前言

本專題旨在快速了解常見的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法。

在需要使用到相應(yīng)算法時(shí)，能夠幫助你回憶出常用的實(shí)現(xiàn)方案并且知曉其優(yōu)缺點(diǎn)和適用環(huán)境。并不涉及十分具體的實(shí)現(xiàn)細(xì)節(jié)描述。

圖的最短路徑算法

最短路徑問題是圖論研究中的一個(gè)經(jīng)典算法問題，旨在尋找圖(由結(jié)點(diǎn)和路徑組成的)中兩結(jié)點(diǎn)之間的最短路徑。

算法具體的形式包括：確定起點(diǎn)的最短路徑問題：即已知起始結(jié)點(diǎn)，求最短路徑的問題。適合使用Dijkstra算法。

確定終點(diǎn)的最短路徑問題：與確定起點(diǎn)的問題相反，該問題是已知終結(jié)結(jié)點(diǎn)，求最短路徑的問題。在無向圖中該問題與確定起點(diǎn)的問題完全等同，在有向圖中該問題等同于把所有路徑方向反轉(zhuǎn)的確定起點(diǎn)的問題。

確定起點(diǎn)終點(diǎn)的最短路徑問題：即已知起點(diǎn)和終點(diǎn)，求兩結(jié)點(diǎn)之間的最短路徑。

全局最短路徑問題：求圖中所有的最短路徑。適合使用Floyd-Warshall算法。

主要介紹以下幾種算法：Dijkstra最短路算法(單源最短路)

Bellman–Ford算法(解決負(fù)權(quán)邊問題)

SPFA算法(Bellman-Ford算法改進(jìn)版本)

Floyd最短路算法(全局/多源最短路)

常用算法

Dijkstra最短路算法(單源最短路)

算法介紹：

迪科斯徹算法使用了廣度優(yōu)先搜索解決賦權(quán)有向圖或者無向圖的單源最短路徑問題，算法最終得到一個(gè)最短路徑樹。該算法常用于路由算法或者作為其他圖算法的一個(gè)子模塊。

指定一個(gè)起始點(diǎn)(源點(diǎn))到其余各個(gè)頂點(diǎn)的最短路徑，也叫做“單源最短路徑”。例如求下圖中的1號(hào)頂點(diǎn)到2、3、4、5、6號(hào)頂點(diǎn)的最短路徑。

使用二維數(shù)組e來存儲(chǔ)頂點(diǎn)之間邊的關(guān)系，初始值如下。

我們還需要用一個(gè)一維數(shù)組dis來存儲(chǔ)1號(hào)頂點(diǎn)到其余各個(gè)頂點(diǎn)的初始路程，如下。

將此時(shí)dis數(shù)組中的值稱為最短路的“估計(jì)值”。

既然是求1號(hào)頂點(diǎn)到其余各個(gè)頂點(diǎn)的最短路程，那就先找一個(gè)離1號(hào)頂點(diǎn)最近的頂點(diǎn)。通過數(shù)組dis可知當(dāng)前離1號(hào)頂點(diǎn)最近是2號(hào)頂點(diǎn)。當(dāng)選擇了2號(hào)頂點(diǎn)后，dis[2]的值就已經(jīng)從“估計(jì)值”變?yōu)榱恕按_定值”，即1號(hào)頂點(diǎn)到2號(hào)頂點(diǎn)的最短路程就是當(dāng)前dis[2]值。

既然選了2號(hào)頂點(diǎn)，接下來再來看2號(hào)頂點(diǎn)有哪些出邊呢。有2->3和2->4這兩條邊。先討論通過2->3這條邊能否讓1號(hào)頂點(diǎn)到3號(hào)頂點(diǎn)的路程變短。也就是說現(xiàn)在來比較dis[3]和dis[2]+e[2][3]的大小。其中dis[3]表示1號(hào)頂點(diǎn)到3號(hào)頂點(diǎn)的路程。dis[2]+e[2][3]中dis[2]表示1號(hào)頂點(diǎn)到2號(hào)頂點(diǎn)的路程，e[2][3]表示2->3這條邊。所以dis[2]+e[2][3]就表示從1號(hào)頂點(diǎn)先到2號(hào)頂點(diǎn)，再通過2->3這條邊，到達(dá)3號(hào)頂點(diǎn)的路程。

