平均查找長度

ASL（Average Search Length），即平均查找長度，在查找運算中，由于所費時間在關鍵字的比較上，所以把平均需要和待查找值比較的關鍵字次數稱為平均查找長度。

它的定義是這樣的：

其中n為查找表中元素個數，Pi為查找第i個元素的概率，通常假設每個元素查找概率相同，Pi=1/n，Ci是找到第i個元素的比較次數。

順序查找平均查找長度的計算

在順序查找(Sequence Search)表中，查找方式為從頭掃到尾，找到待查找元素即查找成功，若到尾部沒有找到，說明查找失敗。

所以說，Ci（第i個元素的比較次數）在于這個元素在查找表中的位置，如第0號元素就需要比較一次，第一號元素比較2次…第n號元素要比較n+1次。所以Ci=i；所以

查找成功 的平均查找長度：

查找失敗 的平均查找長度：

折半查找平均查找長度的計算

折半查找(Binary Search)，首先待查找表是有序表，這是折半查找的要求。在折半查找中，用二叉樹描述查找過程，查找區間中間位置作為根，左子表為左子樹，右子表為右子樹，因為這顆樹也被成為判定樹(decision tree)或比較樹(Comparison tree)。

查找方式為(找k)：先與樹根結點進行比較，若k小于根，則轉向左子樹繼續比較，若k大于根，則轉向右子樹，遞歸進行上述過程，直到查找成功或查找失敗。

在n個元素的折半查找判定樹中，由于關鍵字序列是用樹構建的，所以查找路徑實際為樹中從根節點到被查結點的一條路徑，因為比較次數剛好為該元素在樹中的層數。所以：

查找成功 的平均查找長度：

其中，Pi為查找k的概率，level(Ki)為k對應內部結點的層次。而在這樣的判定樹中，會有n+!種查找失敗的情況，因為將判定樹構建為完全二叉樹，又有n+1個外部結點(用Ei(0<=i<=n)表示)

查找失敗 的平均查找長度：

qi表示查找屬于Ei中關鍵字的概率，level(Ui)表示Ei對應外部結點的層次。

在一顆有n個結點判定樹中，

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例子：計算二叉查找樹的平均查找長度

例：給11個數據元素有序表（2,3,10,15,20,25,28,29,30,35,40）采用折半查找。則ASL成功和不成功分別是多少？

先畫出判定樹，

查找成功 的平均查找長度：

查找失敗 的平均查找長度：

參考：https://www.cnblogs.com/ygsworld/p/10238729.html

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總結

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