第一章 整數(shù)乘法器

1.1 整數(shù)的概念

整數(shù)在IEEE 的規(guī)定上有，短整數(shù)short integer , 中整數(shù)integer 和 長(zhǎng)整數(shù)long integer ，它們之間的關(guān)系如下：

?

?

整數(shù)	字節(jié)空間	取值范圍
短整數(shù)	一個(gè)字節(jié)	-127 ~ 127
中整數(shù)	兩個(gè)字節(jié)	-32767~32767
長(zhǎng)整數(shù)	和四個(gè)字節(jié)	-2147483647~2147483647

?

?

在這里筆者以短整數(shù)為筆記的主角。

?

?

短整數(shù)的最高位是符號(hào)位，符號(hào)位的正負(fù)表示了該值是“正還是負(fù)”？。正值的表示方法很簡(jiǎn)單，反之負(fù)值的表示方法是以補(bǔ)碼來(lái)表示。

?

?

+127 亦即8'b0111_1111;

+4 亦即8'b0000_0100;

-127 亦即8'b1000_0001;

-4 亦即8'b1111_1100;

?

?

補(bǔ)碼在英文又叫2^nd?implementation?? , 其實(shí)是“正值的求反又加一”的操作。（哎~年輕時(shí)的筆者曾經(jīng)這個(gè)東西頭疼過(guò)）。一個(gè)負(fù)值表示如-4 ，是由+4 求反由加一后而成。

?

?

8'b0000_0100;? // 正值4

8'b1111_1011;? // 求反

8'b1111_1100;? // 加1 ， 負(fù)值4

那么符號(hào)位和正值，負(fù)值，補(bǔ)碼，取值由有什么關(guān)系呢？舉個(gè)例子 ：A = 8'b0111_1111 (+127) 和B = 8'b1000_0001 ( -127 )。

當(dāng)我們?cè)谶M(jìn)行判斷一個(gè)短整數(shù)是正值還是負(fù)值的時(shí)候，我們可以這樣表示：

?if ( !A[7] ) ...? // A是正值

?if ( B[7] ) ...? // B是負(fù)值

在事實(shí)的事實(shí)上。我們知道短整數(shù) 2⁸?，亦即取值范圍是0~255，但是符號(hào)位的出現(xiàn)吃掉了最高位，所以造成由2⁸?的取值范圍變成2⁷?= 0~127 。

你知道嗎？在短整數(shù)家族里面永遠(yuǎn)存在一個(gè)幽靈成員。該成員很神秘，它不是正值，即不是負(fù)值或者0值。而且它的能力也不可忽視，它劃分了正值和負(fù)值的邊界，它就是8'b1000_0000。

+127 ??? 8'b0111_1111;

劃分????? 8'b1000_0000;

-127 ???? 8'b1000_0001;

換句話(huà)說(shuō)，在8'b1000_0000 之前的都是正值 ，然而在8'b1000_0000 之后是負(fù)值。如果讀者硬是要說(shuō)8'b1000_0000 是 “負(fù)0”，筆記也無(wú)話(huà)可說(shuō)......

從上述的內(nèi)容，我們可以知道：正值可以進(jìn)行求反又加一之后成為負(fù)值。那么負(fù)值如何變成正值？同樣的一個(gè)道理“負(fù)值求反又加一后，成為正值”。

8'b1111_1100;? // 負(fù)4

8'b0000_0011;? // 求反

8'b0000_0100;? // 加1 ， 正4

?

1.2 傳統(tǒng)乘法的概念

筆者還記得筆者在上小學(xué)三年級(jí)的時(shí)候，老師在黑板上寫(xiě)上3 x 4 = 12。筆者對(duì)這神秘的數(shù)學(xué)公式迷糊了頭腦。后來(lái)老師解釋道: " 3粒蘋(píng)果重復(fù)加上4 次等于12粒蘋(píng)果"，小時(shí)的筆者頓時(shí)恍然大悟！

當(dāng)筆者上了初中，老師在黑板上寫(xiě)上3 + -4 = -1。大伙們都明白那是整數(shù)，但是初中的筆者，腦袋過(guò)很遲鈍。因?yàn)樵诂F(xiàn)實(shí)中，初中的筆者認(rèn)為沒(méi)有“-3粒蘋(píng)果”類(lèi)似實(shí)體的概念純?cè)?#xff0c;后來(lái)老師解釋道：“ 小明欠小黃4粒蘋(píng)果，后來(lái)小明還了小黃3粒蘋(píng)果，結(jié)果小明還欠小黃一粒蘋(píng)果 ”，初中的筆者又恍然大悟。

又在初中，當(dāng)老師又在黑板上寫(xiě)上如下的內(nèi)容。那時(shí)候的筆者，嘴巴長(zhǎng)得大大 ，有好一段時(shí)間說(shuō)不出話(huà)來(lái) 。好一段時(shí)間筆者都是自己在嘀咕....

?3 x 4 = 12;??? " 3粒蘋(píng)果重復(fù)疊加4次，等于12粒蘋(píng)果"

-3 x 4 = -12;? ? " 欠3粒蘋(píng)果，重復(fù)欠4次，等于欠12粒蘋(píng)果"

3 x -4 = -12;??? " 欠4粒蘋(píng)果，重復(fù)欠3次，等于欠12粒蘋(píng)果"

-3 x -4 = 12;??? " @#￥%#￥*！%……" ( 嘀咕中... )

讀者們不要笑，上述的故事確實(shí)是筆者的真實(shí)故事。那時(shí)候的筆者，真的拿不到整數(shù)的乘法的門(mén)兒，考試還常常滿(mǎn)江紅，真的悲劇的初衷時(shí)代......

在傳統(tǒng)的概念上乘法等價(jià)于“重復(fù)幾次”。打個(gè)比方：B = 4；A x B 亦即A要重復(fù)加四次才能得到答案。

然而在乘法中“負(fù)值正值的關(guān)系”就是“異或的關(guān)系”。

A值	B值	結(jié)果
正(0)	正(0)	正(0)
正(0)	負(fù)(1)	負(fù)(1)
負(fù)(1)	正(0)	負(fù)(1)
負(fù)(1)	負(fù)(1)	正(0)

?A x B = C；

?3 x 4 = 12;???

-3 x 4 = -12;???

3 x -4 = -12;???

-3 x -4 = 12;?

從上面的內(nèi)容看來(lái)，無(wú)論A值和B值是什么樣的“正值和負(fù)值的關(guān)系”，結(jié)果C都是一樣。

那么我們可以換一個(gè)想法：

“在作乘法的時(shí)候只是我們只要對(duì)正值進(jìn)行操作。然而“負(fù)值和正值的結(jié)果”，我們用“異或”關(guān)系來(lái)判斷... ”

實(shí)驗(yàn)一 ：傳統(tǒng)的乘法器

該乘法器的大致操作如下：

（一）在初始化之際，取乘數(shù)和被乘數(shù)的正負(fù)關(guān)系，然后取被乘數(shù)和乘數(shù)的正值。

（二）每一次累加操作，遞減一次乘數(shù)。直到乘數(shù)的值為零，表示操作結(jié)束。

（三）輸出結(jié)果根據(jù)正負(fù)關(guān)系取得。

multiplier_module.v

第3~11行是該模塊的輸入輸出。看到Start_Sig 和Done_Sig 是仿順序操作的標(biāo)志性結(jié)構(gòu)，不明白的去看筆者之前寫(xiě)的筆記。Multiplicand 和Multiplier (被乘數(shù)和乘數(shù))，都是8位位寬，所以輸出Product 是16位位寬。

第16~21行是該模塊所使用的寄存器，i寄存表示步驟，Mcand 用來(lái)暫存Multiplicand 的正值，Mer 用來(lái)暫存Multiplier 的正值，Temp 寄存器是操作空間。然而isNeg 標(biāo)志寄存器是用來(lái)寄存Multiplicand 和Multiplier 之間的正負(fù)關(guān)系。

在步驟0（36~45行）是初始化的步驟。第39行isNeg寄存“乘數(shù)和被乘數(shù)之間的正負(fù)關(guān)系”。第40行，Mcand寄存 Multiplicand 的正值，該行表示：如果被乘數(shù)的符號(hào)位是邏輯1的話(huà)，就將負(fù)值轉(zhuǎn)換為正值，然后Mcand寄存該值，否則Mcand直接寄存Multiplicand 的值。第41行是用來(lái)寄存Multiplier 的正值，該行的操作和40行很相識(shí)。

在步驟1（47~49行），是“重復(fù)加幾次”的操作。Temp寄存器的每一次值的疊加，Mer寄存就遞減（49行）。直到Mer的值等于0（48行），就進(jìn)入下一個(gè)步驟。步驟2~3是產(chǎn)生完成信號(hào)。

在62行，Product輸出信號(hào)的輸出值是由isNeg寄存器作決定，如果isNeg是邏輯1，那么Temp的結(jié)果從負(fù)值轉(zhuǎn)換為正值。否則直接輸出Temp的值。

multiplier_module.vt

?

