以哥德爾命名的哥德爾數——哥德爾拆解漢譯之四

在哥德爾的系統P之后，原著文本立刻就出現題為2.1節的哥德爾數。哥德爾寫這篇論文的時候，大概不會想到他為邏輯符號、邏輯公式配以自然數，會被后世稱呼為以他名字命名的哥德爾數。在哥德爾原著文本中，第二章一氣呵成，中間完全沒有停頓。哥德爾將其形式系統P描述完畢，立刻就開始了對系統P初始符號的配數。后世各種英譯本，為閱讀方便大都按內容分節。但從哥德爾文集卷1中可知，哥德爾德文原著和該文集中英譯并沒有這樣的分節。
帶德文版的哥德爾文集1

哥德爾文集1中的德文原文沒有分節

哥德爾文集1中的英譯文也沒有分節

一、原著英譯本“2.2哥德爾數”的漢譯

哥德爾原著各種英譯本的分節，應該為讀者提供了理解的方便，而且無損哥德爾的原意。也許，正好是這樣的分節和分節起名，哥德爾數這個在原著中并沒有出現的概念，如今已經成為一個呈現哥德爾思想的專名。我接續898的博文，繼續Martin Hirzel英譯本的漢譯，按英譯本原著第2章2.2節 哥德爾數的節名，拆解漢譯如下。
原著文本拆解漢譯。

2.2哥德爾數
現在，我們將使用自然數唯一地匹配系統P的初始符號如下：
“0”…1 “succ”…3 “﹁”…5
“∨”…7 “$?$”…9 “(”…11
“)”…13
我們將進一步地用形式為pn的一個數字（其中p是大于13的素數）來唯一地匹配屬于類型n的每一個變元。由此，就存在一個在有限基本符號串和有限自然數序列之間的一一對應。我們現在再將自然數的序列映射到（再次一一對應）自然數，通過把序列n1,n2,…nk,對應到數字2n1,3n2,…pnkk,的方式來實現這種映射，其中pk是第k個素數（依據數字次序）。這樣，不僅對于每一個基本符號而言，存在唯一地被匹配的自然數，而且對于每一個基本符號序列而言，也存在唯一地被匹配的自然數。我們用Φ(a)來指謂匹配于基本符號（也包括基本符號序列）a的那個數。現在設R(a1,a2,…,an)是這些基本符號或者基本符號序列之間的給定類或者給定關系。我們將把這個類或者關系，匹配于另一個類或者關系R’(x1,x2,…xn)，它在x1,x2,…xn之間成立，當且僅當，存在a1,a2,…,an使得對于i=1,2,…,n，我們有x=Φ(a)并且R(a1,a2,…,an)成立。我們將用同樣的語詞，用小型大寫(small caps)的書寫格式,并且使用以上提及到的方法，來指謂那些匹配元數學概念的自然數上的類和關系，例如以下一些元數學概念：“變元”，“公式”，“命題公式”，“公理”，“可證公式”等等。例如，在系統P中存在不可判定命題像這樣來閱讀：存在命題公式a（PROPOSITION-FORMULAE a），使得既不是a也不是a的否定（NEGATION）是可證公式（PROVABLE FORMULA）。

二、理解2.2節中的符號與哥德爾數配置簡析

（一）基本符號的哥德爾數和兩種一一對應

1）七個基本符號的哥德爾數

七個基本符號和七個不同素數之間的一一對應，這個很好理解，無需多費文字。可以簡單地將其理解為，這些基本符號的哥德爾數，就是它們所對應的?13的不同素數。哥德爾數的作用，隨文本的不斷展開會逐漸在文中體現，自然留待后文再議。此處我且用一個表格，先來圖示七個基本符號和七個自然數素數之間的這種一一對應：

七個基本符號和七個素數的對應圖表1

“2.2哥德爾數”這一節文字，除去上述基本符號圖表的內容，大概總共不到400個漢字，這400字碼之中，恐怕還要包括數字字符和英文字符。哥德爾的行文風格，真夠簡潔的，濃縮的這400個漢字+數字+字母的譯文，包含了太多的內容。這400字左右的中文哥德爾數文本，要用更為通俗的中文描述來做個整理，那可得有翻好幾番的文字。且待我咬文嚼字，慢嚼細咽，一字一句地消化分解，然后梳理成文吧。