這個(gè)過程有個(gè)專業(yè)術(shù)語叫做“松弛”。松弛完畢之后dis數(shù)組為：

接下來，繼續(xù)在剩下的3、4、5和6號(hào)頂點(diǎn)中，選出離1號(hào)頂點(diǎn)最近的頂點(diǎn)4，變?yōu)榇_定值，以此類推。

最終dis數(shù)組如下，這便是1號(hào)頂點(diǎn)到其余各個(gè)頂點(diǎn)的最短路徑。

核心代碼：

//Dijkstra算法核心語句

for(i=1;i<=n-1;i++)

{

//找到離1號(hào)頂點(diǎn)最近的頂點(diǎn)

min=inf;

for(j=1;j<=n;j++)

{

if(book[j]==0 && dis[j]

{

min=dis[j];

u=j;

}

}

book[u]=1;

for(v=1;v<=n;v++)

{

if(e[u][v]

{

if(dis[v]>dis[u]+e[u][v])

dis[v]=dis[u]+e[u][v];

}

}

}

關(guān)于復(fù)雜度：M：邊的數(shù)量

N：節(jié)點(diǎn)數(shù)量

通過上面的代碼我們可以看出，我們實(shí)現(xiàn)的Dijkstra最短路算法的時(shí)間復(fù)雜度是O(N^2)。其中每次找到離1號(hào)頂點(diǎn)最近的頂點(diǎn)的時(shí)間復(fù)雜度是O(N)。

優(yōu)化:這里我們可以用“堆”(以后再說)來優(yōu)化，使得這一部分的時(shí)間復(fù)雜度降低到O(logN)。

另外對(duì)于邊數(shù)M少于N^2的稀疏圖來說(我們把M遠(yuǎn)小于N^2的圖稱為稀疏圖，而M相對(duì)較大的圖稱為稠密圖)，我們可以用鄰接表來代替鄰接矩陣，使得整個(gè)時(shí)間復(fù)雜度優(yōu)化到O((M+N)logN)。

請(qǐng)注意！在最壞的情況下M就是N^2，這樣的話MlogN要比N^2還要大。但是大多數(shù)情況下并不會(huì)有那么多邊，因此(M+N)logN要比N^2小很多。

Dijkstra思想總結(jié)：

dijkstra算法本質(zhì)上算是貪心的思想，每次在剩余節(jié)點(diǎn)中找到離起點(diǎn)最近的節(jié)點(diǎn)放到隊(duì)列中，并用來更新剩下的節(jié)點(diǎn)的距離，再將它標(biāo)記上表示已經(jīng)找到到它的最短路徑，以后不用更新它了。這樣做的原因是到一個(gè)節(jié)點(diǎn)的最短路徑必然會(huì)經(jīng)過比它離起點(diǎn)更近的節(jié)點(diǎn)，而如果一個(gè)節(jié)點(diǎn)的當(dāng)前距離值比任何剩余節(jié)點(diǎn)都小，那么當(dāng)前的距離值一定是最小的。(剩余節(jié)點(diǎn)的距離值只能用當(dāng)前剩余節(jié)點(diǎn)來更新，因?yàn)榍蟪隽俗疃搪返墓?jié)點(diǎn)之前已經(jīng)更新過了)

dijkstra就是這樣不斷從剩余節(jié)點(diǎn)中拿出一個(gè)可以確定最短路徑的節(jié)點(diǎn)最終求得從起點(diǎn)到每個(gè)節(jié)點(diǎn)的最短距離。

用鄰接表代替鄰接矩陣存儲(chǔ)

