引言

信號理論研究的是在信號空間中信號的分析與綜合以及系統的分析與綜合問題。在這里，信號不再被看作函數，而是被看作信號空間中的一個點。在研究信號空間之前，我們先把信號看作信號集中的一個元素。以作為把信號看作信號空間中點的概念過渡。

1.集合

定義1.1：具有某種性質的詳細或抽象事物的全體稱為集合。

一般地，集合用大寫字母如A、B、C、X、Y表示。

集合中的事物稱為集合的元素。用小寫字母如a、b、c、x表示。

集合能夠用兩種方式來表示。分別稱為列舉法和描寫敘述法。列舉法是指直接將集合的全部元素列出來的方式，如A={a, b, c, d}。描寫敘述法是將集合元素的共同性質寫出來的方式，如B={x|x是整數}。

假設某個事物x是一個集合A的元素。稱x屬于集合A，記作。假設元素y不是集合A的元素。稱y不屬于集合A，記作。

假設集合A中的每個元素都是集合B中的元素，則稱集合A是集合B的子集。稱B包括A或A包括于B，記作。假設 。則稱A與B相等，記作A=B。

2.論域

定義1.2：所討論的范圍內全部事物的全體稱為論域。從論域的概念出發，又能夠給集合下還有一個定義：

定義1.3：論域X中的部分或全部元素的全體稱為集合。由論域中全部元素組成的集合稱為全集。用 表示。不含不論什么元素的集合稱為空集。用 表示。論域中不論什么集合都是論域的子集。

3.信號集

定義1.4：由具有某種性質的信號組成集合，或全部信號論域的子集稱為信號集。比如，全部因果信號組成的集合有：

1.2 經常使用信號集

1.矩形信號集

矩形信號集可表示為：
(1.1)

式中，

(1.2)

2.正弦信號集

正弦信號集可表示為
(1.3)

式中分別稱為正弦信號的幅度、相位和頻率。

3.對稱信號集

對稱信號集分為奇對稱信號集和偶對稱信號集。分別表示為：

(1.4)

和：

(1.5)

4.周期信號集

全部周期為T的信號的集合表示為：

(1.6)

5.幅度有界信號集

幅度的瞬時值總不大于某個正實數的信號稱為幅度有界信號。全部幅度不大于K的有界信號的集合表示為：

(1.7)

6.能量有限信號集

若信號的能量為有限的數值。則稱其為能量有限信號。能量有限信號集定義為：

(1.8)

能量有限信號又稱平方可積信號。

7.時限信號集

時限信號集是指在區間T之外信號為零的全部信號的集合，其數學表達式為：

(1.9)

8.帶限信號集

它由全部信號頻譜在區間之外為零的為由組成，即：

(1.10)

9.時域離散信號集

全部採樣周期為t的時域離散信號的集合表示為：

(1.11)

1.3 信號集的運算

信號集的運算是指由若干已知信號集，通過運算得到新的信號集。集合的基本運算有：交、并、差和補四種。

定義1.5：兩個集合A和B的交、并和差仍是一個集合。分別稱為集合A與B的交集、并集和差集，記作 。分別定義例如以下：

(1.12)

(1.13)

(1.14)

定義1.6：集合A的補集定義為全集與A的差集，記作 。即。

在研究集合(包括信號集)時，通常採用“文氏圖”來形象表示集合間的運算。下圖給出了集合的交、并、差運算的文氏圖。

例1.1 已知信號集為，當中：

(1.15)

試求 。

解：由式(1.15)可知 ，故 。

例1.2 試求時限信號集與帶限信號集的交集。

解：因為一個非零信號不可能既是時限的又是帶限的。因而：

1.4 信號集的劃分與等價關系

為便于掌握一個信號集，經常須要把信號集劃分成一些互不相交的子集，并分別對子集中的信號進行研究。從數學上講。把集合S劃分為子集 能夠表示為：

(1.16)

比如，我們能夠把信號集按連續性分為時域連續信號集和時域離散信號集，按隨機性分為隨機信號集與確定信號集。按周期性分為周期信號集和非周期信號集（在研究信號的傅里葉變換時，我們就是先研究周期信號的傅里葉級數表示。然后再研究非周期信號的傅里葉變換的）。

在對集合進行劃分時。必須依照一定的規則來進行。不可能隨意劃分。通常，一個劃分是由集內元素的（二元）等價關系產生的。所謂（二元）關系，是指對于集合X中的兩個元素之間的一種聯系。設R表示一種聯系，若集合X中的兩個元素x、y間存在這種聯系，則稱它們具有關系R，記作xRy；否則稱它們不具有關系R。記作 。

集合X中的等價關系R是指具有例如以下三條性質的關系：

1) 自反性： xRx，對隨意的
2) 對稱性： 若xRy，則yRx，
3) 傳遞性：若xRy且yRz，則xRz

等價關系通經常使用“∽”來表示，即x∽y表示“x等價于y”。比如，實數集上的相等關系就是一種等價關系。對于劃分和等價關系之間的關系，我們有例如以下的定理。

定理1.1：不論什么一個劃分產生一個等價關系，不論什么一個等價關系產生一個劃分。

劃分與等價關系在信號理論中有著廣泛的用途，以下是一些十分實用并且有趣的樣例。

例1.3 用模同余作為等價關系對二進制分組信號集進行劃分，如尋呼機的地址編碼。

例1.4 二進制基帶不歸零信號的接收，用數值的正負符號同樣作為等價關系。

例1.5 相關接收機，用與特定信號的相關值超過某一門限作為等價關系。

如脈沖壓縮、擴頻通訊和數字水印技術等等。

例1.6 信號投影，用投影信號同樣作為等價關系。

1.5 信號集的映射

1.映射

定義1.7：設A、B為非空集合。假設存在某種規則f，使得A中的任一元素x，在規則f下。確定B中的一個元素y與之相應，則稱此規則為映射，記作。映射也能夠記作：

(1.17)

