數電/模電那兩本書我也完整地翻過一、二遍（誒我為什么用“也”），下面就是來點不復雜的（如果是那還不如直接把書的內容粘過來呢）。

對于運放的定量分析，“虛短虛斷” 就如同 “奇變偶不變” 一樣喜聞樂見的普及，但是對于什么時候用 “虛短”，什么時候用 “虛斷”，學習的時候一開始并不能準確拿捏，因為 掐頭去尾 啪的一下給出各種 推論、結論，使人被動的認知障礙了。實際上，“虛短虛斷” 就是從“放大倍數趨于無窮的極限計算”得來的兩個“推論”，“放大倍數趨于無窮的極限計算”也就是本文要介紹的方法，這種“第一原理性”的分析方法可以以不變應萬變。

本文中用到的 電路拉氏變換、傳函、幅頻特性計算等等，與 “自動控制原理” 里面的方法相通，可以先看 這篇文章 【簡明自控】為什么特征方程如此重要，這里面均有陳述。

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理想運放的本質

給我一個理想運放：

理想運放的功能，就是對 up 和 un 之間的電壓差放大 A 倍后輸出 uo，即 uo = A·( up - un ) , A→∞。這是本質，這是核心公式。

好了本文結束了。

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什么？還要我舉例手推，好吧~

舉6個栗子

• 同相比例放大；

• 差分放大；

• 反相比例放大的T型接法；

• 二階有源低通濾波電路；

• 壓控電壓源二階低通濾波電路；

• 一種線性電源拓撲的可控電流源。

我選擇的也是有目的，這幾個電路相當實用。以下一一道來。

同相比例放大

對于理想運放來說，放大倍數 A 為無窮大，整理出帶有 A 的 uo/ui 的式子之后，只需一個 A→∞ 求極限，即可求出 該電路放大倍數的表達式。

下圖給出運放的“同相比例放大”接法，以及使用“uo = A·( up - un ) ”來求解的過程。

要記著運放的兩個輸入端的輸入電阻相等的條件。這樣使得運放的兩個輸入端的輸入（靜態）電流一致，減弱由運放內部的偏置和溫漂產生的差模輸出，確保 ui = 0 時， uo 也為 0（理想時）。下圖說明（“//” 符號為并聯）。

差分放大

計算過程，一樣的，先求 un 和 up，然后帶入 核心公式 “uo = A·( up - un ) ”，再求個 A → ∞ 極限，得出結論。

電路和仿真結果（Multisim 仿真）在下圖。正輸入為 25Hz 的 -5V ~ 5V 的正弦波（橘線），負輸入為 1Hz 的 -5V ~ 5V 的正弦波（紅線），輸出為藍線。可見，實時的，橘線電壓減去紅線電壓（即橘線電壓進行上下偏移）再 1/2 倍得到藍線，圖形有點漂亮吧。

反相比例放大的T型接法

反相比例放大的T型接法，小阻值電阻實現高倍數放大（使用大電阻的缺點是容易受到外接電磁干擾，阻值越大，外界電磁干擾的感應電流所引起的干擾電壓越高）。

電路、分析和仿真結果均在下圖了（列方程組后的手動整理工作量很大，所以用 matlab 幫助進行帶符號方程組的整理工作，很方便）。

下圖阻值選擇，簡單做了 uo/ui 為 -2 倍的信號調整/調理，示波器中紅色線為輸入，橘色為輸出。

二階有源低通濾波

簡單二階有源低通濾波電路，即兩個 RC 一階低通濾波串起來。

計算電路的傳遞函數從而得到其幅、相頻率特性，對電路先進行拉氏變換，然后類似歐姆定律求其傳函，再求得幅頻特性，令幅度等于 0.707（1/√2，即 -3dB（ 20lg0.707 ≈ -3dB），幅值下降到 0.707 的頻率認為是截止頻率）求出截止頻率，約為 0.374 倍的 1/2πRC，在10kHz的時候衰減倍數約為 0.0298，下面進行仿真。

