統(tǒng)計(jì)學(xué)上常常說(shuō)的自由度是到底是什么？
在樣本方差計(jì)算中，分母不是樣本數(shù)量，而是樣本量減一，人們一般認(rèn)為減一是因?yàn)槿鄙僖粋€(gè)自由度的原因，那么這個(gè)自由度的概念到底是什么？

解答

自由度不容易解釋，他們?cè)诮y(tǒng)計(jì)中的一些先進(jìn)和復(fù)雜的許多不同的情況下出現(xiàn)。 在數(shù)學(xué)方面，他們?cè)诩夹g(shù)上定義為一個(gè)隨機(jī)向量域的維數(shù)。

但我們不會(huì)講到這些，因?yàn)樽杂啥韧ǔ２皇悄阈枰私鈭?zhí)行統(tǒng)計(jì)分析，除非你是一個(gè)研究的統(tǒng)計(jì)學(xué)家或有人研究統(tǒng)計(jì)理論。然而心中真想知道，為了冒險(xiǎn)和好奇，下面是一些例子，提供一個(gè)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的基本要點(diǎn)。

不同的自由度

首先忘記統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，想象你是一個(gè)風(fēng)趣的人，喜歡戴帽子，你不關(guān)心什么是自由度，你相信多樣性是生活的調(diào)味品。不幸的是你有約束，你只有7個(gè)帽子。然而，你想每天戴不同的帽子。

在第一天，你可以戴7帽子中的任何一個(gè)。第二天，你可以從剩下的6個(gè)帽子中選擇，第三天你可以從剩下的5個(gè)帽子中選擇，等等。

第六天，在這周沒(méi)有戴過(guò)的帽子中你還有2個(gè)帽子選擇。但你選擇你的帽子后6天，在7天你沒(méi)有可以選擇的帽子戴。你必須戴最后剩下的帽子。你有7 - 1 = 6天的“帽子”自由的帽子你可以改變！

這是統(tǒng)計(jì)中的自由度的一種理念。自由度通常被廣泛地定義為“觀測(cè)”（信息的片段）在估計(jì)統(tǒng)計(jì)參數(shù)時(shí)自由變化的數(shù)據(jù)的數(shù)量。

自由度：單樣本t檢驗(yàn)
現(xiàn)在想象你沒(méi)有帽子，你進(jìn)入數(shù)據(jù)分析。

你有一個(gè)10個(gè)值的數(shù)據(jù)集，如果你不估計(jì)，每個(gè)值可以取任意數(shù)量，對(duì)嗎? 每個(gè)值是完全自由的變化。

但如果你想用單樣本t檢驗(yàn)測(cè)試一個(gè)10樣本總體均值，你現(xiàn)在有一個(gè)約束的均值估計(jì)。這個(gè)約束到底是什么? 根據(jù)定義的意思，下面的關(guān)系必須保持：數(shù)據(jù)中所有值的總和必須等于nx的平均值，n為數(shù)據(jù)集的數(shù)量值。

如果一個(gè)數(shù)據(jù)集有10個(gè)值，10個(gè)值的總和必須等于平均值x 10。如果10個(gè)值的均值為3.5(你可以選擇任意數(shù)量)，這種約束要求10個(gè)值之和必須等于10 x 3.5 = 35。有了這個(gè)約束，數(shù)據(jù)集的第一個(gè)值是可以自由變化的。對(duì)于任何值，所有10個(gè)數(shù)字值和對(duì)于35仍然是可能。 第二個(gè)值還可以自由變化因?yàn)闊o(wú)論你選擇何種值，它仍然允許的可能性的總和為35。

事實(shí)上，前9個(gè)值可以是任何東西，包括這2個(gè)例子：

34, -8.3, -37, -92, -1, 0, 1, -22, 99
0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9

但要有所有10個(gè)值的總和為35，并有一個(gè)平均值為3.5，第十個(gè)值不能改變。它必須是一個(gè)特定的數(shù)字：

34, -8.3, -37, -92, -1, 0, 1, -22, 99 -----> 10TH value must be 61.3
0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9 ----> 10TH value must be 30.5

因此你有10 - 1 = 9自由度，不管您使用什么樣本量或者是你在使用樣本平均值的最后一個(gè)值是不自由變化，你最終得到n- 1自由度其中n是樣本容量。

另一種方式是，自由度的數(shù)量等于“觀測(cè)”的數(shù)量減去所需的觀測(cè)之間的關(guān)系（例如，參數(shù)估計(jì)數(shù)）。對(duì)于單樣本t檢驗(yàn)一個(gè)自由度估計(jì)均值，剩下的n- 1自由度估計(jì)可變性。自由度定義特定的t分布，用來(lái)計(jì)算t檢驗(yàn)p值和t值。

注意，對(duì)于小樣本（n），有較小的自由度（n - 1對(duì)應(yīng)的單樣本t檢驗(yàn)），t分布有胖的尾巴。這是因?yàn)閠分布是專門設(shè)計(jì)提供更多保守的測(cè)試結(jié)果在分析小樣本(如在釀酒行業(yè))。 隨著樣本容量(n)的增加,自由度數(shù)量增加，t分布接近正態(tài)分布。

原文鏈接：統(tǒng)計(jì)學(xué)上常常說(shuō)的自由度是到底是什么？

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【概率论与数理统计】如何理解自由度n？的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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