教主傳授

快速冪的思想：

假設我們要求a^b，最樸素的方法就是不斷地乘a，乘b次，復雜度O(b)。
如果b很大，10^9，就需要用快速冪的思想。
例：a=3，b=100；
100的二進制為：1100100
也就是100可以化成64+32+4。
所以原數可以化成a^64*a^32*a^4

算法流程：
判斷1100100的每一位是否為1，如果是1，就乘對應的二進制次冪。以此類推，直到乘完全部的位數。
時間復雜度O(log n)

代碼：

int quickpow(int a,int b){ans=1; while(b){if(b&1) ans*=a;a*=a;b>>=1;}return ans; }

矩陣與DP
a[i]=a[i-1]+b[i-1]+1,b[i]=2*a[i-1]-5 ;a[1]=1,b[1]=1,問a[x]=?,b[x]=?
很簡單的遞推，一步步推即可，但是，如果x是10^9，如何推？
思維：遞推式可以化為矩陣乘積

那么，矩陣A[i]=A[i-1]*B;
A[i+1]=A[i]*B=A[i-1]*B*B
A[x]=A[1]*B*B*B.......=A[1]*( B^(x-1) );
因為矩陣乘積可以換乘積順序，所以可以先算出B^(x-1)，如何計算呢？
快速冪！

問題迎刃而解~

1.構造出遞推矩陣
2.對構造出的矩陣B，進行B^x的快速冪，乘積換成矩陣乘法。
3.最后矩陣的第一行第一列和第二列就是a[x]和a[y]。

其實快速冪和矩陣快速冪是異曲同工,但是往往構造矩陣是難點，轉載一個別人博客寫的矩陣構造方法：

Fibonacci數列：F(0)=1 , F(1)=1 , F(n)=F(n-1)+F(n-2)

我們以前快速求Fibonacci數列第n項的方法是 構造常系數矩陣

（一） Fibonacci數列f[n]=f[n-1]+f[n-2],f[1]=f[2]=1的第n項快速求法（不考慮高精度）

解法：

考慮1×2的矩陣【f[n-2],f[n-1]】。根據Fibonacci數列的遞推關系，我們可以通過乘以一個2×2的矩陣A，得到矩陣：【f[n-1],f[n]】。

即：【f[n-2],f[n-1]】*A = 【f[n-1],f[n]】=【f[n-1],f[n-1]+f[n-2]】

很容易構造出這個2×2矩陣A，即：
０ １
１ １

所以，有【f[1],f[2]】×A＝【f[2],f[3]】
又因為矩陣乘法滿足結合律，故有：
【f[1],f[2]】×A ^(n-1) =【f[n],f[n+1]】
這個矩陣的第一個元素f[n]即為所求。

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（二） 數列f[n]=f[n-1]+f[n-2]+1,f[1]=f[2]=1的第n項的快速求法（不考慮高精度）

解法：
仿照前例，考慮1×3的矩陣【f[n-2],f[n-1],1】，希望求得某3×3的矩陣A，使得此1×3的矩陣乘以A得到矩陣：【f[n-1],f[n],1】

即：【f[n-2],f[n-1],1】* A ＝【f[n-1],f[n],1】=【f[n-1],f[n-1]+f[n-2]+1,1】

容易構造出這個3×3的矩陣A，即：
０ １ ０
１ １ ０
０ １ １

故：【f[1],f[2],1】* A^(n-1) = 【f[n],f[n+1],1】

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（三）數列f[n]=f[n-1]+f[n-2]+n+1,f[1]=f[2]=1的第n項的快速求法（不考慮高精度）.
解法：
仿照前例，考慮1×4的矩陣【f[n-2],f[n-1],n,1】，希望求得某4×4的矩陣A，使得此1×4的矩陣乘以A得到矩陣：【f[n-1],f[n],n+1,1】
即：【f[n-2],f[n-1],n,1】* A = 【f[n-1],f[n],n+1,1】＝【f[n-1],f[n-1]+f[n-2]+n+1,n+1,1】
容易構造出這個4×4的矩陣A，即：
０ １ ０ ０
１ １ ０ ０
０ １ １ ０
０ １ １ １

故：【f[1],f[2],3,1】* A^(n-1) = 【f[n],f[n+1],n+2,1】

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（四） 數列f[n]=f[n-1]+f[n-2],f[1]=f[2]=1的前n項和s[n]=f[1]+f[2]+……+f[n]的快速求法（不考慮高精度）.
解法：

仿照之前的思路，考慮1×3的矩陣【f[n-2],f[n-1],s[n-2]】，我們希望通過乘以一個3×3的矩陣A，得到1×3的矩陣：【f[n-1],f[n],s[n-1]】
即：【f[n-2],f[n-1],s[n-2]】 * A = 【f[n-1],f[n],s[n-1]】=【f[n-1],f[n-1]+f[n-2],s[n-2]+f[n-1]】
容易得到這個3×3的矩陣A是：
０ １ ０
１ １ １
０ ０ １

這種方法的矩陣規模是(r+1)*(r+1)

f(1)=f(2)=s(1)=1 ，所以，有

【f(1),f(2),s(1)】* A = 【f(2),f(3),s(2)】

故：【f(1),f(2),s(1)】* A^(n-1) = 【f(n),f(n+1),s(n)】

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（五） 數列f[n]=f[n-1]+f[n-2]+n+1,f[1]=f[2]=1的前n項和s[n]=f[1]+f[2]+……+f[n]的快速求法（不考慮高精度）.
解法：

考慮1×5的矩陣【f[n-2],f[n-1],s[n-2],n,1】,
我們需要找到一個5×5的矩陣A，使得它乘以A得到如下1×5的矩陣【f[n-1],f[n],s[n-1],n+1,1】
即：【f[n-2],f[n-1],s[n-2],n,1】* A =【f[n-1],f[n],s[n-1],n+1,1】
=【f[n-1], f[n-1]+f[n-2]+n+1,s[n-2]+f[n-1],n+1,1】
容易構造出A為：
０ １ ０ ０ ０
１ １ １ ０ ０
０ ０ １ ０ ０
０ １ ０ １ ０
０ １ ０ １ １

故：【f(1),f(2),s(1),3,1】* A^(n-1) = 【f(n),f(n+1),s(n),n+2,1】

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一般地，如果有f[n]=p*f[n-1]+q*f[n-2]+r*n+s
可以構造矩陣A為：
0 q 0 0 0
1 p 1 0 0
0 0 1 0 0
0 r 0 1 0
0 s 0 1 1

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傳送門——>快速冪基本思想

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的矩阵快速幂（教主传授）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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