伯德圖分析，-3dB 時候 約為 592 Hz，與上圖中的計算較擬合。

9.918kHz 的時候約為 -32.506dB，10kHz 的時候的理論值為 20lg0.0298 ≈ -30.51567dB，較為擬合。

二階壓控低通濾波

又可以叫壓控電壓源二階低通濾波電路（名詞的各種換位置組合。。），通頻帶內最平坦的一種濾波電路，屬于巴特沃斯濾波器的一種。

由 R1、R2 和 C1、C2 分別構成兩個一階低通濾波，但 C1 原本的接地端接 uo，引入電壓正反饋，形成壓控濾波器（書面表達）。

電路、簡單計算過程均在下圖。

仿真。按照下圖的 R、C 參數，可以計算 截止頻率約為 2.1kHz，在 10kHz 處的衰減倍數約為 0.0379，通過仿真可以驗證均擬合。

一種線性電源拓撲的可控電流源

該電路為類 LDO 原理的線性拓撲，靠功率管來分壓而動態調整輸出到目標位置，線性電源的效率不高（相比較開關電源而言），電流不宜過大（適合小于 1A 的場景），若要大電流的恒流源還得上開關電源。我的一個開源電源項目 【開源項目】疊buff電源板-巧克力板，其實現了恒流恒壓可調。

電路和分析均在下圖了。其中 PNP BJT 可以換為 P-MOS，門級（柵極）電阻不要太大。

從負反饋的角度理解。R5 為測電流的反饋電阻，當電流 Ic 變大了，R5 兩端電壓上升，up 端電壓就會減小，從而運放的輸出電壓減小，從而輸出電流 Ic 減小，若 Ic 變小了，則 up 會變大，從而 Ic 也會變大，形成動態平衡。從外界來看，即 Ic 跟蹤 ui。

尾記

這里是演示對于運放從“第一原理”角度理解、推理和驗證，從推公式過程也可見對于復雜的電路計算量較大，該法用于學習和定量分析，實際用的時候不用重推，記下結論公式即可。

本文章介紹的這個用“極限”的方法是我學模電的時候想的，還不用“虛短虛斷”法而饒有興趣的用此法對上述的電路都手推了一遍，與正確結論一致，并且還能推出“Rp=Pn”的條件。我自己常用本文的方法而不用 “虛短虛斷”，手算是用于初步分析和應付考試，實際中用的話效率很低（手算計算量大），記住各種電路拓撲和結論公式也是為了見到新電路時的初步的定性分析，原理明白后設計時最好還是用仿真軟件加以輔助和驗證。

濾波器那里計算傳遞函數、畫伯德圖、求 -3dB 處頻率、求諧振峰值及諧振頻率、求 濾波器的品質因數 Q 等等這些，完全可以用 “自動控制原理” 里面的方法來做，模電書上提供的某些帶有 f 和 f0 的求傳函和幅頻特性的方法可能屬于是工程計算上的習慣法，掩蓋了很多細節，還是學/用更基礎的、底層的拉氏變換更好操作。更多閱讀 【簡明自控】為什么特征方程如此重要，這篇文章也許會給你帶來許多啟發，打通不同的學科。

上面電路均有很豐富的應用場景，比如信號調理（包括比例放大、偏移）、信號求和/求差運算、高邊測電流、信號濾波等等，基于幾個簡單的拓撲而變化多端。

運放的用法總結：

• 正反饋接法：比較器、振蕩器。

• 負反饋接法：比例、求和/求差（或偏移）、微分/積分、濾波。

運放的基本參數：可見我的硬件規范里的 thoughs-about-hardware-design/SCH & PCB 設計規范和 AD 的使用.md at master · Staok/thoughs-about-hardware-design——運放小節 (github.com)。

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首發 知乎 于 2021.11

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【直达本质讲运放】运放的“第一原理”式定量分析法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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