2）兩種自然數序列的一一對應

首先不是消化描述變元哥德爾數的首段，而是其中的“由此…”那一段，它表明符號和符號序列與哥德爾數之間的對應是一一對應，相互映射的。以上的常元基本符號與哥德爾數是一一對應的，哥德爾形式系統P中所有的符號和符號序列，它們和其哥德爾數也是一一對應的。這種對應如同下段哥德爾語錄所陳述的，存在兩種對應途徑。
由此，就存在一個在有限基本符號串和有限自然數序列之間的一一對應。我們現在再將自然數的序列映射到（再次一一對應）自然數，通過把序列n1,n2,…nk,對應到數字2n1,3n2,…pnkk,的方式來實現這種映射，其中pk是第k個素數（依據數字次序）。這樣，不僅對于每一個基本符號而言，存在唯一地被匹配的自然數，而且對于每一個基本符號序列而言，也存在唯一地被匹配的自然數。
第一個對應，是有限基本符號串和有限自然數序列之間的一一對應。這就如同以上圖表所示，它是素數13以下數字（包括13）和基本符號的一一對應。
而再次的一一對應則是，這些自然數序列n1,n2,…nk,和一組特殊數字形式的對應，這些特殊的數字形式就是其中的數字2n1,3n2,…pnkk,等。這些按照大小依次排列的素數為底，以多重符號為上標下標的數字表達式，這里且再做一點描述。
序列n1,n2,…nk,即有限基本符號串，n的下標是這些符號串的編號。這里的基本符號配置哥德爾數，構成的也是自然數，這些自然數按數字順序編排從1起點到k終點。我們可以想象一下，這個符號串n1,n2,…nk,會是什么樣的客體呢？它無非就是我們按照基本符號的配數標準而獲得的一個自然數序列。
再次對應的那個數字序列2n1,3n2,…pnkk,，則是按照變元的配數標準獲得的自然數序列。該序列中的每一個自然數，都是按照大小排列從1到k的素數為底，以基本符號哥德爾配數為冪的自然數。即序列n1,n2,…nk,依次作為素數的數字序列21,322,…pkk,的冪，由此而構成了一串帶有冪次方的自然數序列，該序列最后的pkk，則是第k個素數。
這第二次對應，自然就需要我們關注哥德爾P系統的變元類型，于是，我們從哥德爾常元走進哥德爾的變元。先回到拆解漢譯的前段，然后跳過兩次對應的譯文段，我們到達了哥德爾的基本公式a(b)部分。

（二）三種類型變元的哥德爾數

先回到拆解漢譯的前段。
哥德爾說：我們將進一步地用形式為pn的一個數字（其中p是大于13的素數）來唯一地匹配屬于類型n的每一個變元。
前述七個基本符號，稱作系統P的常元。既然給系統P的常元配備了哥德爾數，接之自然就是給變元配置哥德爾數。常元之后緊接著的這一段話，就是在為形式系統P中的變元，配置哥德爾數，這自然引導我們去回顧哥德爾P系統中的變元設置。
形式為pn的符號因為是自然數，p符號的上標表示的就是p作為素數數字的冪。在哥德爾的變元設置中，變元類型是用自然數來指稱的，他標出了第1類型變元，第2類型變元，第3類型變元，如2n1,3n2,…pnkk,所示。自然會有超過3的變元類型，但就邏輯變元類型而言，一般有3個類型的實例，就足夠說明哥德爾變元符號的層次了。素數pn符號的上標n，它既用來表示對應素數的冪方數，同時也用來表示哥德爾變元的類型數。也就是說，哥德爾的變元類型數，指代了其哥德爾數的冪。素數p上標的n應該是從1開始計數的自然數，而非從0開始。很明顯，若n=1，則p1=p，我們有關變元類型的起點從類型1開始。

