那么如何實現這個變換？

求$X\times Y$,皆為 n bit

如果Y是無符號數，可作如下展開；如果Y是有符號數，亦可，因為其即使再參與運算，最后會由于取模而表現負數功能（可理解為對負數使用了新的具有可加性的編碼方式，而乘除正是加操作的累計）

$Y=2^{n?1}{y}_{n?1}+2^{n?2}{y}_{n?2}+2^{n?3}{y}_{n?3}+...+2^2{y}_2+2^1{y}_1+2^0{y}_0$

$2Y=2^n{y}_{n?1}+2^{n?1}{y}_{n?2}+2^{n?2}{y}_{n?3}+...+2^3{y}_2+2^2{y}_1+2^1{y}_0$

$Y=2Y?Y=2^n(y_{n?1}?0)+2^{n?1}(y_{n?2}?y_{n?1})+2^{n?2}(y_{n?3}?y_{n?2})+...+2^3(y_2?y_3)+2^2(y_1?y_2)+2^1(y_0?0)+2^0(0?y_0)$

原始乘法思路：從低位到高位遍歷處理乘數，1則加被乘數，部分積右移，右移出的位不再參與之后運算；0則不加，直接右移。

booth算法套用這種定位加再右移的框架，但重構了乘數Y。也是對乘數從低位到高位遍歷。從低位后虛補一位0開始，到最高位結束（實際上到次高位即可結束）。每次遍歷。當前位與相鄰高位的差值作為該權下的bit值，為1則加被乘數，為0則不加，為-1則加被乘數的變形補碼（減被乘數，可用乘法分配率拆分乘數理解），之后則右移，更新位權，完成一輪操作。

為什么Y的最低位的后一位要虛補一位0？

由錯位相減式得知要如此；虛補0捕捉最低位的純1子串；補0原式值不變。

遍歷Y的最高位的前一位一定要補0嗎？是否遍歷到乘數Y的次高位即可？

由錯位相減后的Y知，$2^n(y_{n?1}?0)$象征bit位中第n+1位的權，處在溢出范圍，故無論乘數該權值為何皆算溢出而無影響。另外，事實上，由于此處0是把Y看做無符號數對最高位的0拓展（正常思維），也可以這樣理解，如果把Y看做有符號數對最高位作符號拓展，則拓展符號位,始終和原符號位$y_{n?1}$保持一致，故差值一定是0，不影響乘法。

由于移位是為了下一次加法能對準位權，而第n+1次遍歷不加，故最后一次（第n次）遍歷完后不需右移部分積。但是，完成$X\times Y$，結果為n位高位部分積（每次遍歷時處理的部分積），n位低位部分積（接受高位右移溢出的bit位，同步作右移），為了使低位部分積“完全入座”，接收n個有效bit值（第n次遍歷做完可能的加法后，高位部分積共有n位有效bit值，低位部位積有n-1為有效bit值和最低位的1位空值），還需對整體進行一次算術右移（可以發現一個特點：高位部分積的最高兩位會是相等的）。故：總共做n次遍歷，若干次加法，n次移位。

順便說一句，高位部分積應采取n+1位的雙符號位形式，防止加法溢出。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的计组-booth乘法-谈原理和实现的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。