第16~22行是復(fù)位信號(hào)和時(shí)鐘信號(hào)的激勵(lì)。第26~35行是multiplier_module.v 的實(shí)例化。

第39行以下和普通的仿順序操作的寫(xiě)法一樣，不明白的話(huà)請(qǐng)看筆者以往寫(xiě)過(guò)的筆記。

步驟0~3, 會(huì)輸入不同的乘數(shù)和被乘數(shù)來(lái)激勵(lì)multiplier_module.v。

仿真結(jié)果：

?實(shí)驗(yàn)說(shuō)明：

其實(shí)傳統(tǒng)的乘法器是很容易的，但是短整數(shù)的出現(xiàn)，負(fù)值和正值隨著出現(xiàn)，使得設(shè)計(jì)上難以下手。但是只要掌握負(fù)值和正值的關(guān)系以后，乘法只作正值也“無(wú)問(wèn)題”。只要在輸出下一點(diǎn)手腳就行了。

實(shí)驗(yàn)結(jié)論：

傳統(tǒng)的乘法器雖然簡(jiǎn)單，但是它有一個(gè)致命的問(wèn)題。就是被乘數(shù)越大就越消耗時(shí)鐘。具體的原因在下一章節(jié)解釋......

1.3 傳統(tǒng)乘法器的改進(jìn)

Verilog HDL 語(yǔ)言所描述的乘法器的消耗是以“時(shí)鐘”作為時(shí)間單位。反之，組合邏輯所建立的乘法器是以“廣播時(shí)間”作為時(shí)間單位。說(shuō)簡(jiǎn)單點(diǎn)就是，Verilog HDL 語(yǔ)言所描述的乘法器“快不快”是根據(jù)“時(shí)鐘消耗”作為評(píng)估。

假設(shè)A = 10 , B = 20,? A x B ，那么時(shí)鐘的消耗至少需要20個(gè)，因?yàn)锳值需要累加20次才能得到結(jié)果。到底有沒(méi)有什么辦法，改進(jìn)這個(gè)缺點(diǎn)呢？

有學(xué)過(guò)乘法的朋友都知道A ( B ) = B ( A )。如果以實(shí)驗(yàn)一的乘法器作為基礎(chǔ)，那么A( B ) 和B( A ) 所消耗的時(shí)間就不一樣了。所以我們可以這樣改進(jìn)：

如果被乘數(shù)小于乘數(shù)，那么被乘數(shù)和乘數(shù)互換。

{ Multiplier , Multiplicand } = Multiplicand < Multiplier ? { Multiplicand ，Multiplier } :

???????????????????????? {Multiplier ，Multiplicand }；

?

舉個(gè)例子：Multiplicand = 2 ，Multiplicand = 10 ;

更換之前 被乘數(shù)2 需要10次的累加，才能得到結(jié)果。 更換之后 被乘數(shù)為10 乘數(shù)為2，亦即被乘數(shù)10只要累加2次就能得到結(jié)果。

如此一來(lái)，可以減少不少時(shí)鐘的消耗。

?

實(shí)驗(yàn)二: 傳統(tǒng)乘法器改進(jìn)

和實(shí)驗(yàn)一相比，在進(jìn)行累加操作之間，多了一個(gè)被乘數(shù)和乘數(shù)比較的步驟。

（一）在初始化之際，取乘數(shù)和被乘數(shù)的正負(fù)關(guān)系，然后取被乘數(shù)和乘數(shù)的正值。

（二）乘數(shù)和被乘數(shù)比較，如果被乘數(shù)小于乘數(shù)，結(jié)果乘數(shù)和被乘數(shù)互換。

（三）每一次累加操作，遞減一次乘數(shù)。直到乘數(shù)的值為零，表示操作結(jié)束。

（四）輸出結(jié)果根據(jù)正負(fù)關(guān)系取得。

multiplier_module_2.v

和實(shí)驗(yàn)一先比，添加了一個(gè)比較的步驟（46~49行）。仿真結(jié)果：

仿真.vt 文件和實(shí)驗(yàn)一樣。

?

在仿真的結(jié)果上，10 x 2 和2 x 10 的時(shí)鐘消耗都一樣。

實(shí)驗(yàn)說(shuō)明：

與實(shí)驗(yàn)一的乘法器比較，關(guān)于時(shí)鐘的消耗多少都有改進(jìn)。

實(shí)驗(yàn)結(jié)論：

傳統(tǒng)的乘法器無(wú)論如何改進(jìn)也好，當(dāng)遇見(jiàn)如127 x 127 的乘數(shù)和被乘數(shù)，咋也看不出什么優(yōu)化......

1.4 補(bǔ)碼君存在的意義

每一個(gè)人都有存在的意義，有的人用一生的時(shí)間去尋找自己的存在意義，有的人則是經(jīng)過(guò)生活的大反轉(zhuǎn)，看到了自己存在意義，有的人則不聞不問(wèn)... 當(dāng)然補(bǔ)碼也有存在的意義，只是在前面的實(shí)驗(yàn)被筆者濫用而已。

補(bǔ)碼不僅可以執(zhí)行正值和負(fù)值轉(zhuǎn)換，其實(shí)補(bǔ)碼存在的意義，就是避免計(jì)算機(jī)去做減法的操作。

? ?? 1101 ??? -3補(bǔ)

+ ?? 1000??? 8

????? 0101??? 5

?

假設(shè)-3 + 8，只要將-3 轉(zhuǎn)為補(bǔ)碼形式，亦即0011 => 1101，然后和8，亦即1000相加

就會(huì)得到5，亦即0101。至于溢出的最高位可以無(wú)視掉。

1101 ??? -3補(bǔ)

+???? 1110???? -2補(bǔ)

?? 1011??? -5補(bǔ)

其實(shí)你知道嗎，如Quartus II 綜合器 ，當(dāng)我們使用“－”算術(shù)操作符的時(shí)候，其實(shí)就是使用補(bǔ)碼的形式，具體如下：

A = 8'd5;

B = 8'd9;

A －B 等價(jià)于A + ( ~B + 1'b1 )；

在實(shí)際的操作中，綜合器都會(huì)如上優(yōu)化。

?

1.5：Booth算法乘法器

傳統(tǒng)的乘法器是有極限的，因此位操作乘法器就出現(xiàn)了。筆者在網(wǎng)上沖浪找資源的時(shí)候，還常常撞到許多稀奇古怪的位操作乘法器。但是有一種位操作乘法器，吸引了筆者的眼球，它就是Booth算法乘法器。實(shí)際上Booth 算法是一種“加碼”乘法運(yùn)算。

Booth 算法的概念也很簡(jiǎn)單，我們先從數(shù)學(xué)的角度去理解看看：

?

B[0]	B[-1]	加碼結(jié)果
0	0	0（無(wú)操作）
0	1	1（+被乘數(shù)）
1	0	1（－被乘數(shù)）
1	1	0（無(wú)操作）

?

B[-1] 是什么？先假設(shè)B是2的，然而B(niǎo)的最低位的右邊后一個(gè)“負(fù)一位”那就是B[-1]。

0010 0? // LSB 右邊出現(xiàn)的就是-1位

那么上面那個(gè)加碼表和乘法又有什么關(guān)系呢？其實(shí)要加碼的目標(biāo)是“乘數(shù)”，假設(shè)乘數(shù)為2, 那么乘數(shù)2的加碼過(guò)程會(huì)是如下。

一開(kāi)始的時(shí)候在乘數(shù)2的“負(fù)一位”加上一個(gè)默認(rèn)0值	0010?0
先判斷[0: -1]，結(jié)果是2'b00，表示“0”亦即沒(méi)有操作	0010 0
判斷[2: 1]，結(jié)果是2'b01，表示“1”亦即“－被乘數(shù)”操作	0010 0
判斷[1: 0]，結(jié)果是2'b10，表示“1”亦即“+被乘數(shù)”操作	0010 0
判斷[3: 2]，結(jié)果是2'b00，表示“0”亦即沒(méi)有操作	0010 0

舉個(gè)例子，被乘數(shù)為7，0111; 乘數(shù)為2，0010；結(jié)果會(huì)是什么？

????? 0111? ???? - A被乘數(shù) ????? 0010?0? - B乘數(shù) ? ========== ????? 0110? ??? - 乘數(shù)加碼 ? ========== ????? 0000???? 0 ?? 111001??????1?（- 7） ??? 0111?????? 1 （+7） ?? 0000 ?????? 0 ? ========== ?? 0001110???? 14??? ? ==========????????