總結(jié)如下：

可以發(fā)現(xiàn)使用鄰接表來存儲(chǔ)圖的時(shí)間空間復(fù)雜度是O(M)，遍歷每一條邊的時(shí)間復(fù)雜度是也是O(M)。如果一個(gè)圖是稀疏圖的話，M要遠(yuǎn)小于N^2。因此稀疏圖選用鄰接表來存儲(chǔ)要比鄰接矩陣來存儲(chǔ)要好很多。

Bellman–Ford算法(解決負(fù)權(quán)邊問題)

思想：

bellman-ford算法進(jìn)行n-1次更新(一次更新是指用所有節(jié)點(diǎn)進(jìn)行一次松弛操作)來找到到所有節(jié)點(diǎn)的單源最短路。

bellman-ford算法和dijkstra其實(shí)有點(diǎn)相似，該算法能夠保證每更新一次都能確定一個(gè)節(jié)點(diǎn)的最短路，但與dijkstra不同的是，并不知道是那個(gè)節(jié)點(diǎn)的最短路被確定了，只是知道比上次多確定一個(gè)，這樣進(jìn)行n-1次更新后所有節(jié)點(diǎn)的最短路都確定了(源點(diǎn)的距離本來就是確定的)。

現(xiàn)在來說明為什么每次更新都能多找到一個(gè)能確定最短路的節(jié)點(diǎn)：

1.將所有節(jié)點(diǎn)分為兩類：已知最短距離的節(jié)點(diǎn)和剩余節(jié)點(diǎn)。

2.這兩類節(jié)點(diǎn)滿足這樣的性質(zhì)：已知最短距離的節(jié)點(diǎn)的最短距離值都比剩余節(jié)點(diǎn)的最短路值小。(這一點(diǎn)也和dijkstra一樣)

3.有了上面兩點(diǎn)說明，易知到剩余節(jié)點(diǎn)的路徑一定會(huì)經(jīng)過已知節(jié)點(diǎn)

4.而從已知節(jié)點(diǎn)連到剩余節(jié)點(diǎn)的所有邊中的最小的那個(gè)邊，這條邊所更新后的剩余節(jié)點(diǎn)就一定是確定的最短距離，從而就多找到了一個(gè)能確定最短距離的節(jié)點(diǎn)，不用知道它到底是哪個(gè)節(jié)點(diǎn)。bellman-ford的一個(gè)優(yōu)勢是可以用來判斷是否存在負(fù)環(huán)，在不存在負(fù)環(huán)的情況下，進(jìn)行了n-1次所有邊的更新操作后每個(gè)節(jié)點(diǎn)的最短距離都確定了，再用所有邊去更新一次不會(huì)改變結(jié)果。而如果存在負(fù)環(huán)，最后再更新一次會(huì)改變結(jié)果。原因是之前是假定了起點(diǎn)的最短距離是確定的并且是最短的，而又負(fù)環(huán)的情況下這個(gè)假設(shè)不再成立。

Bellman-Ford 算法描述：創(chuàng)建源頂點(diǎn) v 到圖中所有頂點(diǎn)的距離的集合 distSet，為圖中的所有頂點(diǎn)指定一個(gè)距離值，初始均為 Infinite，源頂點(diǎn)距離為 0；

計(jì)算最短路徑，執(zhí)行 V - 1 次遍歷；對(duì)于圖中的每條邊：如果起點(diǎn) u 的距離 d 加上邊的權(quán)值 w 小于終點(diǎn) v 的距離 d，則更新終點(diǎn) v 的距離值 d；

檢測圖中是否有負(fù)權(quán)邊形成了環(huán)，遍歷圖中的所有邊，計(jì)算 u 至 v 的距離，如果對(duì)于 v 存在更小的距離，則說明存在環(huán)；

偽代碼：

BELLMAN-FORD(G, w, s)

INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G, s)

for i 1 to |V[G]| - 1

do for each edge (u, v) E[G]

do RELAX(u, v, w)

for each edge (u, v) E[G]

do if d[v] > d[u] + w(u, v)

then return FALSE

return TRUE

SPFA(Bellman-Ford算法改進(jìn)版本)SPFA算法是1994年西安交通大學(xué)段凡丁提出

spfa可以看成是bellman-ford的隊(duì)列優(yōu)化版本，正如在前面講到的，bellman每一輪用所有邊來進(jìn)行松弛操作可以多確定一個(gè)點(diǎn)的最短路徑，但是用每次都把所有邊拿來松弛太浪費(fèi)了，不難發(fā)現(xiàn)，只有那些已經(jīng)確定了最短路徑的點(diǎn)所連出去的邊才是有效的，因?yàn)樾麓_定的點(diǎn)一定要先通過已知(最短路徑的)節(jié)點(diǎn)。

所以我們只需要把已知節(jié)點(diǎn)連出去的邊用來松弛就行了，但是問題是我們并不知道哪些點(diǎn)是已知節(jié)點(diǎn)，不過我們可以放寬一下條件，找哪些可能是已知節(jié)點(diǎn)的點(diǎn)，也就是之前松弛后更新的點(diǎn)，已知節(jié)點(diǎn)必然在這些點(diǎn)中。

所以spfa的做法就是把每次更新了的點(diǎn)放到隊(duì)列中記錄下來。

偽代碼：

ProcedureSPFA;

Begin

initialize-single-source(G,s);

initialize-queue(Q);

enqueue(Q,s);

while not empty(Q) do begin

u:=dequeue(Q);

for each v∈adj[u] do begin

tmp:=d[v];

relax(u,v);

if(tmp<>d[v])and(not v in Q)then enqueue(Q,v);

end;

end;

End;

如何看待 SPFA 算法已死這種說法？

在非負(fù)邊權(quán)的圖中，隨手卡 SPFA 已是業(yè)界常識(shí)。在負(fù)邊權(quán)的圖中，不把 SPFA 卡到最慢就設(shè)定時(shí)限是非常不負(fù)責(zé)任的行為，而卡到最慢就意味著 SPFA 和傳統(tǒng) Bellman Ford 算法的時(shí)間效率類似，而后者的實(shí)現(xiàn)難度遠(yuǎn)低于前者。

Floyd最短路算法(全局/多源最短路)此算法由Robert W. Floyd(羅伯特·弗洛伊德)于1962年發(fā)表在“Communications of the ACM”上。同年Stephen Warshall(史蒂芬·沃舍爾)也獨(dú)立發(fā)表了這個(gè)算法。Robert W．Floyd這個(gè)牛人是朵奇葩，他原本在芝加哥大學(xué)讀的文學(xué)，但是因?yàn)楫?dāng)時(shí)美國經(jīng)濟(jì)不太景氣，找工作比較困難，無奈之下到西屋電氣公司當(dāng)了一名計(jì)算機(jī)操作員，在IBM650機(jī)房值夜班，并由此開始了他的計(jì)算機(jī)生涯。此外他還和J.W.J. Williams(威廉姆斯)于1964年共同發(fā)明了著名的堆排序算法HEAPSORT。

算法介紹：

上圖中有4個(gè)城市8條公路，公路上的數(shù)字表示這條公路的長短。請(qǐng)注意這些公路是單向的。我們現(xiàn)在需要求任意兩個(gè)城市之間的最短路程，也就是求任意兩個(gè)點(diǎn)之間的最短路徑。這個(gè)問題這也被稱為“多源最短路徑”問題。

現(xiàn)在需要一個(gè)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來存儲(chǔ)圖的信息，我們?nèi)匀豢梢杂靡粋€(gè)4*4的矩陣(二維數(shù)組e)來存儲(chǔ)。

核心代碼：

for(k=1;k<=n;k++)

for(i=1;i<=n;i++)

for(j=1;j<=n;j++)

if(e[i][j]>e[i][k]+e[k][j])

e[i][j]=e[i][k]+e[k][j];

這段代碼的基本思想就是：

最開始只允許經(jīng)過1號(hào)頂點(diǎn)進(jìn)行中轉(zhuǎn)，接下來只允許經(jīng)過1和2號(hào)頂點(diǎn)進(jìn)行中轉(zhuǎn)……允許經(jīng)過1~n號(hào)所有頂點(diǎn)進(jìn)行中轉(zhuǎn)，求任意兩點(diǎn)之間的最短路程。一旦發(fā)現(xiàn)比之前矩陣內(nèi)存儲(chǔ)的距離短，就用它覆蓋原來保存的距離。

