运筹说 第61期 | 整数规划经典例题讲解
前言
整數規劃是一類要求問題的解中的全部或一部分變量為整數的數學規劃，應用范圍極其廣泛。不僅在工業和工程設計和科學研究方面有許多應用，而且在計算機設計、系統可靠性和經濟分析等方面也有新的應用。
通過前面的學習，我們已經掌握了整數規劃的數學模型、割平面法、分支定價法、0-1整數規劃和指派問題，了解了求解目標規劃的MATLAB以及Python相關代碼。
本期，小編選取三類共七道整數規劃的經典例題，包括含有一般整數變量的整數規劃問題、0-1整數規劃問題和指派問題進行詳細講解。其中，針對0-1整數變量在構建模型中的一些特殊作用，小編整理出五道0-1整數規劃的細分問題，包括固定成本問題、分布系統設計問題、選址問題、投資問題以及含有復雜約束的生產問題，以供大家學習。
?
一、整數規劃問題
例1
問題描述：
一汽車廠生產小、中、大三種類型的汽車，已知各類型每輛車對鋼材、勞動時間的需求，利潤以及每月工廠鋼材、勞動時間的現有量如下表所示，試制定月生產計劃，使工廠的利潤最大。
進一步討論：由于各種條件限制，如果生產某一類型汽車，則至少要生產80輛，那么最優的生產計劃應作何改變。
問題解析：?
計算結果：
原問題：運用本公眾號所介紹的MATLAB和Python相關代碼或用Lingo直接求解得每月生產小、中、大型汽車的數量分別為64，168，0，工廠最大利潤為632萬元。進一步討論：解得每月生產小、中、大型汽車的數量分別為80，150，0，工廠最大利潤為610萬元。
?二、0-1整數規劃問題
例2?固定成本問題?
問題描述：
高壓容器公司制造小、中、大三種尺寸的金屬容器，所用資源為金屬板、勞動力和機器設備，制造一個容器所需的各種資源數量如下表。不考慮固定費用，每種容器單位利潤分別為4萬元、5萬元、6萬元，可使用的金屬板500噸，勞動力300人/月，機器100臺/月，此外只要生產，需支付固定費用：小號是100萬元，中號為150萬元，大號為200萬元。試制定一個生產計劃，使獲利最大。?
?
?問題解析：
計算結果：
經軟件計算：小號、中號和大號容器的生產數量分別為100，0，0，最大目標函數值為300，即獲利最多為300萬元。
例3?分布系統設計問題?
?
?
問題解析：?
?
計算結果：
?
例4 選址問題
?問題描述：
?
問題解析：
?
計算結果：
?
例5 投資問題?
問題描述：
某公司在今后五年內考慮給以下的項目投資。已知項目A：從第一年到第四年每年年初需要投資，并于次年末回收本利115%，但要求第一年投資最低金額為4萬元，第二、三、四年不限；
項目B：第三年初需要投資，到第五年末回收本利128%，但規定最低投資金額為3萬元，最高金額為5萬元；
項目C：第二年初需要投資，到第五年末回收本利140%，但規定其投資額或為2萬元或為4萬元，或為6萬元或為8萬元；
項目D：五年內每年初可購買公債，于當年末歸還，并加利息6%，此項投資金額不限。
該部門現有資金10萬元，問應如何確定給這些項目的每年投資額，使到第五年末擁有的資金本利總額為最大？
問題解析：
?
?
計算結果：
?
例6?含有復雜約束的生產問題
?問題描述：
因為資金和管理水平的限制，某公司想以相同的價格和不同的租期（工時）租賃另一公司甲、乙、丙丁四個車間中的兩個，來生產五種新開發的產品（命名為：A、B、C、D、E）中的最多三種。每種產品在生產過程中要分解成生產難度相似的兩個階段（對于某個車間來說，生產任一階段所用的工時都是相同的），要求在不同的車間生產，所以一件產品需要兩個車間的合作才能完成。由于兩個車間的機床和工人的經驗不同，生產不同產品的效率也不同，導致不同的產品（任一階段）在不同的車間生產所用的工時數不同（數據見下表）。另外，根據公司市場部的預測，每種產品的單位利潤和在租期內最大的銷售量以及各車間在租期內的總工時數等數據也列在下表中。公司管理層應如何選擇車間和產品，才能使租期內所獲得的利潤最大？
?問題解析：
計算結果：
?
三、指派問題?
?例7
?問題描述：
分配甲、乙、丙、丁去完成A、B、C、D、E五項任務。由于任務數多于人數，故規定其中有一個人可兼完成兩項任務，其余三人每人完成一項。每人做各項工作所消耗的時間如下表，試確定總花費時間最少的指派方案。
?
問題解析：
?
?
?
計算結果：
?
以上就是本期整數規劃精品案例的全部內容啦，通過對這一期的學習，相信大家一定能夠加深對整數規劃的理解，尤其是對于不同形式的0-1規劃問題，一定有了更為全面的認識。希望大家能多發現多思考，在生活實踐中學會應用！?
END
作者 | 裴傳濤 陳志昂 林鑫
責編 | 劉文志
審核 | 徐小峰
?
總結
以上是生活随笔為你收集整理的运筹说 第61期 | 整数规划经典例题讲解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
- 上一篇： 旧上海老大杜月笙语录
- 下一篇： 数字基带信号及其频谱特性