? ? ? ? 從左邊的操作過(guò)程中，我們可以看到乘數(shù)被加碼以后， 操作的結(jié)果是14。

從數(shù)學(xué)的角度看來(lái)，確實(shí)Booth算法是麻煩的存在，但是在位操作的角度來(lái)看就不是這么一回事。實(shí)際上在千奇百怪的位操作乘法中，Booth算法其中可以容納“補(bǔ)碼”亦即“負(fù)數(shù)”來(lái)執(zhí)行操作。

B[0]	B[-1]	加碼結(jié)果
0	0	無(wú)操作，右移一位
0	1	+被乘數(shù)，右移一位
1	0	-被乘數(shù)，右移一位
1	1	無(wú)操作，右移一位

?

上面的圖表是位操作時(shí)候的Booth 算法。Booth算法在位操作的時(shí)候，它使用一個(gè)很有個(gè)性的空間，就是P空間。

?

先假設(shè)：被乘數(shù)A 為7 (0111)，乘數(shù)B為2 (0010) ，它們n均為4位，所以P空間的容量是n x 2 + 1 , 亦即9 位。

_ _ _ _ _ _ _ _? _? // P空間

那么P空間如何實(shí)現(xiàn)乘法的位操作呢？

一開(kāi)始先求出-1 (被乘數(shù))	?A = 0111，A= 1001
然后初始化P 空間, 默認(rèn)為0	?P = 0000 0000 0
P空間的[4..1] 填入乘數(shù)	?P = 0000 0010 0
判斷P[1:0]，是2'b00 亦即“無(wú)操作”	?P = 0000 0010 0
判斷P[8], 如果是邏輯0右移一位補(bǔ)0，反之補(bǔ)1。	?P = 0000 0001 0
判斷P[1:0]，是2'b10 亦即“-被乘數(shù)”。	?P = 0000 0001 0
P空間的[8..5] 和 被乘數(shù)?A相加。	?P = 0000 0001 0 ?+? 1001????? ?P = 1001 0001 0
判斷P[8], 如果是邏輯0右移一位，補(bǔ)0，反之補(bǔ)1	?P = 1100 1000 1
判斷P[1:0]，是2'b01 亦即“+被乘數(shù)”。	?P = 1100 1000 1
P空間的[8..5] 和 被乘數(shù) A 相加。	?p = 1100 1000 1 ?+? 0111????? ?P = 0011 1000 1?無(wú)視最高位溢出
判斷P[8], 如果是邏輯0右移一位補(bǔ)0，反之補(bǔ)1	?P = 0001 1100 0
判斷P[1:0]，是2'b00 亦即“無(wú)操作”	?P = 0001 1100 0
判斷P[8], 如果是邏輯0右移一位，補(bǔ)0，反之補(bǔ)1	?P = 0000 1110 0
最終P空間的[8..1] 就是最終答案。	?P =?0000 1110?0

從上面的操作看來(lái)，由于乘數(shù)和被乘數(shù)均為n 位所以 “判斷P[1:0]，后操作,之后移位”的操作僅執(zhí)行四次而已。

?

? 如左邊的循環(huán)圖。A為被乘數(shù)，A為被乘數(shù)補(bǔ)碼形式（-1(A) ），B為乘數(shù)，n為乘數(shù)和被乘數(shù)的位寬，P為操作空間。 ? 一開(kāi)始P空間會(huì)初始化，然后P空間的[4..1] 位會(huì)填入B。然后進(jìn)入P[1:0]的判斷。每一次的判斷過(guò)后的操作都會(huì)導(dǎo)致P空間右移一次，至于右移過(guò)后的最高位是補(bǔ)0還是補(bǔ)1，是由當(dāng)時(shí)P[8]說(shuō)了算。 ? ? 當(dāng)循環(huán)n 次以后，最終結(jié)果會(huì)是P[8:1]。

?

實(shí)驗(yàn)三：Booth算法乘法器

實(shí)驗(yàn)中建立的Booth算法乘法器大致的步驟正如1.5章節(jié)所描述的那樣。

booth_multiplier_module.v

第13~15行是仿真的輸出（S - Simulation , Q - Output）。第20~25行定義了該模塊所使用的寄存器。a寄存器用來(lái)寄存A 值，s寄存器用來(lái)寄存-1(A) 的值，p寄存器是P空間。輸入信號(hào)A和B均為8位位寬，所以p寄存器是17位位寬。至于X寄存器是用來(lái)表示n位，用來(lái)指示n 次循環(huán)。

步驟0（40~41行），初始化了a，s寄存器。p[8:1]填入B值，亦即乘數(shù)，其余的位均為0值。

步驟1（43~51行）是用來(lái)判斷p[1:0] 的操作。步驟2（53~55行）是執(zhí)行右移一位，是補(bǔ)0還是補(bǔ)1，完全取決于p[16]。步驟1~2會(huì)重復(fù)交替執(zhí)行，直到X的值達(dá)到8次，就會(huì)進(jìn)入下一步步驟。

步驟3~4（57~61行）是用來(lái)產(chǎn)生完成信號(hào)。第68行輸出信號(hào)product 是由p空間的[16..1]來(lái)驅(qū)動(dòng)。第72~74行是仿真用的輸出信號(hào)，功能如字面上的意思。

booth_multiplier_module.vt

?

在仿真中，從步驟0~3（59~73行），激勵(lì)了不同A和B的值（被乘和數(shù)乘數(shù)）。

仿真結(jié)果：

P空間的詳細(xì)操作過(guò)程，自己代開(kāi)modelsim看吧，界面有限的關(guān)系。從仿真結(jié)果上可以看到，4次的乘法操作所使用的時(shí)間都一樣，尤其是-127 x -127 的情形，不像傳統(tǒng)乘法器那樣累加127次，才能得到結(jié)果。（p空間的[ Width :1]是用來(lái)填入乘數(shù)B，然而p空間的[Width * 2 : Width + 1 ] 是用來(lái)執(zhí)行和被乘數(shù)A的操作）

實(shí)驗(yàn)結(jié)論：

按常理來(lái)說(shuō)8位的乘數(shù)和被乘數(shù)，位操作會(huì)是使用8個(gè)時(shí)鐘而已，但是實(shí)驗(yàn)3的乘法器，需要先操作后移位的關(guān)系，所以多出8個(gè)時(shí)鐘的消耗......

?

1.6 筆者情有獨(dú)鐘的步驟i

在筆者初學(xué)Verilog HDL語(yǔ)言，筆者老是捉不好Verilog HDL 語(yǔ)言和時(shí)序的關(guān)系，吃了不少苦頭。世界就是很巧妙，腦子里就忽然間冒出步驟i。

?

步驟i是什么？

有關(guān)《Verilog HDL 那些事兒》那本筆記，雖然筆者的實(shí)例都和“它”有關(guān)。但是在筆記中，筆者只是微微的帶過(guò)“步驟i是仿順序操作相關(guān)的寫(xiě)法... ”。但是要探討步驟i是什么，那不是初學(xué)Verilog HDL 的任務(wù)。步驟i的用法很簡(jiǎn)單，從概念上和“順序操作”很類(lèi)似，它可以補(bǔ)助初學(xué)者不必過(guò)度依賴(lài)功能仿真，也能“從代碼中看到時(shí)序”。

如果從低級(jí)建模的角度去探討步驟i，低級(jí)建模里面有一個(gè)準(zhǔn)則，就是“一個(gè)模塊一個(gè)功能”，步驟i好比這個(gè)準(zhǔn)則的支持者。步驟i從0開(kāi)始，表示了這個(gè)模塊開(kāi)始工作，直到i被清理，這也表示了這個(gè)模塊已經(jīng)結(jié)束工作。或者可以這樣說(shuō)“一個(gè)模塊不會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)步驟i”。

?

