題目

leetcode 64. 最小路徑和

提示：

• m == grid.length
• n == grid[i].length
• 1 <= m, n <= 200
• 0 <= grid[i][j] <= 100

題解

方法一：遞歸解法（超時）

right 表示當(dāng)前向已右走的步數(shù)，down 表示當(dāng)前已向下走的步數(shù)，cur 表示當(dāng)前走過的路徑和。

此方法超時，應(yīng)該使用 （方法二）動態(tài)規(guī)劃解法。

public static int minPathSum1(int[][] grid) {int right = 0, down = 0;return getMinSum(0, right, down, grid); }public static int getMinSum(int cur, int right, int down, int[][] grid) {int m = grid.length - 1; // 行邊界int n = grid[0].length - 1; // 列邊界cur += grid[down][right];if (right == n && down == m) { // 到終點return cur;} else if (right == n) { // 右邊界return getMinSum(cur, right, down + 1, grid);} else if (down == m) { // 下邊界return getMinSum(cur, right + 1, down, grid);} else {return Math.min(getMinSum(cur, right, down + 1, grid), getMinSum(cur, right + 1, down, grid));} }

方法二：動態(tài)規(guī)劃

由于路徑的方向只能是向下或向右，因此網(wǎng)格的第一行的每個元素只能從左上角元素開始向右移動到達(dá)，網(wǎng)格的第一列的每個元素只能從左上角元素開始向下移動到達(dá)，此時的路徑是唯一的，因此每個元素對應(yīng)的最小路徑和即為對應(yīng)的路徑上的數(shù)字總和。

對于不在第一行和第一列的元素，可以從其上方相鄰元素向下移動一步到達(dá)，或者從其左方相鄰元素向右移動一步到達(dá)，元素對應(yīng)的最小路徑和等于其上方相鄰元素與其左方相鄰元素兩者對應(yīng)的最小路徑和中的最小值加上當(dāng)前元素的值。由于每個元素對應(yīng)的最小路徑和與其相鄰元素對應(yīng)的最小路徑和有關(guān)，因此可以使用動態(tài)規(guī)劃求解。

創(chuàng)建二維數(shù)組 dp，與原始網(wǎng)格的大小相同，dp[i][j] 表示從左上角出發(fā)到 (i,j) 位置的最小路徑和。顯然，dp[0][0]=grid[0][0]。對于 dp 中的其余元素，通過以下狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程計算元素值。

狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：

• 當(dāng) i>0 且 j=0 時，dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0]。

• 當(dāng) i=0 且 j>0 時，dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j]。

• 當(dāng) i>0 且 j>0 時，dp[i][j] = min(dp[i?1][j],dp[i][j?1]) + grid[i][j]。

最后得到 dp[m-1][n-1] 的值，即為從網(wǎng)格左上角到網(wǎng)格右下角的最小路徑和。

代碼

public static int minPathSum2(int[][] grid) {if (grid == null || grid.length == 0 || grid[0].length == 0) {return 0;}int rows = grid.length, columns = grid[0].length;int[][] dp = new int[rows][columns];dp[0][0] = grid[0][0];for (int i = 1; i < rows; i++) { // 計算最左列的值：此時左邊是邊界dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];}for (int j = 1; j < columns; j++) { // 計算最上行的值：此時上邊是邊界dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j];}for (int i = 1; i < rows; i++) { // 其余元素for (int j = 1; j < columns; j++) {dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j];}}return dp[rows - 1][columns - 1]; }

復(fù)雜度分析

• 時間復(fù)雜度：O(m*n)，其中 m 和 n 分別是網(wǎng)格的行數(shù)和列數(shù)。需要對整個網(wǎng)格遍歷一次，計算 dp 的每個元素的值。

• 空間復(fù)雜度：O(m*n)，其中 m 和 n 分別是網(wǎng)格的行數(shù)和列數(shù)。創(chuàng)建一個二維數(shù)組 dpdp，和網(wǎng)格大小相同。
  注：空間復(fù)雜度可以優(yōu)化，例如每次只存儲上一行的 dp 值，則可以將空間復(fù)雜度優(yōu)化到 O(n)。