1)類型1變元的哥德爾數是>13的某個素數自身，也就是該素數1次方

變元總是和變域相關，也有譯為變程的，這很容易使得我們去和自然語言中的概念（名詞）做比較。現代邏輯大概不會專講傳統邏輯中的概念，但十多年前的普通邏輯教程，教授傳統邏輯常識時，概念常常是專門的一個概念章。一個概念總是由一個或者多個元素來構成其外延，傳統邏輯中的外延，很類似于前述的變域或者變程。傳統邏輯中的概念章，一般會提及到概念的限制和概括。個體，即所謂專名或者摹狀詞，這是概念的基底層次。從底層開始概括，每向上概括一個層次，大概就類似哥德爾所說的類型提升。所以，哥德爾個體變元中的個體，就相當于一個專名類型，或者用羅素的摹狀詞說法，相當于一個摹狀詞類型。傳統邏輯中稱作單獨概念。單獨概念稱作概念，是一種基底性的表述形式。所以，現代邏輯出現之后，盧卡西維茨在其《亞里士多德的三段論》一書中認為，亞里士多德三段論并不處理單獨概念，只處理普遍概念。單獨概念只是個體，它并不能作為主謂句的謂項（盧卡希維茨《亞里士多德的三段論》第13頁）。因此，所謂類型1變元，不是從單獨概念起始，而是把個體作為元素的個體變元那里開始。在哥德爾那里，這就是類型1變元。（當然，我們也可以把起點前移到零，若一個b(a)公式沒有變元，則這個公式大概可以稱作0元變元的公式，自然其類型就是0元類型變元。）
因此，哥德爾類型1變元的變域，如果不限定在自然數的范圍，那就是專名或者摹狀詞或者單獨概念的范圍之內。若限定在自然數范圍，每一個具體的自然數，都可以看作是專名。自然數的個體，一般也稱之為自然數的元素，也就是一個一個獨一無二的自然數，如果其作為變域，這樣一個變域，就是哥德爾系統P中的類型1變元。這時候，類型1變元實際上是所有個體元素的一個集合，已然類似于傳統邏輯中，由多個個體元素構成的普遍概念了。
由此而可知，哥德爾類型1變元的哥德爾數，配置的是某個大于13的素數自身，它的冪次方和類型1中的1等同。數字1在這個對應的配置之中，和以下的類型2，直到類型n，都是以自然數為變域的數字。這個數字n承擔了雙重責任：它既是變元的類型數字，也是哥德爾數中以素數為底的一個冪數字。

2)類型2變元的哥德爾數是>13的某個素數的平方，也就是該素數的2次方

類型2變元是個體構成的類，如同哥德爾描述的，屬于自然數中的一個子集。任意自然數都可以構成一個類或者一個集合，類不同于單元素個體，它由一個或者多個元素組成，通常用大括弧來圈住的一種數字類型。例如｛1，2，3，4，5｝，由5個數字元素構成一個類或者集合。集合概念，似乎比類概念的含義更為寬泛，在哥德爾的系統P中，這樣的數字類型，哥德爾解釋類型2的時候，把類型2看作是自然數的子集。但在給類型2變元配以哥德爾數的時候，他改換了類型提升方式，用命題變元來表示類型2變元。傳統邏輯中的概念級別提升，在這里換了一個角度。那似乎不是概念自身的提升，而是單體元素向組合元素的提升。如果說，類型1變元的變域個體可以類比自然語言的一個專有名詞或者摹狀詞的話，當類型1的個體提升為類型2的類或者子集的時候，由個體構成的類可以類比的客體，似乎就不是語詞，而是語句或者命題了。回看哥德爾有關不同類型變元，來構成基本命題公式的一段論述，似乎可以領悟到這一點。

我們稱形式為a(b)的符號組合為基本公式（elementary formulae），其中的b是類型n的符號，a是類型n+1的符號。

由此段論述可知，哥德爾的基本公式界定，是由變元類型來決定的。反過來，依據所界定的公式，我們又可以判定構成公式的變元所具有的類型。傳統的詞項概括升級方式是從詞項（語詞）到詞項（語詞）的概括，其實質是把下一級的詞項作為上一級詞項的元素或者成員來看待。但在最基本公式的情況下，卻常常并不是傳統邏輯的概括。哥德爾用基本公式的方式來說明這種類型提升，似乎也是對于這種傳統語詞概括的繼承，但其中隱含著超越傳統邏輯的一些現代考量。
從哥德爾上述基本公式描述中，可以很明顯看到，基本公式a(b)作為符號組合，若b是類型1變元，a不就是類型2變元么？由此，這樣的a(b)公式，自然就是基本公式中的基本公式，可稱作最基本公式也。用自然語言來描述這個a(b)公式，它不就是前述古典的亞里士多德式主謂句b是a么？b是個體或者類，a是由個體或者類構成的類或者類的類。而當b是一個單獨個體之時，主詞b就再也不是變元，而是一個如同哥德爾基本符號中的常元對象了。于是，我們在這樣一個解釋之下獲得的命題公式，就是一元關系公式，或者一元謂詞公式。a成了主詞b的一個謂詞，或者說a是b的一個性質。那個謂詞a所表達的客體，自然就是類型2變元。
那么，既然表達性質的謂詞才是類型2變元，為什么說這個類型2變元是命題變元呢？克林在《元數學導論》中所表述的函數分類，很巧妙而且相當合理地回答了這個為什么，值得在這里多花點文字。
一元謂詞（關系）命題，也可以看作是一元函數。哥德爾理論與函數概念關系密切，在這里回顧一下函數的基本觀念看來也有必要。克林把函數分成4類，一類稱作真值函數，一類稱作數論函數，一類稱作特征函數（莫先生翻譯為“代表函數”），還有一類稱作謂詞函數，簡稱謂詞。用克林的語言，謂詞函數的基底就是一元關系函數。哥德爾的那個基本公式a(b)，就是一元函數的典型符號表達。作為函數來理解，符號a成為b的一個性質，而符號b則是具有某個性質a的客體對象。而當b被看做是一個變元的時候，也就是克林稱之為空位的時候，那就表達的是一元關系函數。哥德爾的基本公式界定，其中的類型2變元，應該是在這個意義上的界定。這樣一個用主謂句的分析來界定的類型變元，不僅用來界定類型2，也用來界定更高類型的變元，我們在這里自然只考慮類型3變元。
那么，怎樣的變元，會是類型3變元呢？