具體上，步驟i的“值”是指示著“第幾個(gè)時(shí)鐘沿”發(fā)生，然而Verilog HDL語(yǔ)言里的“步驟”和C語(yǔ)言里的“步驟”是不一樣。C語(yǔ)言里的“步驟”就好比“把大象放進(jìn)冰箱需要幾個(gè)步驟... ”。相反的Verilog HDL 語(yǔ)言里的“步驟”，有如“時(shí)間點(diǎn)”的觀念。

如上面的示意圖所示, 在這個(gè)時(shí)間點(diǎn)里所發(fā)生的“決定”會(huì)產(chǎn)生不一樣的未來(lái)。然而在這個(gè)時(shí)間點(diǎn)里“可以允許不同的決定在這一刻存在”。舉一個(gè)例子：A的初值是4，B的初值是0。

?

case( i )

0:

begin A <= A + 2'd2; B <= B + 2'd3; i <= i + 1'b1; end

1:

if( A > 3 ) begin B <= A; A = 0; i <= i + 1'b1; end

else if i <= i + 1'b1;

?

咋看是一個(gè)簡(jiǎn)單的代碼，但是你知道里邊包含的秘密嗎？

在i = 0的時(shí)候，A 累加2，B 累加3。

在i = 1的時(shí)候，如果Ａ大于３,就Ｂ寄存Ａ的值將Ａ清零。

無(wú)論是ｉ等于０還是等于１，它們“只是這一時(shí)間點(diǎn)發(fā)生的決定”，結(jié)果會(huì)在這個(gè)時(shí)間點(diǎn)的過(guò)后發(fā)生。如果用“生動(dòng)”的話(huà)來(lái)描述的話(huà)。

在時(shí)間點(diǎn)０的時(shí)候，這個(gè)模塊決定Ａ累加２，Ｂ累加３。然后在時(shí)間點(diǎn)０過(guò)后，結(jié)果就產(chǎn)生。直到迎來(lái)下一個(gè)時(shí)間點(diǎn)，這個(gè)模塊才能再一次作決定。

在時(shí)間點(diǎn)１的時(shí)候，這個(gè)模塊判斷Ａ是否大于3。那么，問(wèn)題來(lái)了“這個(gè)模塊是以什么作為基礎(chǔ)，判斷A大于3呢？”。答案很簡(jiǎn)單就是“時(shí)間點(diǎn)1的過(guò)去的結(jié)果”或者說(shuō)“在時(shí)間點(diǎn)0過(guò)后所產(chǎn)生的結(jié)果”。

上圖完全將上述的內(nèi)容表達(dá)了出來(lái)。在這里筆者有一個(gè)很在意的問(wèn)題，那就是"<=" 賦值操作符。在眾多的參考書(shū)中“<=”賦值操作符被解釋為“時(shí)間沿有效的賦值操作符”。筆者初學(xué)的時(shí)候的，完全不知道它是蝦米... 如果換做時(shí)間點(diǎn)的概念來(lái)說(shuō)“<=”的操作符，表示了“在這個(gè)時(shí)間點(diǎn)下決定”專(zhuān)用的賦值操作符。

與“=”賦值操作符不一樣，它是沒(méi)有時(shí)間點(diǎn)的概念的賦值操作符。所以在always @ ( posedge CLK ... ) 有效區(qū)域內(nèi)，它是不適合使用，因?yàn)樗鼤?huì)破壞這個(gè)模塊的時(shí)間和結(jié)果。

我們的人生，下錯(cuò)了決定只要知錯(cuò)，吸取教訓(xùn)還有從來(lái)的機(jī)會(huì)。但是模塊下錯(cuò)了決定，就影響它的一生，所以我們?cè)诰庉嫷臅r(shí)候要特別小心，不然會(huì)可能因我們的疏忽，導(dǎo)致了這個(gè)模塊的一生悲劇。

小時(shí)候，筆者讀道德教育的時(shí)候，有一句話(huà)是筆者一生受用，那就是“先三思而后行”。

這個(gè)又和上述的內(nèi)容有什么關(guān)系呢？

我們知道“時(shí)間點(diǎn)”的概念就是“就是在這個(gè)時(shí)間點(diǎn)決定了什么，這個(gè)時(shí)間點(diǎn)的過(guò)后會(huì)產(chǎn)生什么”。難道模塊的世界就是那么現(xiàn)實(shí), 就連三思的機(jī)會(huì)也沒(méi)有嗎？這是一個(gè)很好的問(wèn)題......

舉個(gè)例子，有一個(gè)模塊他有A ，B和C三個(gè)寄存器，它們的初值都是0：

case( i )

?? 0:

?? begin A <= 3; B <= 4; C <= 0; i <= i + 1'b1; end

?? 1:

?? begin

?????? C <= A + B;

?????? if( C > 0 ) begin A <= 0; B <= 0 ; end

?????? else begin A <= 1; B <= 1; end

?????? i <= i + 1'b1;

?? end

從上面的代碼，我們可以知道。在時(shí)間點(diǎn)0，該模塊決定了A 等于3，B等于4，C等于0。然后到了時(shí)間1, 問(wèn)題來(lái)了“在時(shí)間點(diǎn)1，該模塊是以什么作為基礎(chǔ)去判斷C 的值呢？是時(shí)間點(diǎn)1過(guò)去的C值，還是在這一個(gè)瞬間A + B 所產(chǎn)生的值？”。

答案如上圖所示，if是以時(shí)間點(diǎn)1過(guò)去的C值作為判斷的基礎(chǔ)。所以說(shuō)模塊的現(xiàn)實(shí)是很殘忍的，它們不但沒(méi)有重來(lái)的機(jī)會(huì)，就連“思考”的時(shí)間也不給它。它們"只能以當(dāng)前時(shí)間點(diǎn)過(guò)去的值，作為當(dāng)前時(shí)間點(diǎn)下決定的參考......? ( 寫(xiě)到這里, 筆者流淚了! )

實(shí)際上“=”不是不可以在always @ ( posedge CLK ... ) 里出現(xiàn)，只不過(guò)它比較危險(xiǎn)。

case( i )

?? 0:

?? begin A <= 3; B <= 4; C <= 0; i <= i + 1'b1; end

?? 1:

?? begin

?????? C = A + B;

?????? if( C > 0 ) begin A <= 0; B <= 0 ; end

?????? else begin A <= 1; B <= 1; end

?????? i <= i + 1'b1;

?? end

筆者將上面的代碼稍微修改了一下， 在步驟1 變成了C = A + B。

如果把步驟i按照“時(shí)間點(diǎn)”的概念，結(jié)果會(huì)是如上圖。在時(shí)間點(diǎn)1，“=”造成了一個(gè)而外的時(shí)間停止空間，在這個(gè)空間里C 不但可以“作決定”，而且“即時(shí)得到結(jié)果”。在某種程度上，它的存在會(huì)破壞和諧，如果沒(méi)有步驟i的控制，它很容易暴走。筆者在設(shè)計(jì)模塊中，除非出現(xiàn)“不得已”的情況，否則筆者在always @ ( posedge CLK ... )區(qū)域內(nèi)，絕對(duì)不會(huì)使用它。

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1.7 Booth算法乘法器的改進(jìn)

在實(shí)驗(yàn)三中所建立的Booth算法乘法器，要完成一次乘法計(jì)算，至少要消耗16個(gè)時(shí)鐘，而且其中8個(gè)時(shí)間就是消耗在移位的方面上。那么有什么辦法改進(jìn) 實(shí)驗(yàn)三中的Booth算法乘法器呢？

在1.6章節(jié)，筆者說(shuō)了步驟i有如時(shí)間點(diǎn)的概念，假設(shè)我這樣修改實(shí)驗(yàn)三的Booth乘法器 ：

case ( i )

???

?? 0: ... 初始化

??

?? 1,2,3,4,5,6,7,8:

?? begin

?????? if( p[1:0] == 2'b01 ) p <= { p[16] , p[16:9] + a , p[8:1] };

?????? else if( p[1:0] == 2'b10 ) p <= { p[16] , p[16:9] + s , p[8:1]};

?????? else p <= { p[16] , p[16:1]};

?????? i <= i + 1'b1;

?? end

從上面的代碼，讀者能看出什么破綻嗎？我們嘗試回憶Booth算法的流程圖，先判斷p[1:0] 的操作，然后右移一位，最高位補(bǔ)0還是補(bǔ)1,是取決與 經(jīng)p[1:0]操作之后的p[16]。

那么問(wèn)題來(lái)了，從上面的代碼看來(lái)p <= { p[16] , p[16:9] + a , p[8:1]}; 其中的p[16] 是以當(dāng)前時(shí)間點(diǎn)的過(guò)去值作為基礎(chǔ)，而不是p[1:0]操作過(guò)后的值, 所以上面的代碼不行！

case( i )

?

0: ... 初始化

?

1,2,3,4,5,6,7,8：

begin

??? Diff1 = p[16:9] + a;? Diff2 = p[16:9] +s;

???

