「序列化」（serialization），指的是把復雜的數據結構轉化為線性結構，以方便存儲的過程。序列化得到的線性結構必須能重建出原有的結構，才有意義。

　　對于二叉樹，常用的序列化方法是在樹上進行某種遍歷（如先序、中序、后序、層序），用一種或兩種遍歷結果作為序列化結果。但并不是隨便選一種或兩種遍歷結果，都能把二叉樹重建出來。本文將給出二叉樹序列化能夠重建的一個充分條件，并且在實用中，這個條件也可以認為是必要的。

一、幾種常見的序列化方法

1.1 僅使用一種遍歷的序列化方法

　　這是最常見的序列化方法。可以采用的遍歷順序包括先序、后序、層序。在遍歷時，要把空指針也包含在遍歷的結果中。例如，對下圖的二叉樹，進行先序、后序、層序遍歷的結果分別為 12##3#4##、##2###431、123###4##（# 表示空指針）。

　　從這幾種遍歷的結果重建二叉樹的過程是顯然的，程序從略。其時間復雜度為 O(n)，n 為樹中的結點數。

　　而僅根據（帶空指針的）中序遍歷，是不能重建二叉樹的。比如，上面這棵樹的中序遍歷為 #2#1#3#4#。事實上可以證明，任何一棵二叉樹的中序遍歷結果，都會是空指針與樹中結點交替出現的形式，所以空指針沒有提供任何額外的信息。

1.2 使用兩種遍歷的序列化方法

　　這是學習二叉樹時的常見思考題：如何根據兩種遍歷結果（不含空指針）重建二叉樹。并不是任意兩種遍歷結果都能重建二叉樹，我們先考慮一種可行的情況：已知先序和中序遍歷。

　　以上圖中的二叉樹為例，它的先序遍歷為 124536，中序遍歷為 425136。先序遍歷的第一個元素 1 一定是根，以這個元素為分界點把中序遍歷結果分成兩半，可以得到 425 和 36，這就是左子樹和右子樹各自的中序遍歷。在先序遍歷中取同樣長度的兩個子序列，得到 245 和 36，這就是兩個子樹的先序遍歷了。由此可以遞歸地重建出整棵二叉樹。Python 代碼如下（Node 類的定義從略）：

def

　　我們注意到，程序正常運行的一個條件是樹中沒有重復的元素。否則，在中序遍歷中就不一定能確定根的位置了。

　　另外，上面這個程序使用了 index 函數，它的時間復雜度不是 O(1) 的。在某些編程語言中，截取一個序列的子序列需要把子序列復制一份，這也不是 O(1) 的。這些因素導致整個程序的時間復雜度高于 O(n)，在最壞情況下可以達到 O(n^2)。一個解決辦法是把兩個已知序列包裝成輸入流（如 Python 中的 collections.deque），在創建根結點時，暫時先不去找它在中序遍歷中的位置，而是遞歸下去，直到在中序遍歷中遇到根結點時再返回來。Python 代碼如下，其中 stop 參數表示在中序遍歷中遇到什么元素就該返回了。

from

　　這段程序理解起來稍微困難一些，不過它更能揭示「先序 + 中序」與「先序 + 空指針」兩種序列化方式的相似之處。在這段程序中，中序遍歷的作用是用做遞歸終止條件，即告訴程序哪些地方應當是空指針。也就是說，「中序遍歷」與「空指針」提供的是相同的信息，只不過更間接一些。

　　現在來看其它使用兩種遍歷的序列化方法。「后序 + 中序」的情況跟「先序 + 中序」的情況是十分類似的，把上面兩段程序稍加修改，都可以用于「后序 + 中序」的重建（具體要修改哪里留作練習）。但已知先序和后序遍歷結果時，是不能重建二叉樹的，例如下面兩棵樹的先序遍歷都是 12，后序遍歷都是 21。

　　同時也可以發現，上圖中兩棵樹的層序遍歷也都是 12。因此，依靠「層序 + 先序」或「層序 + 后序」兩種遍歷結果，也都不能重建二叉樹。依靠「層序 + 中序」是可以重建的，具體方法將在下一小節最后說明。

1.3 二叉搜索樹（BST）的序列化方法

　　二叉搜索樹（binary search tree, BST）是這樣一種二叉樹：對任一結點，它的左子樹中所有結點都小于（或等于）本身，而右子樹中所有結點都大于（或等于）本身。BST 的定義不統一，有些定義不允許樹中有重復元素，有些定義允許各個結點的單側子樹中有等于本身的元素，有些定義允許兩側都有等于本身的元素。本文采用最寬松的定義，但本小節僅討論沒有重復元素的情況，至于這個條件的放寬，留到第三大節中討論。

　　如果已知一棵樹是 BST，那么只需要知道先序、后序、層序遍歷中的一者（不需要包含空指針）就足以重建了。這是因為，把這些遍歷結果排個序，就是中序遍歷，從而化歸成了上一小節的情況。這說明，BST 的順序與中序遍歷提供的是同樣的信息。當然，排序的時間復雜度是 O(n log n)，高于重建的復雜度 O(n)。能不能繞過排序呢？也是可以的，只要我們能在重建過程中，根據「樹是 BST」這個條件得知哪些地方是空指針。