并稱元素y為元素x（在映射f下）的象。稱元素x為元素y的原象。稱集合A為映射f的定義域。

記：

(1.18)

即A中全部元素的象組成的集合，稱B’為映射f的值域。假設B=B’，則稱f為A到B上的映射；反之，則稱f為A到B中的映射。

比如。信號處理系統就是一種信號集到信號集的映射。

定義1.8：設映射f為A到B上的，若對于B中的任一元素，其在A中的原象是唯一的，則稱f為一一映射，并稱為f的逆映射。

定義1.9：設有映射 ，則由它們能夠構造一個由集合A到集合C的映射f，稱其為 的復合映射，記為。

比如信號處理系統的級聯就構成了一個復合映射。

2.集合的勢

定義1.10：設A是集合。稱A中元素的個數為A的勢。記作 。若 ，則稱A為有限集；否則。稱A為無限集。

對于有限集合，其勢一般比較好計算。但對于無限集合。其勢通常難以直接計算。

為此，我們有例如以下的定理，

定理1.2：若非空集合A、B間存在一一映射，則集合A與B等勢，即。

由上述定理可知，若一個集合的勢不能直接計算得到，那么能夠通過找一個與它存在一一映射關系的勢已知的集合的方式來計算它的勢。以下我們來討論無限集的勢。我們有例如以下的定義：

定義1.11：自然數集N的勢為 （讀作阿列夫0）,實數集的勢為 。且 。稱勢為的集合稱為可列集，勢不超過的集合稱為至多可列集，勢大于 的集合稱為不可列集。比如。整數集是可列的，因為在整數和自然數之間存在一一映射關系，因此整數集的勢也是。

定義1.12：假設兩個信號僅僅有至多可列個不同的點。則稱它們“差點兒處處相等”。

比如，信號x(t)和

(1.19)

就是差點兒處處相等的信號（式中C是常數）。

顯然。“差點兒處處相等”是一種等價關系。今后，凡差點兒處處相等的信號我們就忽略掉它們的差異，覺得它們是相等的。

3.映射與劃分和等價關系

設有集合S的一個劃分 ，令集合 。那么我們能夠建立這種映射 。滿足：

(1.20)

另外。若令二元關系為“在映射f下的象同樣”，則該關系是一個等價關系。

因此。不論什么一個劃分或等價關系能夠表示為一個映射。反之。不論什么一個映射能夠產生一個劃分或等價關系。

1.6 信號集的泛函

1.泛函

定義1.13：我們把集合到數集（如自然數集、實數集等）的映射稱為泛函。信號集的函數是信號集到數集的映射。因為信號集中的元素通常都是函數。因此泛函能夠理解為“函數的函數”。

經常使用的信號集上的泛函有：

2.信號的級數表示法

設 為一個給定的基本信號集，其元素是可列的。此時，信號可近似表示為：

(1.21)

式中 為可列個泛函。

這樣。信號集中的信號就可用可列個泛函來表示。因而可用可列維空間中的一個點來表示，從而大慷慨便了對信號的分析和處理。

信號級數表示法的一個常見的樣例。就是信號的時間級數表示法。此時，基本函數集是由內插脈沖通過一系列延時形成的，

(1.22)

當中 具有例如以下特性：

(1.23)

顯然。用內插脈沖作基本信號。隨意連續信號能夠用時間級數表示為：

(1.24)

式中的泛函可簡單地用信號採樣值來表示。

信號的還有一種重要的級數表示法是傅里葉級數表示法。假設 ，則有：

(1.25)

式中，級數的展開系數 ，即傅里葉系數由例如以下的泛函給出：

(1.26)

1.7 信號的時域離散處理

利用時域連續信號的時間級數表示法，能夠非常easy分析信號的時域離散處理系統，這個系統的一般框圖例如以下圖所看到的。

圖中，採樣電路是求得信號時間級數表示式中的泛函，從而用離散信號來表示x(t)。

時域離散信號處理系統一般為一個單位抽樣響應為 的時域濾波器，其頻率特性為:

(1.27)

當中 是歸一化頻率。也稱數字頻率。

時域離散系統的輸出 為：

(1.28)

對上式兩邊取傅里葉變換，則：

(1.29)

式中， 是離散序列x(k)的傅里葉變換。

圖1.2中，PAM表示脈沖幅度調制，即用序列y(k)去控制內插脈沖的幅度，因而：

(1.30)

對上式兩邊取傅里葉變換可得：

(1.31)

再將(1.29)式代入上式，得：

(1.32)

再由著名的泊松求和公式：

(1.33)

當中 各自是x(t)和它的採樣序列x(kt)的傅里葉變換。將上式代入(1.32)式，有：

(1.34)

以下研究。信號的時間級數表示法(1.24)式在什么條件下成立，即圖1.2中的輸出信號在什么條件下能夠準確復現輸入信號。由式(1.34)可知，假設。同一時候。且選擇，則有：

(1.35)

若取：

(1.36)

則有：

(1.37)

即，兩者僅相差一個常系數。這說明，僅僅要 ，且 滿足(1.36)式。就能夠用x(t)的採樣值x(k)全然恢復x(t)。顯然。內插脈沖為：

(1.38)

因而， 可依據信號的時間級數表示式(1.24)準確表示為：

(1.39)

這就是著名的採樣定理。

總結

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