??? if( p[1:0] == 2'b01 ) p <= { Diff1[7] , Diff1 , p[8:1]};

??? else if( p[1:0] == 2'b10 ) p <= { Diff2[7] , Diff2 , p[8:1]};

??? else p <= { p[16] , p[16:1]};

?

??? i <= i + 1'b1;

end

?

上面的代碼表示了，在步驟1~8里Diff1 寄存了p[16:9] + a 的結(jié)果，反之Diff2 寄存了p[16:9] + s的結(jié)果。然后判斷p[1:0] 再來(lái)決定p 的結(jié)果是取決于Diff1 ，Diff2 或者其他。和第一段的代碼不同，第二段代碼的p輸出值是一致的。在這里有一個(gè)重點(diǎn)是，Diff1 和Diff2 沒(méi)有使用“<=”而是使用“=”，換一句話(huà)說(shuō)，Diff1 和Diff2 結(jié)果的產(chǎn)生在“該時(shí)間點(diǎn)作決定的時(shí)候”，亦即“取得即時(shí)的結(jié)果”，而不是該時(shí)間點(diǎn)過(guò)后，才產(chǎn)生結(jié)果。

實(shí)驗(yàn)四：Booth算法乘法器改進(jìn)

基于實(shí)驗(yàn)三的Booth算法乘法器，從原先的一次乘法需要16次、個(gè)時(shí)鐘，優(yōu)化至8個(gè)時(shí)鐘。

booth_multiplier_module_2.v

?

同樣是Booth 算法的原理，和實(shí)驗(yàn)三不同的是在55~67行，是步驟1~8的循環(huán)操作。不再使用X寄存器作為循環(huán)計(jì)數(shù)，而是直接使用步驟來(lái)指示8個(gè)循環(huán)操作。在55~67行，這樣的寫(xiě)法有一個(gè)好處，就是可以使得p的值輸出一致，因此可以減少8個(gè)時(shí)鐘。

仿真結(jié)果：

實(shí)驗(yàn)四所使用的.vt 文件和實(shí)驗(yàn)三的一樣。

從仿真結(jié)果看來(lái)，一次的乘法操作只消耗8個(gè)時(shí)鐘而已（步驟0初始化，和步驟9~10完成信號(hào)產(chǎn)生除外）。現(xiàn)在我們把上面的仿真結(jié)果切成一塊一塊的來(lái)看。

?

? ?	00000000 10000001 0 值左邊上升沿開(kāi)始，即是第一個(gè)時(shí)間點(diǎn)i = 0，亦即步驟0。步驟0之后就是初始化的結(jié)果。S是取反過(guò)后的a值，并且填充在p空間的[8:1]。
? ?	00000000 10000001 0 值右邊的上升沿，亦即步驟1。此時(shí)： Diff1 寄存過(guò)去的p[16:9] + a ，亦即00000000 + 10000001, 結(jié)果為10000001。Diff2 寄存過(guò)去的p[16:9] + s，亦即00000000 + 01111111, 結(jié)果為01111111。經(jīng)步驟1的“決定”，過(guò)去p[1:0]是 2'b10 ，所以p值的未來(lái)是{ Diff2[7] , Diff2 , p過(guò)去[8:1] }, 亦即 0 01111111 10000001。
? ?	00111111 11000000 1 值右邊的上升沿，亦即步驟2。此時(shí)： Diff1 寄存過(guò)去的p[16:9] + a ，亦即00111111 + 10000001, 結(jié)果為11000000。Diff2 寄存過(guò)去的p[16:9] + s，亦即00111111 + 01111111, 結(jié)果為10111110。經(jīng)步驟2的“決定”，過(guò)去p[1:0]是 2'b01 ，所以p值的未來(lái)是{ Diff1[7] , Diff1 , p過(guò)去[8:1] }, 亦即 1 11000000 11000000。
? ?	11100000 01100000 0 值右邊的上升沿，亦即步驟3。此時(shí)： Diff1 寄存過(guò)去的p[16:9] + a ，亦即11100000 + 10000001, 結(jié)果為01100001。Diff2 寄存過(guò)去的p[16:9] + s，亦即11100000 + 01111111, 結(jié)果為01011111。經(jīng)步驟3的“決定”，過(guò)去p[1:0]是2'b00 ，所以p值的未來(lái)是{ p過(guò)去[16] , p過(guò)去[16:1] }, 亦即 1 11100000 01100000。
	11110000 00110000 0 值右邊的上升沿，亦即步驟4。此時(shí)： Diff1 寄存過(guò)去的p[16:9] + a ，亦即11110000 + 10000001, 結(jié)果為01110001。Diff2 寄存過(guò)去的p[16:9] + s，亦即11110000 + 01111111, 結(jié)果為01101111。經(jīng)步驟4的“決定”，過(guò)去p[1:0]是2'b00 ，所以p值的未來(lái)是{ p過(guò)去[16] , p過(guò)去[16:1] }, 亦即 1 11110000 00110000。 ? ?

	11111000 00011000 0 值右邊的上升沿，亦即步驟5。此時(shí)： Diff1 寄存過(guò)去的p[16:9] + a ，亦即11111000 + 10000001, 結(jié)果為01111001。Diff2 寄存過(guò)去的p[16:9] + s，亦即11111000 + 01111111, 結(jié)果為01110111。經(jīng)步驟5的“決定”，過(guò)去p[1:0]是2'b00 ，所以p值的未來(lái)是{ p過(guò)去[16] , p過(guò)去[16:1] }, 亦即 1 11111000 00011000。 ? ?
	11111100 00001100 0 值右邊的上升沿，亦即步驟6。此時(shí)： Diff1 寄存過(guò)去的p[16:9] + a ，亦即11111100 + 10000001, 結(jié)果為01111101。Diff2 寄存過(guò)去的p[16:9] + s，亦即11111100 + 01111111, 結(jié)果為01111011。經(jīng)步驟6的“決定”，過(guò)去p[1:0]是2'b00 ，所以p值的未來(lái)是{ p過(guò)去[16] , p過(guò)去[16:1] }, 亦即 1 11111100 00001100。 ? ?
	11111110 000001100 0 值右邊的上升沿，亦即步驟7。此時(shí)： Diff1 寄存過(guò)去的p[16:9] + a ，亦即11111110 + 10000001, 結(jié)果為01111111。Diff2 寄存過(guò)去的p[16:9] + s，亦即11111110 + 01111111, 結(jié)果為01111101。經(jīng)步驟7的“決定”，過(guò)去p[1:0]是2'b00 ，所以p值的未來(lái)是{ p過(guò)去[16] , p過(guò)去[16:1] }, 亦即 1 11111110 00000110。 ? ?
	11111111 00000011 0 值右邊的上升沿，亦即步驟8。此時(shí)： Diff1 寄存過(guò)去的p[16:9] + a ，亦即11111111 + 10000001, 結(jié)果為10000000。Diff2 寄存過(guò)去的p[16:9] + s，亦即11111111 + 01111111, 結(jié)果為 01111110。經(jīng)步驟8的“決定”，過(guò)去p[1:0]是2'b10 ，所以p值的未來(lái)是{Diff2[7] , Diff2, p過(guò)去[8:1] }, 亦即 0 01111110 00000011。 ? ? 最終結(jié)果取值未來(lái)p[16:1] ，00111111 00000001 亦即16129。

實(shí)驗(yàn)說(shuō)明：

如果以“大象放進(jìn)冰箱”這樣的概念去理解步驟i，在實(shí)驗(yàn)四中可能會(huì)產(chǎn)生許多思考邏輯上的矛盾。換一個(gè)想法，如果以“時(shí)間點(diǎn)”的概念去理解步驟i的話(huà)，從仿真圖看來(lái)是絕對(duì)邏輯的。（再?lài)Z叨的補(bǔ)充一下，p空間的[ Width :1]是用來(lái)填入乘數(shù)B，然而p空間的[Width * 2 : Width + 1 ] 是用來(lái)執(zhí)行和被乘數(shù)A的操作）

實(shí)驗(yàn)結(jié)論：

這一章節(jié)筆記的重點(diǎn)不是要“如何如何實(shí)現(xiàn)一個(gè)算法”，而是“以不同概念的理解去完成乘法器的改進(jìn)”。

1.8 LUT乘法器

從1.8章節(jié)以前的乘法器都可以歸納為“慢速乘法器”，當(dāng)然它們不是真正意義上的慢，只不過(guò)它們無(wú)法達(dá)到急性一族人的任性而已。LUT乘法器，又成為查表乘法器。用傻瓜的話(huà)來(lái)說(shuō)，就是先吧各種各樣的結(jié)果儲(chǔ)存在一個(gè)表中，然后將輸入資源以“查表”的方式，許對(duì)比“等于的結(jié)果”。

舉個(gè)例子，筆者先建立一個(gè)16 x 16 正值的查表：

?

