Leetcode 1235. Maximum Profit in Job Scheduling

• 題目
• 解法1：dp
• 解法2：dp+binary search
• 二刷

題目

解法1：dp

這倒題目用dp來做是挺明顯的，但是dp的元素代表什么很關鍵。如果dp元素代表時間的話，那這個題目就很難做了。正確的做法應該是用區(qū)間來代表dp的元素，這樣就變成了對于每個元素取或者不取兩種情況了。具體的解法如下：

• 將各個區(qū)間按照結(jié)尾進行排序
• dp[i]代表從前i個區(qū)間中選擇，最多可以獲取多大的利潤
• 對于第i個區(qū)間，分取和不取兩種情況
• 如果取第i個區(qū)間，那么需要向前找到j區(qū)間，這個區(qū)間的結(jié)束時間在i區(qū)間開始時間之前，這樣總理論就等于從前j個區(qū)間中取獲得的利潤加上第i個區(qū)間的利潤
  狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程

dp[i] = max(dp[i-1],dp[j]+profit_i) where j is the first nonoverlapping interval to i class Solution:def jobScheduling(self, startTime: List[int], endTime: List[int], profit: List[int]) -> int:n = len(startTime)segments = []for i in range(n):segments.append([startTime[i],endTime[i],profit[i]])segments.sort(key=lambda x:x[1])dp = [0]*nfor i in range(n):# if we don't take iif i>0:dp[i] = dp[i-1]# if we take ifor j in range(i-1,-1,-1):if segments[j][1]<=segments[i][0]:dp[i] = max(dp[i],dp[j]+segments[i][2])break# take into count when interval i is the first onedp[i] = max(dp[i],segments[i][2])return dp[-1]

對于最后一行是必須要的，第一個原因是dp[0]需要初始化。另外更重要的原因舉個例子，如果第一個區(qū)間是[2,3], profit是10，第二個區(qū)間是[1,4]，profit是100.這個時候dp[0]=10，但是如果沒有最后一個比較，dp[1]會是10，而正確的應該是100

解法2：dp+binary search

利用左閉右開尋找第一個符合條件的區(qū)間j。關于二分的學習，看這里https://blog.csdn.net/qq_37821701/article/details/108772806

class Solution:def jobScheduling(self, startTime: List[int], endTime: List[int], profit: List[int]) -> int:n = len(startTime)segments = []for i in range(n):segments.append([startTime[i],endTime[i],profit[i]])segments.sort(key=lambda x:x[1])dp = [0]*nfor i in range(n):# if we don't take iif i>0:dp[i] = dp[i-1]# if we take il = 0r = iwhile l+1<r:mid = l+(r-l)//2if segments[mid][1]<=segments[i][0]:l = midelse:r = midif segments[l][1]<=segments[i][0]:dp[i] = max(dp[i],dp[l]+segments[i][2])dp[i] = max(dp[i],segments[i][2])return dp[-1]

上面兩種解法，對于大數(shù)據(jù)規(guī)模來說肯定是解法2更快，但實際上這兩道題leetcode的測試數(shù)據(jù)很小，所以解法一提交結(jié)果更快

二刷

一開始的時候還是寫了O(n^2)的解法

class Solution { public:static bool comparer(const vector<int>& a, const vector<int>& b){return a[0] < b[0];}int jobScheduling(vector<int>& startTime, vector<int>& endTime, vector<int>& profit) {vector<vector<int>> jobs;int n = startTime.size();for(int i=0;i<n;i++){jobs.push_back({startTime[i],endTime[i],profit[i]});}sort(jobs.begin(),jobs.end(),comparer);vector<int> dp(n+1,0);// dp[0] = jobs[0][2];for(int i=1;i<n+1;i++){for(int j=i-1;j>=0;j--){if(j == 0 || jobs[j-1][1] <= jobs[i-1][0]){dp[i] = max(dp[i],dp[j]+jobs[i-1][2]);}}}return *max_element(dp.begin(),dp.end());} };

tle了之后想到了用二分搜索，但是實際上上面的dp寫法是不能夠進行二分搜索的。因為上面dp[i]的定義是以i位置的區(qū)間作為最后一個job，而且必須是take這個job的。所以當dp過程中往前找的時候，必須要看完全部前面的case才可以，而不是碰到第一個滿足條件的job就可以，這也是為什么做不了二分搜索。
其實做一點改變就可以了，把dp[i]的定義改成到第i個區(qū)間截止時間為止，所能得到的最大profit，而不是必須以i個區(qū)間為結(jié)尾。所以其實本質(zhì)上是個背包問題。也只需要在代碼里面加上dp[i] = dp[i-1]即可，同時按照結(jié)束時間來排序，這樣因為當后面的區(qū)間結(jié)束的更晚，所以dp[i]必定是大于等于dp[i-1]的，同時注意邊界條件的處理

不用二分搜索的版本：

class Solution { public:static bool comparer(const vector<int>& a, const vector<int>& b){return a[1] < b[1];}int jobScheduling(vector<int>& startTime, vector<int>& endTime, vector<int>& profit) {vector<vector<int>> jobs;int n = startTime.size();for(int i=0;i<n;i++){jobs.push_back({startTime[i],endTime[i],profit[i]});}sort(jobs.begin(),jobs.end(),comparer);vector<int> dp(n,0);for(int i=0;i<n;i++){if(i > 0){dp[i] = dp[i-1];}dp[i] = max(dp[i],jobs[i][2]);for(int j=i-1;j>=0;j--){if(jobs[j][1] <= jobs[i][0]){dp[i] = max(dp[i],dp[j]+jobs[i][2]);break;}}}return dp.back();} };

加上二分搜索的版本：

class Solution { public:static bool comparer(const vector<int>& a, const vector<int>& b){return a[1] < b[1];}int jobScheduling(vector<int>& startTime, vector<int>& endTime, vector<int>& profit) {vector<vector<int>> jobs;int n = startTime.size();for(int i=0;i<n;i++){jobs.push_back({startTime[i],endTime[i],profit[i]});}sort(jobs.begin(),jobs.end(),comparer);vector<int> dp(n,0);for(int i=0;i<n;i++){if(i > 0){dp[i] = dp[i-1];}dp[i] = max(dp[i],jobs[i][2]);/*for(int j=i-1;j>=0;j--){if(jobs[j][1] <= jobs[i][0]){dp[i] = max(dp[i],dp[j]+jobs[i][2]);break;}}*/int l = 0;int r = i;while(l+1<r){int mid = l + (r-l)/2;if(jobs[mid][1] > jobs[i][0]){r = mid;}else{l = mid;}}if(jobs[l][1] <= jobs[i][0]){dp[i] = max(dp[i],dp[l]+jobs[i][2]);}}return dp.back();} };

總結(jié)

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