小時(shí)候老師總告訴我們「要有n個(gè)方程才能確定地解出n個(gè)未知數(shù)」——這句話其實(shí)是不嚴(yán)格的，如果你想確定地解出n個(gè)未知數(shù)，只有n個(gè)方程是不夠的，這n方程還必須都是「干貨」才行。從這個(gè)角度，初學(xué)者可以更好地理解「矩陣的秩」。

其實(shí)，《線性代數(shù)》這門課自始自終被兩條基本線索交叉貫穿——它們可以被稱為這門課程最為關(guān)心的兩大基本問(wèn)題；當(dāng)這兩個(gè)問(wèn)題被深入地研究之后，我們還會(huì)發(fā)現(xiàn)這兩者在某一個(gè)節(jié)點(diǎn)上被統(tǒng)一在了一起——這兩個(gè)問(wèn)題中的一個(gè)就是尋求形如：

這樣的n元一次方程組的「解法」、并且對(duì)它的解進(jìn)行如下的研究。

在面對(duì)一個(gè)具體的問(wèn)題時(shí)，一般而言我們會(huì)首先關(guān)注這個(gè)問(wèn)題“有沒(méi)有答案”——這就是所謂「解的存在性」。

如果所研究的問(wèn)題是有答案的，進(jìn)一步地我們會(huì)關(guān)心這個(gè)問(wèn)題的“答案是不是只有一個(gè)”——這就是所謂「解的唯一性」。

如果我們對(duì)上述兩個(gè)問(wèn)題的回答是：答案唯一地存在，那么接下來(lái)我們想要知道是否能有統(tǒng)一的方法來(lái)找到這個(gè)解；如果我們的回答是：答案存在但是不唯一，我們就要問(wèn)：能否把每一個(gè)答案全部找到？并且、能否說(shuō)清楚這個(gè)問(wèn)題不同答案之間的相互關(guān)系——換言之，我們想要研究線性方程組「解的結(jié)構(gòu)」。

當(dāng)然，小時(shí)候老師就告訴過(guò)我們：「想要確定地*解出n個(gè)未知數(shù)，你要有n個(gè)方程才行」——這句話其實(shí)是不嚴(yán)格的，如果你想準(zhǔn)確地解出n個(gè)未知數(shù)，只有n個(gè)方程是不夠的，這n方程還必須都是「干貨」才行，而這些干貨的個(gè)數(shù)，就是所謂「矩陣的秩」。

換用精確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，「確定地解出方程」這句話應(yīng)該表述為「解出方程，并且要求該結(jié)果是唯一的」，換言之，矩陣的秩回答了「方程組解的唯一性」。

換言之，有些方程組你看上去有很多內(nèi)容，但其實(shí)它是被嚴(yán)重注水的——那個(gè)方程組中可能有一些方程是完全沒(méi)用的，比如下面這個(gè)例子：

如果你將第一個(gè)方程的-1、-4、-2倍分別加在隨后的各個(gè)方程上，就可以得到：

這一步消掉了后三式中含有 x_{1} 和 x_{2} 的項(xiàng)，繼續(xù)：將第二個(gè)方程的-3倍和1倍分別加在第三、第四個(gè)方程上：

注意：后兩個(gè)方程“0=0”實(shí)際上沒(méi)有告訴我們?nèi)魏涡碌男畔?#xff0c;這實(shí)際上這兩個(gè)方程完全沒(méi)用！換言之，整個(gè)方程組真正「有價(jià)值的」部分只有兩個(gè)：

按照中學(xué)數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)：老師常常告訴我們，四個(gè)未知數(shù)、兩個(gè)方程，是沒(méi)有辦法解的——這是一句不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼f(shuō)法，中學(xué)老師真正想要告訴我們的是：方程的個(gè)數(shù)低于未知量個(gè)數(shù)時(shí)，這個(gè)線性方程組是沒(méi)有唯一解的——換言之，這個(gè)方程組有無(wú)窮多個(gè)解。

那么我們接下來(lái)就有一個(gè)很自然的問(wèn)題：

我們究竟應(yīng)該除去哪些方程，以保證剩下的方程每一個(gè)都是“有價(jià)值的”？

這個(gè)問(wèn)題實(shí)際上是線性代數(shù)特別關(guān)心的一個(gè)話題，回答了這個(gè)問(wèn)題，就可以幫助我們非常恰當(dāng)?shù)鼗?jiǎn)一個(gè)方程組。

要回答這個(gè)問(wèn)題，我們就需要引入一個(gè)新的概念：極大線性無(wú)關(guān)組；

在講清楚這個(gè)概念之前，我們需要了解什么叫做“線性無(wú)關(guān)”。

以上面的方程組為例：觀察這個(gè)方程組前兩個(gè)方程的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)組成的行向量，令：

對(duì)于前兩個(gè)向量而言：如果計(jì)算
得到的方程組是：

實(shí)際上這其中第一、二、四個(gè)方程是是同一個(gè)，整個(gè)方程組簡(jiǎn)化為：


而我們關(guān)于「矩陣的秩」的定義是這樣的：矩陣中所有行向量中極大線性代無(wú)關(guān)組的元素個(gè)數(shù)。——而我們前面已經(jīng)說(shuō)了，「極大線性無(wú)關(guān)組」其實(shí)就是那個(gè)方程組中真正有價(jià)值的方程對(duì)應(yīng)的系數(shù)向量。

現(xiàn)在，相信你一定理解了我們最初的那句話：那些方程組中真正是干貨的方程個(gè)數(shù)，就是這個(gè)方程組對(duì)應(yīng)矩陣的秩。

原文鏈接：如何理解矩陣的「秩」？

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的线性代数：如何最通俗地理解矩阵的「秩」？的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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