3)類型3變元的哥德爾數是>13的那個素數的立方，也就是該素數的3次方

從以上描述可知，一元謂詞公式a(b),當b是類型1變元，則a就是類型2變元。自然，當b是類型2變元，則a是類型3變元。這個類型3變元，似乎要對哥德爾強調一一對應之后接下來的一段描述，加以一定解釋之后才好理解。在以下摘錄的漢譯文中，為敘述方便，我在每一句前面配置了編碼序號。
①我們用Φ(a)來指謂匹配于基本符號（也包括基本符號序列）a的那個數。②現在設R(a1,a2,…,an)是這些基本符號或者基本符號序列之間的給定類或者給定關系。③我們將把這個類或者關系，匹配于另一個類或者關系R’(x1,x2,…xn)，它在x1,x2,…xn之間成立，當且僅當，存在a1,a2,…,an使得對于i=1,2,…,n，我們有xi=Φ(a)并且那個R(a1,a2,…,an)成立。

在第一句①譯文中，出現了類似前述a(b)一元關系符號的另一種公式表述Φ(a)。這個Φ(a)用來表示基本符號或者基本符號序列a的哥德爾數，也就是說，我們給a配置了哥德爾數，a的哥德爾數可以用Φ(a)來表示。
然后看下一句②，又是一個假設。注意，這個假設是設定了關系R。這個R是一個給定類或者給定關系，什么樣的給定類或者給定關系呢？這個R是基本符號或者基本符號序列之間的給定類或者給定關系。因為a就是基本符號或者基本符號序列，如果a=(a1,a2,…,an)，則序列a1,a2,…,an之間的關系就是R。
接下來的第三句③，似乎表述了更為復雜一點的哥德爾數。若干個符號之間的關系R，它被配置了另一個類或者關系R’(x1,x2,…xn)，這相當于在說，后者就是前者配置的哥德爾數，但這個哥德爾數必須滿足隨后給出的條件。這個條件就是：存在a1,a2,…,an使得對于i=1,2,…,n，我們有xi=Φ(ai)并且那個R(a1,a2,…,an)成立。
這也就是說，先有Φ(a)來指謂匹配于基本符號（也包括基本符號序列）a的那個數。然后，若Φ(a)=序列a1,a2,…,an，=Φ(ai)，則出現另一個序列(x1,x2,…xn)=xi=Φ(ai)，來匹配在前的序列，即作為序列a1,a2,…,an，的哥德爾數。這告訴我們的似乎是，當Φ(a)的a僅只有一個變元的時候，這樣的變元就是類型2變元。而當Φ(a)的a有若干個變元出現的時候，這樣的變元就是類型3變元。
這一段有很多值得琢磨的地方，限于篇幅，暫且到此，后續博客文字再來補充吧。

（三）元數學概念的表述

我們來看2.2節的最后一段。
我們將用同樣的語詞，用小型大寫(small caps)的書寫格式,并且使用以上提及到的方法，來指謂那些匹配元數學概念的自然數上的類和關系，例如以下一些元數學概念：“變元”，“公式”，“命題公式”，“公理”，“可證公式”等等。例如，在系統P中存在不可判定命題像這樣來閱讀：存在命題公式a（PROPOSITION-FORMULAE a），使得既不是a也不是a的否定（NEGATION）是可證公式（PROVABLE FORMULA）。

哥德爾這是在告訴我們，區分數學系統內的概念和超越系統的元數學概念是十分重要的。在哥德爾的原著文本中，凡屬元數學概念，一概用小型大寫的方式表述。這在其后的46個定義中特別明顯，幾乎每一個定義中他都做了這樣的區分。區分數學和元數學，語言和元語言，這是自哥德爾之后邏輯和數學領域思考問題的一個層次原則。
小型大寫字母截圖