? ?	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
2	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30
3	0	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30	33	36	39	42	45
4	0	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44	48	52	56	60
5	0	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60	65	70	75
6	0	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60	66	72	78	84	90
7	0	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70	77	84	91	98	105
8	0	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80	88	96	104	112	120
9	0	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90	99	108	117	126	135
10	0	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120	130	140	150
11	0	11	22	33	44	55	66	77	88	99	110	121	132	143	154	165
12	0	12	24	36	48	60	72	84	96	108	120	132	144	156	168	180
13	0	13	26	39	52	65	78	91	104	117	130	143	156	169	182	195
14	0	14	28	42	56	70	84	98	112	126	140	154	168	182	196	210
15	0	15	30	45	60	75	90	105	120	135	150	165	180	195	210	225

假設(shè)A x B，它們均為4位，A為10，B為2，那么結(jié)果會(huì)是20。查表乘法器之所以被稱(chēng)為快速乘法器，就是上面的原因( 實(shí)際上許多硬件乘法器都是使用查表的方式)。

如果A x B ，它們均為8位，那么應(yīng)該如何呢？難道再建立一個(gè)256 x 256 乘法器！？這樣會(huì)死人的。

不知道讀者有沒(méi)有聽(tīng)過(guò)Quarter square 乘法查表呢？

上邊是該算法的公式，在公式的結(jié)束得到ab = ( ( a + b )^2?)/4 - ( ( a - b )^2?)/4 。

如果再進(jìn)一步細(xì)分的話(huà)，無(wú)論是( a + b )²/4? 或者( a - b )²/4，經(jīng)過(guò)冪運(yùn)算后，得到的結(jié)果都是正值。

假設(shè)a 和b的位寬都是8 位的短整數(shù)話(huà)( 127 + 127 )^2?/ 4 = ( -127 - 127 )^2?/ 4。那么我們可以得到一個(gè)結(jié)論“( a + b )²/4? 或者( a - b )²/4? 使用同樣的(C)²/4 查表”。

那么我們建立一個(gè)C = 0 ~ 255 ，并且內(nèi)容是(C)²/4 的查表。

?

這個(gè)查表的尋址雖然是0~255，但是實(shí)際上下限是254而已。因?yàn)槲覀冎纼蓚€(gè)短整數(shù)最大值相加僅有-127 + -127 = -254 或者127 + 127 = 254 。

那么問(wèn)題來(lái)了, 短整數(shù)的最大取值范圍是-127 ~ 127 而已，何來(lái)寄存-254 ~ 254 呢？

這里我們就涉及了“不同容量空間的相互賦值”。假設(shè)C 是9位位寬的不正規(guī)整數(shù)

，然而A 和B 都是8位位寬的正規(guī)整數(shù)，那么C = A + B ?

?

??? C = A + B	等價(jià)于	??? C = { A[7], A } + { B[7], B }
??? A = 127 (0111 1111) ??? B = 127 (0111 1111) ? ?A? ?? 0111 1111 ?B? ? ?0111 1111? + ?C? ? 01111 1110	等價(jià)于	??? ??? A = 127 (00111 1111) ??? B = 127 (00111 1111) ? ?A? ? 00111 1111 ?B? ? 00111 1111? + ?C? ? 01111 1110 ? ?
??? ??? A = -127 (1000 0001) ??? B = -127 (1000 0001) ??? ?A? ?? 1000 0001 ?B? ?? 1000 0001? + ?C? ? 10000 0010 ? ?	? ? ? ? ? ? 等價(jià)于	? ? ??? A = -127 (11000 0001) ??? B = -127 (11000 0001) ??? ?A? ? 11000 0001 ?B? ? 11000 0001? + ?C? ? 10000 0010 ? ?

接下來(lái)，我們來(lái)看一看下面的代碼：

reg [8:0]I1,I2;

case( i )

0:

begin

??? I1 <= { A[7], A } + { B[7], B };??????????? // C =A + B;

??? I2 <= { A[7], A } + { ~B[7], ( ~B + 1'b1 ) };? // C = A - B;

??? i <= i + 1'b1;

end

1:? // 取正值

begin

??? I1 <= I1[8] ? ( ~I1 + 1'b1 ) : I1;

??? I2 <= I2[8] ? ( ~I2 + 1'b1 ) : I2;

??? i <= i + 1'b1;

end

?

上面的I1 和I2 均為9位位寬。在步驟0，I1表示了C = A + B，相反的I2 表示了C = A - B。由于短整數(shù)的賦值采用補(bǔ)碼的表示方式，所以大大簡(jiǎn)化了正負(fù)轉(zhuǎn)換的操作。

假設(shè)A = -1 ( 1111 1111 ) , B = -3 ( 1111 1101 ), 經(jīng)過(guò)上面步驟0的操作：

I1 = { 1 11111111 } + { 1 1111 1101 } = 1 1111 1100 (-4) 等價(jià)于I1 = -1 + -3 = -4

I2 = { 1 11111111 } + { 0 0000 0011 } = 0 0000 0010 ( 2) 等價(jià)于I2 = -1 - (-3) = -1 + 3 = 2

步驟1是I1 和I2 從負(fù)值轉(zhuǎn)換為正值。

假設(shè)I1 = -4 (1 111 1100) ，I2 = 2 (0 0000 0010), 經(jīng)過(guò)步驟1的操作：

I1 = 0 0000 0011 + 1 = 0 0000 0100;

I2 = 0 0000 0010;

為什么在步驟1中，要特意將負(fù)值轉(zhuǎn)換為正值呢？筆者在前面已經(jīng)說(shuō)過(guò)，無(wú)論是(-C)^2?還是(C)^2?取得的結(jié)果都是一至。為了兩者I1 和I2 共用相同的查表這是必須的步驟。

如果用I1和I2 來(lái)表達(dá)Quarter square 公式，那么：

?( | I1 |^2?/ 4 ) - ( | I2 |^2?/ 4 )

實(shí)驗(yàn)五：基于Quarter square 的查表乘法器

首先筆者手動(dòng)建立0~255 關(guān)于(C)²/4 結(jié)果的lut_module.v ，因?yàn)橛肣uartus II建立的rom 仿真不給力，很別扭。

?

lut_module.v

這是我目前，貼過(guò)最長(zhǎng)的.v 文件了...

lut_multiplier_module.v

這個(gè)模塊的功能很簡(jiǎn)單。首先取得I1 = A + B ，I2 = A - B，然后I1 和I2 都正值值，將I1 和I2 送至各自的查表，然后將得出的結(jié)果Q1_Sig (I1的結(jié)果) 和Q2_Sig

(I2的結(jié)果) , 執(zhí)行相減。實(shí)際上是補(bǔ)碼形式的相加，Q1_Sig + ( ~Q2_Sig + 1'b1 ) ，以致符合Quarter square的公式：

?( a + b )²/4? - ( a - b )²/4 = ( |I1| )²/4? + [ ( |I2| )²/4]補(bǔ)

???????????? ????????????????? = Q1_Sig + [Q2_Sig]補(bǔ)

?

?

第15~18行是仿真的輸出。第26~27行建立Q1_Sig 和Q2_Sig ，實(shí)際上這兩個(gè)線型數(shù)據(jù)是U1（81~87行）和U2（91~97行） 實(shí)例前申明的，可是modelsim 那么混蛋，偏偏就不給我通過(guò)。

從37~77行是該模塊的主功能。步驟0（49~54行）是取I1 和I2 的值。步驟1（56~61行）是I1和I2的正值化操作。步驟2（63~64行）是延遲一個(gè)時(shí)鐘，給予足夠的時(shí)間從lut_module.v讀出結(jié)果。步驟3（66~67行），是Quarter square公式操作的最后一步。

89~99行是lut_module.v 的實(shí)例化 ，U1是給I1使用 ，U2是給I2使用，它們的輸出連線分別是Q1_Sig 和Q2_Sig 。102行的Product 輸出信號(hào)由Data寄存器驅(qū)動(dòng)。然而106~109行是仿真輸出的驅(qū)動(dòng)，分別有I1 , I2 ,Q1_Sig 和Q2_Sig 的仿真輸出。

?

lut_multiplier_module.vt

.vt 文件的寫(xiě)法和之前的實(shí)驗(yàn)都一樣，如果真的不知道筆者在寫(xiě)什么，就得好好看筆者之前寫(xiě)的筆記。

仿真結(jié)果：

看吧！一次的乘法操作僅需4個(gè)時(shí)鐘的而已。比起改進(jìn)的Booth算法減少了一半的時(shí)鐘消耗。真不愧是查表式的乘法器，佩服佩服。

實(shí)驗(yàn)結(jié)論：

說(shuō)實(shí)話(huà)查表式的乘法器是“以空間換時(shí)間”的乘法器，所以說(shuō)查表式的乘法器是很消耗空間。到底有什么乘法器“可以節(jié)約空間，又節(jié)省時(shí)鐘”呢？

你知道嗎？傳統(tǒng)查表的乘法器都有一個(gè)僵局，假設(shè)A(B)，那么其中一個(gè)變量需要是“恒數(shù)”，否則建立查表的工作是非常的勞動(dòng)。但是Quarter square 公式的出現(xiàn)把這個(gè)僵局給打破。感謝前人的努力吧，我們后人才能乘涼......