用一句話概括就是：從i號(hào)頂點(diǎn)到j(luò)號(hào)頂點(diǎn)只經(jīng)過前k號(hào)點(diǎn)的最短路程。另外需要注意的是：Floyd-Warshall算法不能解決帶有“負(fù)權(quán)回路”(或者叫“負(fù)權(quán)環(huán)”)的圖，因?yàn)閹в小柏?fù)權(quán)回路”的圖沒有最短路。例如下面這個(gè)圖就不存在1號(hào)頂點(diǎn)到3號(hào)頂點(diǎn)的最短路徑。因?yàn)?->2->3->1->2->3->…->1->2->3這樣路徑中，每繞一次1->-2>3這樣的環(huán)，最短路就會(huì)減少1，永遠(yuǎn)找不到最短路。其實(shí)如果一個(gè)圖中帶有“負(fù)權(quán)回路”那么這個(gè)圖則沒有最短路。

代碼實(shí)現(xiàn)：

#include

int main()

{

int e[10][10],k,i,j,n,m,t1,t2,t3;

int inf=99999999; //用inf(infinity的縮寫)存儲(chǔ)一個(gè)我們認(rèn)為的正無窮值

//讀入n和m，n表示頂點(diǎn)個(gè)數(shù)，m表示邊的條數(shù)

scanf("%d %d",&n,&m);

//初始化

for(i=1;i<=n;i++)

for(j=1;j<=n;j++)

if(i==j) e[i][j]=0;

else e[i][j]=inf;

//讀入邊

for(i=1;i<=m;i++)

{

scanf("%d %d %d",&t1,&t2,&t3);

e[t1][t2]=t3;

}

//Floyd-Warshall算法核心語句

for(k=1;k<=n;k++)

for(i=1;i<=n;i++)

for(j=1;j<=n;j++)

if(e[i][j]>e[i][k]+e[k][j] )

e[i][j]=e[i][k]+e[k][j];

//輸出最終的結(jié)果

for(i=1;i<=n;i++)

{

for(j=1;j<=n;j++)

{

printf("%10d",e[i][j]);

}

printf("\n");

}

return 0;

}

總結(jié)

關(guān)于BellmanFord和SPFA再說兩句

SPFA只是BellmanFord的一種優(yōu)化，其復(fù)雜度是O(kE)，SPFA的提出者認(rèn)為k很小，可以看作是常數(shù)，但事實(shí)上這一說法十分不嚴(yán)謹(jǐn)(原論文的“證明”竟然是靠編程驗(yàn)證，甚至沒有說明編程驗(yàn)證使用的數(shù)據(jù)是如何生成的)，如其他答案所說的，在一些數(shù)據(jù)中，這個(gè)k可能會(huì)很大。而Dijkstra算法在使用斐波那契堆優(yōu)化的情況下復(fù)雜度是O(E+VlogV)。SPFA，或者說BellmanFord及其各種優(yōu)化(姜碧野的國家集訓(xùn)隊(duì)論文就提到了一種棧的優(yōu)化)的優(yōu)勢更主要體現(xiàn)在能夠處理負(fù)權(quán)和判斷負(fù)環(huán)吧(BellmanFord可以找到負(fù)環(huán)，但SPFA只能判斷負(fù)環(huán)是否存在)。

補(bǔ)充算法

還有一些最短路算法的優(yōu)化或者引申方法，感興趣可以谷歌一下：Johnson算法

Bi-Direction BFS算法

…

參考

關(guān)注我

我目前是一名后端開發(fā)工程師。技術(shù)領(lǐng)域主要關(guān)注后端開發(fā)，數(shù)據(jù)安全，爬蟲，5G物聯(lián)網(wǎng)等方向。

微信：yangzd1102

個(gè)人博客：

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的沃舍尔算法_[数据结构拾遗]图的最短路径算法的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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