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Python数据结构学习笔记——树和图

發布時間：2024/2/28 python 66 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了 Python数据结构学习笔记——树和图小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

一、樹的概念

樹是一種數據結構，樹由結點及連接結點的邊組成，每個樹有且只有一個根結點，除了根結點以外，其它每個結點都與其有唯一的父結點相連，其中根結點到其它每個結點也有且只有一條路徑。
1、二叉樹
若樹中每個節點最多有兩個子結點，則稱為二叉樹，即每個結點的子結點不超過兩個，由根結點分叉的兩個結點中，左邊稱為左子樹，右邊稱為右子樹，如下圖：

2、滿二叉樹
若一個深度為k的樹，具有2^k-1個結點，則稱該樹為滿二叉樹，如下圖該樹的深度為k=3，其結點數為2^k-1=2³-1=7個：

而如下圖這兩個樹都不是滿二叉樹：

3、完全二叉樹
若一個深度為k的樹，其結點為n個，對樹中的結點按從上到下、從左到右的順序進行編號，當每一個結點都與同樣深度為k的滿二叉樹中的結點一一對應時，則稱該樹為完全二叉樹。

完全二叉樹中，從根節點至倒數第二層滿足滿二叉樹，其最后一層的結點可以不完全填滿，可以說若一棵二叉樹是滿二叉樹時，則它一定是完全二叉樹，如下圖這兩個樹都是完全二叉樹，但它們不是滿二叉樹：

4、完滿二叉樹
無子結點的結點稱為葉子結點，若一個樹的非葉子結點的結點數都為2，即都有兩個子結點時，則稱這個樹為完滿二叉樹，如下圖：

二、二叉樹的實現

二叉樹的python代碼實現有兩種方法，第一種稱作“列表的列表”的形式，也就是列表的反復嵌套，第二種稱作“結點與引用”，通過設置一個類。

（一）列表的列表

1、二叉樹的結點實現和輸出
在Python中，我們可以通過“列表的列表”這種方式來實現樹的python代碼，即列表的多層嵌套，例如下面這個樹的實現python代碼：

Tree = ["1", ["2", ["4", [], []], ["5", [], []]], ["3", [], []]]

我們可以通過列表的索引和切片來輸出樹中的結點，如下代碼：

Tree = ["1", ["2", ["4", [], []], ["5", [], []]], ["3", [], []]] print(Tree[0]) # 輸出根結點 print(Tree[1]) # 輸出該樹的左子樹 print(Tree[2]) # 輸出該樹的右子樹 print(Tree[1][0]) print(Tree[1][1]) print(Tree[1][1][0]) print(Tree[1][2][0]) print(Tree[1][1][1]) print(Tree[2:])

運行結果如下：

2、二叉樹的創建
二叉樹的創建通過創建一個列表，由于二叉樹由根結點和左子樹和右子樹組成，一開始將左右子樹定義為空列表，即根結點為r，左右子樹此時都為[]。
定義一個函數BinaryTree()用于創建一個二叉樹，如下代碼：

def BinaryTree(r):return [r, [], []] # 返回二叉樹

3、左右子樹的結點添加
我們要向已經創建好的二叉樹中添加左右子樹（左右子樹中的結點），所以要先獲取當前的左或右子樹對應的列表（可能為空），然后將新的左或右子樹添加進去，從而實現在二叉樹的任何位置實現結點添加。
定義兩個函數insertLeft()與insertRight()分別用于左右子樹的結點添加，如下代碼：

def insertLeft(root, newBranch): # 新建一個左子樹，將其作為當前結點的左子結點t = root.pop(1) # pop()函數用于刪除列表中指定元素if len(t) > 1:root.insert(1, [newBranch, t, []]) # insert()函數用于將元素插入到列表的指定位置else:root.insert(1, [newBranch, [], []])return rootdef insertRight(root, newBranch): # 新建一個右子樹，將其作為當前結點的右子結點t = root.pop(2) # pop()函數用于刪除列表中指定元素if len(t) > 1:root.insert(2, [newBranch, [], t]) # insert()函數用于將元素插入到列表的指定位置else:root.insert(2, [newBranch, [], []])return root