1.9 Modified Booth 算法乘法器

事先聲明modified booth 算法 和 改進(jìn)的booth 算法乘法器（實(shí)驗(yàn)四）是沒(méi)有任何關(guān)系的。如字面上的意思modified booth 算法是booth 算法的升級(jí)版。我們稍微來(lái)回味一下booth 算法。

?

假設(shè)B是4位位寬的乘數(shù)，那么booth 算法會(huì)對(duì)B[0: -1] , B[1:0], B[2:1], B[3:2] 加碼，而使得乘法運(yùn)算得到簡(jiǎn)化。booth 算法有典型數(shù)學(xué)做法，也有位操作的做法。Modified booth 算法比起booth 算法，對(duì)于4位位寬B乘數(shù)的加碼返回會(huì)更廣，而使得n/2 乘法運(yùn)算的優(yōu)化。再假設(shè)B是4微微款的倍數(shù)，那么modified booth 算法會(huì)對(duì)B[1:-1] , B[3:1] 執(zhí)行加碼。

如果站在位操作的角度上：

?

B[1]	B[0]	B[-1]	操作結(jié)果
0	0	0	無(wú)操作，右移兩位
0	0	1	+被乘數(shù)，右移兩位
0	1	0	+被乘數(shù)，右移兩位
0	1	1	右移一位，+被乘數(shù)，右移一位
1	0	0	右移一位，－被乘數(shù)，右移一位
1	0	1	－被乘數(shù)，右移兩位
1	1	0	－被乘數(shù)，右移兩位
1	1	1	無(wú)操作，右移兩位

?

Modified booth 算法同樣也有使用p空間，假設(shè)乘數(shù)A，和被乘數(shù)B，均為4位，那么p空間的大小n x 2 + 1 ，亦即9位。乘數(shù)A為7 (0111)，被乘數(shù)B為2 (0010)。

?

先求出+被乘數(shù) 和 －被乘數(shù)，亦即A 和?A。	?? A = 0111 ，?A= 1001
P空間初始化為0，然后P空間的[4..1] 填入乘數(shù) 亦即B。	?? P = 0000 0000 0 ?? P = 0000 0010 0
先判斷p[2:0]，結(jié)果是3'b100 亦即“右移一位，－被乘數(shù)，右移一位”。	?? P = 0000 0010 0
右移一位 ? ?	?? P = 0000 0001 0 ??
p[8:5] 加上?A	?? P = 0000 0001 0 ???+? 1001????? ???P = 1001 0001 0
右移一位	?? p = 1100 1000 1
判斷p[2:0]，結(jié)果是3'b001 亦即“+被乘數(shù)，右移二位”。	?? p = 1100 1000 1

?

p[8:5] 加上 A	?? P = 1100 1000 1 ???+? 0111????? ???P = 0011 1000 1
右移二位	?? P = 0000 1110 0
最終取出p[8:1] 就是最終答案8'b00001110 ?，亦即14。	?? P =?0000 1110?0

?

關(guān)于4 位為位寬的乘數(shù)和被乘數(shù)操作流程圖如下：

說(shuō)實(shí)話(huà)modified booth 算法的位操作是很不規(guī)則，從上面的流程圖可以看到，不同的p[2:0]操作都有“不同的步驟次數(shù)”，這也使得它非常不適合作為運(yùn)用。

?

實(shí)驗(yàn)六：Modified Booth 乘法器

?

這個(gè)模塊大致的操作如上述的流程圖。

modified_booth_module.v

?

15~17行是仿真輸出。43~94行是該模塊的主功能。在步驟0（45~51行）取得被乘數(shù)A并且寄存在a寄存器，此外取得-1(被乘數(shù)A) 并且寄存在s寄存器。在初始化p空間的同時(shí)，將乘數(shù)B填入p[8:1]。

（由于被乘數(shù)A和乘數(shù)B的位寬為8，所以p空間是n x 2 + 1 亦即9。我知道我很長(zhǎng)氣，但是還是容許筆者補(bǔ)充一下：p空間的[ Width :1]是用來(lái)填入乘數(shù)B，然而p空間的[Width * 2 : Width + 1 ] 是用來(lái)執(zhí)行和被乘數(shù)A的操作）。

步驟1和2（53~62行）是p[2:0] 等于3'b000 | 111 | 001 | 010 | 101 | 110 的操作。相反的，由于modified booth 算法當(dāng)p[2:0] 等于3'b011 和3'b100 所執(zhí)行的步驟次數(shù)是不一樣（56~57行）。

所以在步驟3~5（66~73行）針對(duì) p[2:0] 等于3'b011 的操作（56行）。反之步驟6~8 (77~84行)針對(duì)p[2:0] 3'b100 的操作（57行）。

?

步驟9~10產(chǎn)生完成信號(hào)。第102行的product輸出信號(hào)是由p[16:1]來(lái)驅(qū)動(dòng)。第106~109的仿真輸出信號(hào)，分別由寄存器a ，s 和p來(lái)驅(qū)動(dòng)。

modified_booth_multiplier_module.v

?

這是激勵(lì)文件，在寫(xiě)這個(gè)文件的時(shí)候，筆者心情很糟糕，所以在步驟5加入了類(lèi)似for嵌套循環(huán)的東西。其他的和之前的.vt 文件都是大同小異~ 自己看著吧。

?

仿真結(jié)果：

在仿真結(jié)果中，可以很明顯的看到當(dāng)2(4) 和127（-127）有明顯的時(shí)鐘消耗差異。

實(shí)驗(yàn)結(jié)論：

如果Modified booth 算法用在“位操作”，雖然它是快速的乘法操作，但是很多時(shí)候它還是很別扭。換句話(huà)說(shuō)，用它還要圖運(yùn)氣，因?yàn)椴煌某藬?shù)和被乘數(shù)都有不同的時(shí)鐘消耗......

?

1.10 Modified Booth 乘法器·改

如果要把Modified Booth 乘法器別扭的性格去掉，我們不得站在“數(shù)學(xué)的角度”去看modified booth 算法。下表是從數(shù)學(xué)的角度去看modified booth 針對(duì)乘數(shù)B的加碼。

?

B[1]	B[0]	B[n-1]	操作結(jié)果
0	0	0	無(wú)操作
0	0	1	+被乘數(shù)
0	1	0	+被乘數(shù)
0	1	1	+2(被乘數(shù))
1	0	0	－2(被乘數(shù))
1	0	1	－被乘數(shù)
1	1	0	－被乘數(shù)
1	1	1	無(wú)操作

?

我們假設(shè)A被乘數(shù)和乘數(shù)B均為4位位寬 ：A=7（0111），B=2（0010）。

?

A = (7) 0000 0111；2A = (14) 0000 1110；-2A = (-14) 1111 0010。

?

在這里我們必須注意一下當(dāng)B[1:-1] 等于011 或者100 的時(shí)候，4位的被乘數(shù)A的取值范圍最大是-7 ~ 7 然而，+2(被乘數(shù)) 或者 －2(被乘數(shù)) 都會(huì)使得A的最大值突破取值范圍。所以需要從4位位寬的空間向更大的位位寬哦空間轉(zhuǎn)換。這里就選擇向8位位寬的空間轉(zhuǎn)換吧。

?

B乘數(shù)加碼為B[1:-1] = 3'b100?，亦即 －2(被乘數(shù)) 和B[3:1] = 3'b100 ，亦即 +被乘數(shù)。

?