附：4*4矩陣的16步完整過程示例

附：完整代碼（含測試用例）

class Solution {public static void main(String[] args) { // int[][] grid = {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}};int[][] grid = {{3, 8, 6, 0, 5, 9, 9, 6, 3, 4, 0, 5, 7, 3, 9, 3}, {0, 9, 2, 5, 5, 4, 9, 1, 4, 6, 9, 5, 6, 7, 3, 2}, {8, 2, 2, 3, 3, 3, 1, 6, 9, 1, 1, 6, 6, 2, 1, 9}, {1, 3, 6, 9, 9, 5, 0, 3, 4, 9, 1, 0, 9, 6, 2, 7}, {8, 6, 2, 2, 1, 3, 0, 0, 7, 2, 7, 5, 4, 8, 4, 8}, {4, 1, 9, 5, 8, 9, 9, 2, 0, 2, 5, 1, 8, 7, 0, 9}, {6, 2, 1, 7, 8, 1, 8, 5, 5, 7, 0, 2, 5, 7, 2, 1}, {8, 1, 7, 6, 2, 8, 1, 2, 2, 6, 4, 0, 5, 4, 1, 3}, {9, 2, 1, 7, 6, 1, 4, 3, 8, 6, 5, 5, 3, 9, 7, 3}, {0, 6, 0, 2, 4, 3, 7, 6, 1, 3, 8, 6, 9, 0, 0, 8}, {4, 3, 7, 2, 4, 3, 6, 4, 0, 3, 9, 5, 3, 6, 9, 3}, {2, 1, 8, 8, 4, 5, 6, 5, 8, 7, 3, 7, 7, 5, 8, 3}, {0, 7, 6, 6, 1, 2, 0, 3, 5, 0, 8, 0, 8, 7, 4, 3}, {0, 4, 3, 4, 9, 0, 1, 9, 7, 7, 8, 6, 4, 6, 9, 5}, {6, 5, 1, 9, 9, 2, 2, 7, 4, 2, 7, 2, 2, 3, 7, 2}, {7, 1, 9, 6, 1, 2, 7, 0, 9, 6, 6, 4, 4, 5, 1, 0}, {3, 4, 9, 2, 8, 3, 1, 2, 6, 9, 7, 0, 2, 4, 2, 0}, {5, 1, 8, 8, 4, 6, 8, 5, 2, 4, 1, 6, 2, 2, 9, 7}};System.out.println(minPathSum1(grid));System.out.println(minPathSum2(grid));}/*** 遞歸解法（超時）*/public static int minPathSum1(int[][] grid) {int right = 0, down = 0;return getMinSum(0, right, down, grid);}public static int getMinSum(int cur, int right, int down, int[][] grid) {int m = grid.length - 1; // 行邊界int n = grid[0].length - 1; // 列邊界cur += grid[down][right];if (right == n && down == m) { // 到終點return cur;} else if (right == n) { // 右邊界return getMinSum(cur, right, down + 1, grid);} else if (down == m) { // 下邊界return getMinSum(cur, right + 1, down, grid);} else {return Math.min(getMinSum(cur, right, down + 1, grid), getMinSum(cur, right + 1, down, grid));}}/*** 動態(tài)規(guī)劃解法（推薦）*/public static int minPathSum2(int[][] grid) {if (grid == null || grid.length == 0 || grid[0].length == 0) {return 0;}int rows = grid.length, columns = grid[0].length;int[][] dp = new int[rows][columns];dp[0][0] = grid[0][0];for (int i = 1; i < rows; i++) { // 計算最左列的值：此時左邊是邊界dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];}for (int j = 1; j < columns; j++) { // 計算最上行的值：此時上邊是邊界dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j];}for (int i = 1; i < rows; i++) { // 其余元素for (int j = 1; j < columns; j++) {dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j];}}return dp[rows - 1][columns - 1];} }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的leetcode 64. 最小路径和（递归 / 动态规划解法图解）（Java版）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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