4、另外定義幾個函數用于返回二叉樹以及結點存儲的對象，getRootVal()函數給出參數root從而返回當前結點存儲的對象；setRootVal()函數給出參數root和newVal在當前結點存儲參數newVal的對象；getLeftChild()和getRightChild()函數給出參數root用于返回當前結點的左/右結點所對應的子二叉樹，如下代碼：

def getRootVal(root): # 返回當前結點存儲的對象return root[0]def setRootVal(root, newVal): # 在當前結點中存儲參數newVal的對象root[0] = newValdef getLeftChild(root): # 返回當前結點的左子結點所對應的子二叉樹return root[1]def getRightChild(root): # 返回當前結點的右子結點所對應的子二叉樹return root[2]

（二）結點與引用

另外一種對樹的定義方法是通過定義一個類，類中含有根結點以及左右子樹的屬性，如下圖：

1、BinaryTree類的創建
通過創建一個BinaryTree類作為樹的初始化，其中包括根結點rootObj，以及空的左右子樹，代碼如下：

2、左右子樹的結點添加
左右子樹的結點添加要考慮兩種情況，一是向無子結點的結點下添加，二是向已有子結點的結點下添加，如下以左結點添加為例：

在類下定義兩個方法，insertLeft()和insertRight()分別用于添加左/右結點，都含有一個參數newNode用于接收結點，其代碼實現如下：

# 插入左結點def insertLeft(self, newNode):if self.leftChild is None: # 無左結點時self.leftChild = BinaryTree(newNode)else:t = BinaryTree(newNode) # 實例化對象，創建新的結點t.left = self.leftChildself.leftChild = t# 插入右結點def insertRight(self, newNode):if self.rightChild is None: # 無右結點時self.rightChild = BinaryTree(newNode)else:t = BinaryTree(newNode) # 實例化對象，創建新的結點t.left = self.rightChildself.rightChild = t

3、另外定義幾個函數用于返回二叉樹以及結點存儲的對象，getRootVal()函數返回當前結點存儲的對象；setRootVal()函數給出參數obj用于在當前結點存儲對象；getLeftChild()和getRightChild()函數給出參數用于返回當前結點的左/右結點所對應的子二叉樹，如下代碼：

def getRightChild(self):return self.rightChilddef getLeftChild(self):return self.leftChilddef setRootVal(self, obj):self.key = objdef getRootVal(self):return self.key

程序的完整代碼如下：

# 創建一個樹BinaryTree類 class BinaryTree:# 定義一個構造方法用于創建新的結點，參數rootObj作為此時的根結點def __init__(self, rootObj):self.key = rootObj # 根結點self.leftChild = None # 此時左子樹為空self.rightChild = None # 此時右子樹為空# 插入左結點def insertLeft(self, newNode):if self.leftChild is None: # 無左結點時self.leftChild = BinaryTree(newNode)else:t = BinaryTree(newNode) # 實例化對象，創建新的結點t.left = self.leftChildself.leftChild = t# 插入右結點def insertRight(self, newNode):if self.rightChild is None: # 無右結點時self.rightChild = BinaryTree(newNode)else:t = BinaryTree(newNode) # 實例化對象，創建新的結點t.left = self.rightChildself.rightChild = tdef getRightChild(self):return self.rightChilddef getLeftChild(self):return self.leftChilddef setRootVal(self, obj):self.key = objdef getRootVal(self):return self.key

