這是一個精確的(每個合法的和都有相同的概率)解。它使用所有合法和的枚舉，并不是說我們要遍歷每個和，而是給定一個數字n，我們可以直接計算枚舉中的第n個和。由于我們也知道合法和的總數，我們可以簡單地畫出統一的整數并對其進行轉換：import numpy as np

import functools as ft

#partition count

@ft.lru_cache(None)

def capped_pc(N,k,m):

if N < 0:

return 0

if k == 0:

return int(N<=m)

return sum(capped_pc(N-i,k-1,m) for i in range(m+1))

capped_pc_v = np.vectorize(capped_pc)

def random_capped_partition(low,high,n,total,size=1):

total = total - n*low

high = high - low

if total > n*high or total < 0:

raise ValueError

idx = np.random.randint(0,capped_pc(total,n-1,high),size)

total = np.broadcast_to(total,(size,1))

out = np.empty((size,n),int)

for j in range(n-1):

freqs = capped_pc_v(total-np.arange(high+1),n-2-j,high)

freqs_ps = np.c_[np.zeros(size,int),freqs.cumsum(axis=1)]

out[:,j] = [f.searchsorted(i,"right") for f,i in zip(freqs_ps[:,1:],idx)]

idx = idx - np.take_along_axis(freqs_ps,out[:,j,None],1).ravel()

total = total - out[:,j,None]

out[:,-1] = total.ravel()

return out + low

演示：

^{pr2}$

簡要說明：

我們使用一個簡單的遞歸來計算封頂分區的總數。我們在第一個箱子上分開，也就是說，我們固定第一個箱子里的數量，然后通過重復的方法來檢索填充剩余箱子的方法的數量。然后我們簡單地總結不同的第一個箱子選項。我們使用緩存裝飾器來控制遞歸。這個decorator會記住我們已經完成的所有參數組合，所以當我們通過不同的遞歸路徑得到相同的參數時，我們就不必再做同樣的計算了。在

枚舉的工作原理類似。假設字典順序。如何找到第n個分區？再次，在第一個箱子上分開。因為我們知道對于每個值，第一個bin可以采用填充剩余bin的方法的總數，所以我們可以形成累積和，然后看看n在哪里適合。如果n位于第i個和第i+1個部分和之間，則第一個索引為i+low，我們從n中減去第i個和，然后重新開始剩余的bin。在

總結

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