorInfo

def __str__(self):

return self.errormsg

def BisectionMethod(f,a,b,err=1e-5,max_iter=100):

'''A root-finding method:Bisection method.

Args

----------

f: callable function

The nonlinear function to be solved.

a,b: float

The initial interval, which satisfies the condition:a

err: float

Tollerence of the result.

max_iter: int

Maximun iterations.

Outs

----------

x0: float

The root between interval [a,b].

tol: float

Tollerence of the result.

iters:

Number of iterations when the method stopped.

'''

if a>b:

raise ConditionError('Wrong interval setup,it must be: a

if (f(a)>0 and f(b)>0) or (f(a)<0 and f(b)<0):

print("Can't find the root of function as the condition is insurficient!")

n = 1

while n

c = (a+b)/2

print("n={},c={}".format(n,f(c)))

if f(c)==0 or (b-a)/2

x0=c

break

n += 1

if f(a)*f(c)>0:

a = c

else:

b = c

print("求解結果：n={},tol={},x0={}".format(n,abs(f(x0)),x0))

tol, iters = abs(f(x0)), n

return x0,tol,iters

問題1

求解方程

(x+5)(x?1)(x?3)=0(x+5)(x-1)(x-3)=0(x+5)(x?1)(x?3)=0

求解步驟:

1、畫圖確定根的大致位置，選擇根的初始區間[a,b]

2、使用二分法函數BisectionMethod進行求解

def f(x):

'''Nonlinear function to be solved

$f(x)=(x+5)(x-1)(x-3)$

'''

return (x+5)*(x-1)*(x-3)

x = np.linspace(-6, 6, num = 1000)

y = f(x)

plt.plot(x,y)

ax = plt.gca()

ax.spines['right'].set_color('none')

ax.spines['top'].set_color('none') # 將右邊 上邊的兩條邊顏色設置為空 其實就相當于抹掉這兩條邊

ax.xaxis.set_ticks_position('bottom')

ax.yaxis.set_ticks_position('left') # 指定下邊的邊作為x軸 指定左邊的邊為y軸

ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0)) #指定data設置的bottom(也就是指定的x軸)綁定到y軸的0這個點上

ax.spines['left'].set_position(('data', 0))

BisectionMethod(f,-7,4,err=1e-5)

n=1,c=39.375

n=2,c=28.546875

n=3,c=-35.712890625

n=4,c=2.945556640625

n=5,c=-14.629669189453125

n=6,c=-5.418788909912109

n=7,c=-1.1327033042907715

n=8,c=0.9321668744087219

n=9,c=-0.09380341321229935

n=10,c=0.4207942122593522

n=11,c=0.16389898478519171

n=12,c=0.03514874020766001

n=13,c=-0.029302090633791522

n=14,c=0.002929635346163195

n=15,c=-0.01318464989051904

n=16,c=-0.005127112848040127

n=17,c=-0.0010986401466772655

n=18,c=0.000915522250586609

n=19,c=-9.155278530671024e-05

n=20,c=0.0004119862733211405

n=21,c=0.00016021712917794583

求解結果：n=21,tol=0.00016021712917794583,x0=-4.999996662139893

(-4.999996662139893, 0.00016021712917794583, 21)

BisectionMethod(f,0,2,err=1e-5)

n=1,c=-0.0

求解結果：n=1,tol=0.0,x0=1.0

(1.0, 0.0, 1)

BisectionMethod(f,2,4,err=1e-5)

n=1,c=0.0

求解結果：n=1,tol=0.0,x0=3.0

(3.0, 0.0, 1)

編程作業

使用二分法求解以下方程的根：

x2?ex=0x^2-e^x=0x2?ex=0

# 請在此區域書寫求解代碼

牛頓迭代法

使用到包sympy

sympy教程：https://geek-docs.com/python/python-tutorial/python-sympy.html

SymPy 是用于符號數學的 Python 庫。 它旨在成為功能齊全的計算機代數系統。 SymPy 包括從基本符號算術到微積分，代數，離散數學和量子物理學的功能。 它可以在 LaTeX 中顯示結果。

SymPy 是使用pip install sympy命令安裝的。

t = np.linspace(-5,5,100)

y = t*np.exp(t)-100

plt.plot(t,y)

ax = plt.gca()

ax.spines['right'].set_color('none')

ax.spines['top'].set_color('none') # 將右邊 上邊的兩條邊顏色設置為空 其實就相當于抹掉這兩條邊

ax.xaxis.set_ticks_position('bottom')

ax.yaxis.set_ticks_position('left') # 指定下邊的邊作為x軸 指定左邊的邊為y軸

ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0)) #指定data設置的bottom(也就是指定的x軸)綁定到y軸的0這個點上

ax.spines['left'].set_position(('data', 0))

def NewtonMethod(f,x0,err=1e-5,max_iter=1000):

'''A root-finding method:Newton method.

Args

----------

f: callable function

The nonlinear function to be solved.

x0: float

The initial x0

err: float

Tollerence of the result.

max_iter: int

Maximun iterations.

Outs

----------

result: float

The root between interval.

'''

x=sp.symbols("x")

f=sp.integrate(f, x) # 先求不定積分

f=sp.diff(f) # 再求導

if sp.diff(f).subs(x,x0)==0:

return x0

n=1

x_new=x0

while n<=max_iter:

x_new=x0-f.subs(x,x0)/sp.diff(f).subs(x,x0)

#x_new=float(x_new)

if math.fabs(x_new-x0)

return float(x_new)

x0=x_new

n+=1

print("無法在設定的循環步數內獲得指定精度的近似解")

return float(x_new)

x=sp.symbols("x") # 定義符號

f=x*sp.exp(x)-100 # 需要注意，各種初等函數符號，例如exp，cos，sin等，均需要使用sympy指定的符號構建

x0 = 3

xr = NewtonMethod(f,x0,err=1e-3,max_iter=1000)

print("求根結果：", float(xr))

求根結果： 3.385630140831713

編程作業

使用牛頓迭代法求解以下方程的根：

x3?ex=0x^3-e^x=0x3?ex=0

# 請在此區域書寫求解代碼

【作者簡介】陳藝榮，男，目前在華南理工大學電子與信息學院廣東省人體數據科學工程技術研究中心攻讀博士，擔任IEEE Access、IEEE Photonics Journal的審稿人。兩次獲得美國大學生數學建模競賽(MCM)一等獎，獲得2017年全國大學生數學建模競賽(廣東賽區)一等獎、2018年廣東省大學生電子設計競賽一等獎等科技競賽獎項，主持一項2017-2019年國家級大學生創新訓練項目獲得優秀結題，參與兩項廣東大學生科技創新培育專項資金、一項2018-2019年國家級大學生創新訓練項目獲得良好結題，發表SCI論文4篇，授權實用新型專利8項，受理發明專利13項。

我的主頁

我的Github

我的CSDN博客

我的Linkedin

原文鏈接:https://blog.csdn.net/m0_37201243/article/details/105953253

總結

以上是生活随笔為你收集整理的python迭代法求解非线性方程_荐【数学知识】非线性方程求解的二分法以及牛顿迭代法...的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。