　　例如，在已知先序遍歷結果時，可以用如下方法重建 BST。inf 代表一個比所有元素都大的值。在上一小節里，我們用「中序遍歷的開頭就是上面某層的根結點（stop）」作為空指針的判斷條件。現在沒有中序遍歷了，但我們可以改用「先序遍歷的下一個結點大于等于 stop」作為空指針的判斷條件。

from

　　已知后序遍歷時的重建方法與已知先序遍歷時類似，略。

　　在已知層序遍歷時，BST 的重建方法如下。在重建過程中，對于每個結點，記錄下以它為根的子樹中的元素的取值范圍（用開區間表示）。結合結點本身的值，就可以知道它的兩個子結點的取值范圍。如果先序遍歷中的下一個元素正好落在這些范圍之內，那么這些子結點就存在，否則這些子結點為空。

from

　　下面解答上一小節的遺留問題：對于一棵普通二叉樹（非 BST），在已知層序和中序遍歷時，如何重建。事實上，中序遍歷可以認為是指定了樹中元素的順序關系，于是便化歸為剛剛解決的「已知層序遍歷重建 BST」的問題。在實現上，可以用一個哈希表將樹中的元素映射為它們在中序遍歷中的次序，然后就可以套用上一段程序解決。

二、二叉樹序列化能夠重建的充分條件

　　上文討論的所有情況，可以總結成如下的「定理」：

一棵二叉樹能夠被重建，如果滿足下面三個條件之一：
　　　　a1. 已知先序遍歷；或
　　　　a2. 已知后序遍歷；或
　　　　a3. 已知層序遍歷；
　　且滿足下面三個條件之一：
　　　　b1. 前面已知的那種遍歷包含了空指針；或
　　　　b2. 已知中序遍歷，且樹中不含重復元素；或
　　　　b3. 樹是二叉搜索樹，且不含重復元素。

　　這是本文的主要結論。它指出，中序遍歷提供的信息，與空指針和 BST 是相同的，而與先序、后序、層序遍歷提供的信息互補。同時，這個充分條件也幾乎是必要的，因為如果僅滿足 a 組的兩個條件，或者僅滿足 b 組的兩個條件，都不能重建二叉樹。

三、「不含重復元素」的必要性探討

　　上一節給出的條件是個充分條件；導致它不是必要條件的原因，就在于 b2、b3 兩個條件中的「不含重復元素」。在這一節中，我們就來探討一下這個條件可以放寬到什么程度，還能保證重建出的樹是唯一的。

　　先看 b3，即 BST 的情況。對于 BST，可以把「不含重復元素」，放寬到「允許一側子樹中有與根相等的元素」。無論是根據先序還是層序遍歷重建 BST，關鍵步驟都是確定遍歷結果中的下一個元素應該長在樹的什么位置，而這是根據每個可能長出結點的位置（下圖中灰色的橢圓）允許的取值范圍確定的。在不允許重復元素的情況下，各個「生長點」的取值范圍都是開區間；在允許一側子樹中有與根相等的元素的情況下，各個「生長點」的取值范圍是半開半閉區間 —— 在這兩種情況下，各區間都沒有重疊，所以都可以唯一確定下一個元素應該長在哪里。但如果放寬到「兩側子樹都允許有與根相等的元素」，區間就變成了閉區間，端點出現重疊，就不能保證重建出的樹唯一了。例如，如果先序或層序遍歷的結果是 533，則不能確定后一個 3 應該是前一個 3 的左孩子還是右孩子。

　　不過，即使在兩側子樹都允許有與根相等的元素的情況下，重建出的樹也有可能是唯一的。比如，如果先序遍歷是 2132，那么后一個 2 只能作為 3 的左孩子，而不能作為 1 的右孩子（下圖左）；再如，如果層序遍歷是 232，那么后一個 2 只能作為 3 的左孩子，而不能作為 前一個 2 的左孩子（下圖右）。這是因為，按照先序或層序的限制，在安放后一個 2 時，有些「生長點」已經不可用了。但這種情況只能在算法執行過程中發現，無法事先判斷，也就是說，很難給出在「兩側子樹都允許有與根相等的元素」的前提下樹能夠唯一重建的充要條件。

　　再看 b2，即已知中序遍歷的情況。我們發現，如果允許有重復元素，那么也無法在事先判斷樹是否唯一。例如，當先序遍歷為 1213，中序遍歷為 1231 時，重建出的樹有兩種可能：若認為中序遍歷中的前一個 1 為根，則它有一棵右子樹，其先序遍歷為 213，中序遍歷為 231（下圖中）；若認為中序遍歷中的后一個 1 為根，則它有一棵左子樹，其先序遍歷為 213，中序遍歷為 123（下圖左）。但在先序遍歷仍為 1213，把中序遍歷改為 1321 時，重建出的樹就是唯一的了（下圖右）：此時只能認為中序遍歷中的后一個 1 為根。否則，我們將需要重建一棵先序遍歷為 213、中序遍歷為 321 的子樹，而這樣的樹是不存在的。

　　「先序遍歷為 213、中序遍歷為 321 的樹不存在」—— 這個事實其實頗有深意。它告訴我們，并不是把先序遍歷隨便排列一下作為中序遍歷，都存在對應的樹。事實上，3 個元素的全排列有 3! = 6 種，而 3 個結點組成的二叉樹只有 Catalan(3) = 5 種，差的那一種恰好就是本段的例子。

　　如果已知的是層序和中序遍歷，同樣無法事先判斷樹是否唯一。例如，固定中序遍歷為 121，若層序遍歷也是 121，則樹有下圖左、中兩種可能；但若層序遍歷是 211，則樹就只有下圖右一種可能了。于是，與 BST 的情況類似，若在已知中序遍歷的情況下允許樹中有重復元素，則很難給出樹能夠唯一的充要條件。

　　作為總結，第二節給出的充分條件中，b2、b3 兩條中的「不含重復元素」，基本可以認為是必要的。除了對于 BST 可以放寬為「允許一側子樹有與根相等的元素」以外，其它情形很難放寬。

總結

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