三、實例說明哥德爾數配置

現在，我們該脫開哥德爾的原著，用實例方式來說明哥德爾數該如何配置了。

（一）常元或者基本符號序列的哥德爾數配置

如上所述，哥德爾給出了常元的哥德爾數配置。自然，常元或者基本符號的哥德爾數配置，就是以上圖表1所示的情形。但是，哥德爾走得太快，接之給出的只是變元哥德爾數的配置，常元作為序列的哥德爾數如何配置，他沒有任何說明。也許，這常元符號的哥德爾數配置，在哥德爾眼中，不算什么事，可以忽略過去吧。但常元符號也有基本符號和符號序列之分，在使用哥德爾數配置的時候，自然會有一個和變元配置方式一致的問題。例如succ是一個常元符號，配置自然數3。但當這個符號和其它常元符號組合時，例如succ，還有常元0的組合，形成一個符號序列succsuccsucc0的時候，我們該如何配置其哥德爾數呢？這個組合顯然構成了形式系統P中的一個詞項，它的語義是自然數3。如何給這個常元符號序列配置哥德爾數呢？當然是和變元的哥德爾數配置保持一致。
在康先生《可能世界的邏輯》一書中，我找到康先生闡述哥德爾數配置的一個公式及其簡要說明，他的描述釋放了我的困惑，在此不妨借來。康先生說，哥德爾配數法總是有點任意的，但必須一對一，保證這一點就足夠。而且，無論如何配置，都要產生天文數字。不如只做設想，按照某種固定方法給任意符號配好數就得了。
而這種固定方法，就是康先生給出的如下和哥德爾配數一致，但又包括了哥德爾未提及到的常元符號序列的哥德爾數配置公式。康先生的這個公式，可描述如下：

這個公式中，i=0,1,2…n。所以，pi是按照大小順序排列的第n個素數。而上下標都有的符號pk00.pk11.….則是第0個素數，第1個素數直到第n個素數的k0次方，k1次方，直到kn次方的哥德爾數。有了這個公式之后，如果有符號序列e的哥德爾數是l，則符號序列的序列e0e1…en的的哥德爾數就可定義為pl00.pl11.….plnn，也就是各個項相乘。
由此，每個系統P的語法對象，特別是詞項，由常元來構成的符號序列所指稱的詞項，就都得到唯一的哥德爾數了。（參見康宏逵《可能世界的邏輯》第5-6頁）
上述公式顯示了三個序列。
第一個序列，是作為哥德爾數配置對象的符號si所表示的符號序列s0s1…sn。
第二個序列，作為自然數編號順序的自然數序列，i=1，2，3…，它既為客體對象si排序，也為配置后的哥德爾數排序。
第三個序列，作為給si序列配置的哥德爾數序列pk00.pk11.….pknn。
在序列一中，si序列是用所謂拼接運算組合而成，這在哥德爾隨后的46個定義中有說明，且待后續再論。在序列三中，哥德爾數之間的運算是乘法運算，而且是帶有高次方冪的數字相乘，所以，怎么樣也是天文數字。
由以上公式可以看到，符號序列的哥德爾數是從0開始編號的，第0個素數實際上就是排位第一的素數2，然后是3，5，7…直到第n個素數。當我們用這個公式來配置常元符號序列的哥德爾數的時候，例如使用拼接運算的常元符號序列succsuccsucc0哥德爾配數，公式模式就成為以下的符號序列：

還是用圖表來表示更為清晰，以下圖表2粗略地顯示了以上公式的推演過程，也顯示出其互為導出的一一對應。右邊的操作序號是從形式客體到哥德爾數，左邊的操作序號是從哥德爾數返回到對應的形式客體。

拼接的常元序列succsuccsucc0哥德爾配數過程圖表2

（二）變元的哥德爾數配置

同樣可以列出另一個表格，來表示變元的哥德爾數配置。

不同類型變元的哥德爾數配置圖表3

顯然，上述提及到的變元類哥德爾數配置，還只是哥德爾系統P中單個變元符號的配置。我們看到常元類符號的哥德爾數，看到變元類符號的哥德爾數。但由這兩類符號生成的系列，它們的哥德爾數在哪里呢？我們用這個哥德爾數，如何來實現對于形式系統特別性質的揭示呢？這篇博客，只能是對于哥德爾數這一小段的漢譯，只能是分類符號的哥德爾數解讀。關于變元及其類型，關于變元常元組合成的符號序列，以及這些符號類型的序列，序列的序列，其哥德爾數該如何配置，似乎還需要更長更長一些的文字。本篇博文暫且在此打住，有關變元序列，有關常元變元組合序列，以及序列的序列該如何配置其哥德爾數，且留待下篇文字。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的以哥德尔命名的哥德尔数——哥德尔拆解汉译之四的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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