如下是一個二叉樹，通過程序實現：

代碼如下：

tree = BinaryTree(1) print(tree.getRootVal()) print(tree.getLeftChild()) tree.insertLeft(2) tree.insertRight(3) print(tree.getLeftChild().getRootVal()) print(tree.getRightChild().getRootVal()) tree.insertLeft(4) tree.insertRight(5) print(tree.getLeftChild().getRootVal()) print(tree.getRightChild().getRootVal()) tree.insertLeft(6) print(tree.getLeftChild().getRootVal())

運行結果如下：

三、圖的概念

圖是一種數據結構，前面所講的樹其實就是一種特殊的圖，圖的兩個頂點之間通過一條邊來使其聯系，這里的邊可以是單向或雙向，若一個圖中所有的邊都為單向，則稱整個圖為有向圖，如下（其中邊上的數字代表權重）：

1、圖的定義和權重
圖定義為G =(V，E)，其中V是一個頂點集合，E是一個邊集合，每一條邊都是一個二元組（v，w），且v，w∈V，可以向邊的二元組中再添加一個元素，用于表示權重，即從圖上一個頂點到另一個頂點所需的成本，若一個有向圖帶有權重，則稱為帶權有向圖。
例如，上圖的帶權有向圖可以通過兩個集合來描述該圖：

V = {a, b, c, d, e, f} E = {(a, f, 1), (f, e, 2), (e, d, 2), (b, a, 1), (b, c, 3), (c, d, 5), (c, g, 4), (g, a, 2)}

2、路徑
路徑是由邊連接的頂點組成的序列，不帶權重的圖的路徑長度是路徑上的邊數，帶權重的圖的路徑長度是路徑上邊的權重之和，例如上圖中，從c到a的路徑是頂點序列（c，g，a），其相對應的邊是{(c, g, 4), (g, a, 2)}，如下：

3、環
環是有向圖中的一條起點和終點為同一個頂點的路徑，比如下圖的路徑（a，b，c，d，e，f，a）就是一個環。

若一個圖沒有環，則稱為無環圖，沒有環的有向圖稱為有向無環圖，也稱為DAG，例如前面的這個圖就是一個DAG：

四、圖的實現

圖的實現有兩種常用的方法實現，分別是鄰接矩陣和鄰接表，鄰接矩陣適合有很多邊的圖，而鄰接表適合稀疏連接的圖。

（一）鄰接矩陣

通過鄰接矩陣實現圖，具體步驟是通過一個二維矩陣表示，其中的數字代表頂點到頂點的權重，如下：

（二）鄰接表

具體代碼如下：

class Vertex:def __init__(self, key):self.id = keyself.connectedTo = {}def addNeighbor(self, nbr, weight=0):self.connectedTo[nbr] = weightdef __str__(self):return str(self.id) + ' connectedTo: ' + str([x.id for x in self.connectedTo])def getConnections(self):return self.connectedTo.keys()def getId(self):return self.iddef getWeight(self, nbr):return self.connectedTo[nbr]class Graph:def __init__(self):self.vertList = {}self.numVertices = 0def addVertex(self, key):self.numVertices = self.numVertices + 1newVertex = Vertex(key)self.vertList[key] = newVertexreturn newVertexdef getVertex(self, n):if n in self.vertList:return self.vertList[n]else:return Nonedef __contains__(self, n):return n in self.vertListdef addEdge(self, f, t, cost=0):if f not in self.vertList:nv = self.addVertex(f)if t not in self.vertList:nv = self.addVertex(t)self.vertList[f].addNeighbor(self.vertList[t], cost)def getVertices(self):return self.vertList.keys()def __iter__(self):return iter(self.vertList.values())g = Graph() for i in range(7):g.addVertex(i) g.addEdge("a", "f", 1) g.addEdge("f", "e", 2) g.addEdge("e", "d", 2) g.addEdge("b", "a", 1) g.addEdge("b", "c", 3) g.addEdge("c", "d", 5) g.addEdge("c", "g", 4) g.addEdge("g", "a", 2) for v in g:for w in v.getConnections():print("( %s , %s )" % (v.getId(), w.getId()))