文章目錄

• • 1. 準備知識
  • • 1. 拓展資料
    • 2. 自頂向下編寫算法
  • 2. 時間復雜度的分析
  • • 1.時間復雜度種類
    • 2. 時間復雜度的分析方法
    • 3. 主定理理論，時間復雜度計算

1. 準備知識

1. 拓展資料

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2. 自頂向下編寫算法

自頂向下的方式,使用方法來抽象主干邏輯

2. 時間復雜度的分析

1.時間復雜度種類

時間復雜度，最常見是7種

O(1) 常數

O(logn) 對數

O(n) 線性

O(n^2) 平方

O(n^3) 立方

O(2^n) 指數

O(n!) 階乘

2. 時間復雜度的分析方法

個人在學習中發現，時間復雜度的分析很多時候沒有唯一的方式，首先，關于時間復雜度的理解，我認為可以理解為隨著問題規模的增長，需要的時間增長的級別
但是具體的分析方式確實有很多種類

簡單的分析，比如對于sum(n)的算法，直接看n=1,和n=k之間的差別

如果使用循環累加的話，那么n=k的話，時間復雜度也會從t編程kt,所以時間復雜度則是O(n)

如果使用數學公式進行計算的話，那么n=k和n=1的計算方式是一樣的

使用遞推方式，比如斐波那契的最原始的方式f(n)=f(n-1)+f(n-2)的遞歸方式，所以T(n)=T(n-1)+T(n-2),所以T(n)=2^n*T(1),所以T(n)=2^n

使用樹狀圖類分析，把merge sort 分析，拆成一個樹，進行分析

我們只需要知道這棵樹的高度$h$，用高度$h$乘以每一層的時間消耗$n$，就可以得到總的時間復雜度$O(n?h)$

使用主定理(master method)分析

3. 主定理理論，時間復雜度計算

主定理最早出現在《算法導論》中，提供了分治方法帶來的遞歸表達式的漸近復雜度分析。
規模為n的問題通過分治，得到a個規模為n/b的問題，每次遞歸帶來的額外計算為f(n)
那么問題的時間復雜度為：
T(n) = aT(n/b)+f(n)

設c*=logb(a)
那么就可以得到問題的復雜度為：

如果c<c*

f(n)=O(n^c), c<c* 則T(n)=O(n^c*)

舉例，二叉樹的遍歷，時間復雜度為O(n)
對應的

a=2,b=2 c*=1 f(n)=O(1) T(n)=2(n/2)+O(1) 因為滿足c<c*則T(n)=O(n)

如果c==c*

f(n)=O(n^c * (log(n))^k),且c==c* 則 T(n)=O(n^c* * (log(n))^(k+1))這里的關鍵就是f(n)中的n的指數等于logb(a)這個條件也被描述為 f(n)=O(n^c* * (log(n))^k)

舉例，merge sort,時間復雜度為nlog(n)

a=2,b=2 c*=1 f(n)=O(n),則由f(n)=O(n^c* * (log(n))^k)可以推斷出來k=0 所以 T(n)=nlog(n)

二分查找

a=1,b=2 c*=0 f(n)=O(1),所以c=0,k=0 c==c* T(n)=O(n^0 * log(n)^1 = O(log(n))

如果 c>c*

f(n)=O(n^c) 且c>c* 則T(n)=O(f(n))

舉例,暫無

注意，主定理的使用也是萬能的，他只使用于，子問題劃分為了獨立的子問題的情況，子問題之間不能再有交叉
在斐波那契數列中,主定理就是無法使用的

總結

以上是生活随笔為你收集整理的算法训练营02-预备知识和时间复杂度分析的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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