??? A????? 0 1 1 1

?? ?B????? 0 0 1 0??0

??? ==============

?????????? +1? -2?????? B乘數(shù)加碼

??? ==============

? 1 1 1 1 0 0 1 0

?+ 0 0 0 0 0 1 1 1????????? << 2 左移兩位

?? ===============

??? 10 0 0 0 1 1 1 0????? 無(wú)視超過(guò)8位最高位的益處

?? ===============

?

還記得booth算法在數(shù)學(xué)角度上的運(yùn)算嗎？4位的乘數(shù)和被乘數(shù)相乘，乘數(shù)必須加碼n次，而且乘積也是n 位的次數(shù)，亦即4次哦加碼操作，和4次的乘積操作。相反的modified booth 算法在數(shù)學(xué)的角度上運(yùn)算的話(huà)，4位的乘數(shù)和被乘數(shù)相乘，乘數(shù)加碼為n位/ 2 次，而且乘積也是n位/2 的次數(shù)，亦即2次加碼操作，和2次的乘積操作

實(shí)驗(yàn)七：Modified Booth 乘法器·改

modified_booth_multiplier_module_2.v

?

第29~27行是該模塊所使用的寄存器。a是用來(lái)寄存A，a2是用來(lái)寄存2A，s是用來(lái)寄存-A，s2是用來(lái)寄存-2A。M是用來(lái)表示每次乘積的偏移量。

由于這個(gè)實(shí)驗(yàn)不是站在位操作的角度上，所以P空間僅是作為累加空間的存在。作為補(bǔ)償寄存器N用來(lái)判別booth 加碼操作，所以寄存器N用于寄存乘數(shù)B的值。乘數(shù)B是8位位寬，所以N空間的大小是 “乘數(shù)B的大小+ 1”。多出來(lái)的1個(gè)空間是用來(lái)寄存B[-1]的值。”

在步驟0（54~65行），是用來(lái)初始化所有相關(guān)的寄存器。寄存器a，a2，s，s2 在初始化的同時(shí)也進(jìn)行8位 向16位 空間轉(zhuǎn)換。寄存器p和M都清零，至于寄存器N[8:1]是用來(lái)填充乘數(shù)B，N[0] 填入零值。

步驟1~4（67~79），也就是4次的乘積次數(shù)，因?yàn)槭艿絥/2 的關(guān)系。每一次的乘積操作都是先判別N[2:0]，然后累加相關(guān)的值。

我們知道傳統(tǒng)的乘法，每一次的乘積操作，都有偏移量 ，打個(gè)比方。

?? 123

?? 111

=====

?? 123? <= 十進(jìn)制的第一個(gè)乘積是 偏移0，沒(méi)有左移位操作。

? 123?? <= 十進(jìn)制的第二個(gè)乘積是 偏移10，也就是左移1位。

?123??? <= 十進(jìn)制的第三個(gè)乘積是 偏移100，也就是左移2位。

=====

???????? ?

同樣的道理寄存器M 是用于記錄二進(jìn)制的每一次乘積偏移量，但是modified booth乘法的乘積偏移量是普通2進(jìn)制乘法乘積偏移量的2被。所以每一次乘積操作結(jié)束都左移+2。

至于寄存器N它寄存了B[7:1] + B[-1] 的值。然而每一次用于的判別都是N[2:0],所以每一次的乘積之后，N都需要右移兩位。

假設(shè)B = 1101 0010 ，N 必然是1101 0010 0。

乘積1 ? ? B[1:-1] = 100 N = 1101 0010 0

乘積2 ? ? B[3:1] = 001 N = 0011 0100 1

乘積3 ? ? B[5:3] = 010 N = 0000 1101 0

乘積4 ? ? B[7:5] = 110 N = 0000 0011 0

為什么說(shuō)8 位位寬的數(shù)據(jù)相乘，乘積運(yùn)算次數(shù)是n / 2 ，亦即4。這是Modified booth算法的一個(gè)特點(diǎn)。如果站在數(shù)學(xué)的角度上，他可以節(jié)省“乘積次數(shù)/ 2”。

第92行的product 輸出是由寄存器p驅(qū)動(dòng)。前面筆者說(shuō)過(guò)了，如果站在數(shù)學(xué)的角度，p空間只是累加空間的作用而已。然而p空間的大小是“乘數(shù)和被乘數(shù)位寬大小的相加”。

第96~101行是仿真輸出信號(hào)的被驅(qū)動(dòng)。有一點(diǎn)很特別，除了寄存a, a2, s, s2 和N 以外，筆者還故意將該模塊的i 引出，這是為了觀察 “Modified booth 乘法使得乘積次數(shù)減半”這一事實(shí)。在仿真中，SQ_i 從1~4經(jīng)過(guò)，如果輸出的結(jié)果是真確，那么可以證明Modified booth 算法確實(shí)何以減少一半的乘積。

modified_booth_multiplier_module_2.vt

?

仿真結(jié)果：

?

?

從仿真結(jié)果上，我們可以看到，每一個(gè)乘法操作都消耗同樣數(shù)目的時(shí)鐘。此外還有一點(diǎn), 當(dāng)SQ_i 等于4 之后，就會(huì)得到正確的答案。

實(shí)驗(yàn)結(jié)論：

實(shí)驗(yàn)七和實(shí)驗(yàn)六相比，不僅每一次乘法操作時(shí)鐘消耗都一致，而且這樣結(jié)果帶來(lái)一個(gè)好處，就是- 實(shí)驗(yàn)七和實(shí)驗(yàn)六相比比起乘法運(yùn)算更快。此外，從SQ_i信號(hào)等于4之后，product 就輸出正確的結(jié)果，所以我們可以證明modified booth算法是可以減半乘積的次數(shù)。

總結(jié)：

從實(shí)驗(yàn)一到實(shí)驗(yàn)七當(dāng)中，筆者詳細(xì)描述出四種乘法器的各有千秋，其中還有幾種乘法器筆者還特意去優(yōu)化和提升它們。從四種乘法器之中，傳統(tǒng)乘法器，Booth 乘法器，LUT查表乘法器，和Modified Booth乘法器。LUT乘法器擁有最少的時(shí)鐘消耗（最快的運(yùn)算速度），但是LUT乘法器卻暴露出消耗資源的弱點(diǎn)。

如果將LUT乘法器排外，自然而然Modified Booth 乘法器成為第二候選人，但是要建立Modified Booth 乘法器需要很好的理論基礎(chǔ)，故很多新手都很怕它。至于Booth乘法和是最受歡迎的，如果設(shè)計(jì)的要求不像DSP那么任性，估計(jì)會(huì)有很多人喜歡它，因?yàn)樗杏?#xff0c;簡(jiǎn)單，容易親近。

剩 下的傳統(tǒng)的乘法器，它什么都不比上后者，難道我們就要鄙視它嗎？這個(gè)不然，筆者接觸各種各樣的乘法，還是托它的副，不然我是不可能如此深入研究整數(shù)乘法 器。傳統(tǒng)的乘法器，最主要的功能是傳達(dá)“乘法運(yùn)算”的概念。正如筆者贊同的一句話(huà)：“前人造路，后人走路”，前者們的辛苦應(yīng)該受到尊敬。

整數(shù)乘法器所涉及的知識(shí)可真不小，Verilog HDL語(yǔ)言掌握的成熟性姑且不說(shuō)，而且還涉及諸如補(bǔ)碼，整數(shù)的表示方法，不同位空間的整數(shù)轉(zhuǎn)換等等... 都是一些非常基礎(chǔ)的知識(shí)。我們所使用的高級(jí)語(yǔ)言，如C語(yǔ)言：

int C;

short int A,B;

C = A * B;

假設(shè)筆者輸入如同上述的代碼，實(shí)際上我們是不知道和不被允許窺看它里邊是如何操作（有傳言說(shuō)，C語(yǔ)言的乘法就是傳統(tǒng)的乘法概念... (-_-!))。

雖然這本只有短短50多頁(yè)的筆記，故事也只是圍繞著著“整數(shù)乘法器”發(fā)展，顯然還有很多地方都不給力。但是你知道嗎，關(guān)于網(wǎng)上“Verilog HDL 整數(shù)乘法器”的求救貼已經(jīng)達(dá)到很恐怖的數(shù)量，此外還有很多源碼和實(shí)例都非常不給力，真是非常蛋疼！故筆者才有編輯這本筆記的初衷，雖然這本筆記不是什么非常給力的東西，但是作為參考已經(jīng)切切有余。

不知道讀者們看完這本筆記后又會(huì)萌出什么奇怪的想法呢？

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的verilog乘法器以及booth编码改进的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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