約瑟夫問題

約瑟夫問題是個著名的問題：N個人圍成一圈，第一個人從1開始報數，報M的將被殺掉，下一個人接著從1開始報。如此反復，最后剩下一個，求最后的勝利者。
例如只有三個人，把他們叫做A、B、C，他們圍成一圈，從A開始報數，假設報2的人被殺掉。

• 首先A開始報數，他報1。僥幸逃過一劫。
• 然后輪到B報數，他報2。非常慘，他被殺了
• C接著從1開始報數 接著輪到A報數，他報2。也被殺死了。
• 最終勝利者是C

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解決方案

普通解法

剛學數據結構的時候，我們可能用鏈表的方法去模擬這個過程，N個人看作是N個鏈表節點，節點1指向節點2，節點2指向節點3，……，節點N-1指向節點N，節點N指向節點1，這樣就形成了一個環。然后從節點1開始1、2、3……往下報數，每報到M，就把那個節點從環上刪除。下一個節點接著從1開始報數。最終鏈表僅剩一個節點。它就是最終的勝利者。

缺點：

要模擬整個游戲過程，時間復雜度高達O(nm)，當n，m非常大(例如上百萬，上千萬)的時候，幾乎是沒有辦法在短時間內出結果的。

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公式法

約瑟夫環是一個經典的數學問題，我們不難發現這樣的依次報數，似乎有規律可循。為了方便導出遞推式，我們重新定義一下題目。
問題： N個人編號為1，2，……，N，依次報數，每報到M時，殺掉那個人，求最后勝利者的編號。
這邊我們先把結論拋出了。之后帶領大家一步一步的理解這個公式是什么來的。
遞推公式：
$$\begin{array}{r}f(N,M)=(f(N?1,M)+M)\end{array}$$

• $f(N,M)$表示，N個人報數，每報到M時殺掉那個人，最終勝利者的編號
• $f(N?1,M)$表示，N-1個人報數，每報到M時殺掉那個人，最終勝利者的編號

下面我們不用字母表示每一個人，而用數字。

$$\begin{array}{r}1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11\end{array}$$
表示11個人，他們先排成一排，假設每報到3的人被殺掉。

• 剛開始時，頭一個人編號是1，從他開始報數，第一輪被殺掉的是編號3的人。
• 編號4的人從1開始重新報數，這時候我們可以認為編號4這個人是隊伍的頭。第二輪被殺掉的是編號6的人。
• 編號7的人開始重新報數，這時候我們可以認為編號7這個人是隊伍的頭。第三輪被殺掉的是編號9的人。
• ……
• 第九輪時，編號2的人開始重新報數，這時候我們可以認為編號2這個人是隊伍的頭。這輪被殺掉的是編號8的人。
• 下一個人還是編號為2的人，他從1開始報數，不幸的是他在這輪被殺掉了。
• 最后的勝利者是編號為7的人。

下圖表示這一過程（先忽視綠色的一行）

現在再來看我們遞推公式是怎么得到的！
將上面表格的每一行看成數組，這個公式描述的是：幸存者在這一輪的下標位置

• f(1,3)：只有1個人了，那個人就是獲勝者，他的下標位置是0
• f(2,3)=(f(1,3)+3)%2=3%2=1：在有2個人的時候，勝利者的下標位置為1
• f(3,3)=(f(2,3)+3)%3=4%3=1：在有3個人的時候，勝利者的下標位置為1
• f(4,3)=(f(3,3)+3)%4=4%4=0：在有4個人的時候，勝利者的下標位置為0
• ……
• f(11,3)=6f(11,3)=6

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很神奇吧！現在你還懷疑這個公式的正確性嗎？上面這個例子驗證了這個遞推公式的確可以計算出勝利者的下標，下面將講解怎么推導這個公式。
問題1：假設我們已經知道11個人時，勝利者的下標位置為6。那下一輪10個人時，勝利者的下標位置為多少？
答：其實吧，第一輪刪掉編號為3的人后，之后的人都往前面移動了3位，勝利這也往前移動了3位，所以他的下標位置由6變成3。

問題2：假設我們已經知道10個人時，勝利者的下標位置為3。那下一輪11個人時，勝利者的下標位置為多少？
答：這可以看錯是上一個問題的逆過程，大家都往后移動3位，所以f(11,3)=f(10,3)+3。不過有可能數組會越界，所以最后模上當前人數的個數，f(11,3)=（f(10,3)+3）%11

問題3：現在改為人數改為N，報到M時，把那個人殺掉，那么數組是怎么移動的？
答：每殺掉一個人，下一個人成為頭，相當于把數組向前移動M位。若已知N-1個人時，勝利者的下標位置位f(N?1,M)，則N個人的時候，就是往后移動M為，(因為有可能數組越界，超過的部分會被接到頭上，所以還要模N)，既f(N,M)=(f(N?1,M)+M)%n

注：理解這個遞推式的核心在于關注勝利者的下標位置是怎么變的。每殺掉一個人，其實就是把這個數組向前移動了M位。然后逆過來，就可以得到這個遞推式。
因為求出的結果是數組中的下標，最終的編號還要加1
下面給出代碼實現：

int cir(int n,int m) {int p=0;for(int i=2;i<=n;i++){p=(p+m)%i;}return p+1; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的约瑟夫环递推公式的由来（约瑟夫环公式法）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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