T48566 【zzy】yyy點餐

題目描述
yyy去麥肯士吃垃圾食品。

麥肯士有n種單點餐品（漢堡薯條雞翅之類的）。每次選擇一種或者以上的餐點，且每種餐點不多于一個的話，可以認為是購買套餐。購買一個套餐，價格是單品價格的總和（真黑啊），但是可以送一個玩具，yyy最喜歡麥肯士的玩具了。不過有規定即使多次購買同一種套餐（也就是里面的餐點的種類和數量完全一樣）也只能獲得一個玩具。

yyy為了收集盡可能多的玩具，需要買盡可能多種的套餐。請問如果想要收集到最多的玩具數量，至少要花掉多少錢？由于yyy是個土豪，所以我們需要輸出ans mod 998244353的結果。

說明
【樣例解釋】

1 / 2 / 3 / 4 / 5 12 / 13 / 14 / 15 23 / 24 / 25 34 / 35 / 45/ 123 / 124 / 125 / 134 / 135 / 145 234 / 235 / 245 345 1234 / 1235 / 1245 / 1345 / 2345 12345

1≤n≤1000000

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錯誤日志： 輸出的時候忘記模了QAQ

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Solution

設 \(tot\) 為所有單點餐品的總花費和
顯然當套餐內單品數量為 \(k\) 時， 這一組套餐總共會花費 \(C_{n}^{k} * k * tot * \frac{1}{n}\)
那么總答案即為：
\[ans = tot * \frac{1}{n}\sum_{k = 1}^{n}C_{n}^{k} * k\]
組合數可以用二項式定理展開求得， 難搞的是每一項要乘個 \(k\)
于是嘗試把 \(k\) 弄出來
\[\sum_{k = 1}^{n}C_{n}^{k} * k\]\[=\sum_{k = 1}^{n}C_{n}^{k} * k + 0\]\[=\sum_{k = 1}^{n}C_{n}^{k} * k + C_{n}^{1} * 0\]\[=\sum_{k = 0}^{n}C_{n}^{k} * k\]
通式不好說明， 以 \(n = 5\) 為例：
\[\sum_{k = 0}^{5}C_{5}^{k} * k\]\[= C_{5}^{0} * 0 + C_{5}^{1} * 1 + C_{5}^{2} * 2 + C_{5}^{3} * 3 + C_{5}^{4} * 4 + C_{5}^{5} * 5\]\[=\frac{1}{2}(C_{5}^{0} * 0 + C_{5}^{0} * 0 + C_{5}^{1} * 1 + C_{5}^{1} * 1 + C_{5}^{2} * 2 + C_{5}^{2} * 2 + C_{5}^{3} * 3 + C_{5}^{3} * 3 + C_{5}^{4} * 4 + C_{5}^{4} * 4 + C_{5}^{5} * 5 + C_{5}^{5} * 5)\]\[=\frac{1}{2}(C_{5}^{0} * 0 + C_{5}^{5} * 5 + C_{5}^{1} * 1 + C_{5}^{4} * 4 + ... + C_{5}^{5} * 5 + C_{5}^{0} * 0)\]\[=\frac{1}{2} * 5\sum_{k = 0}^{5}C_{5}^{k}\]
將此式帶入總答案式， 用通式加二項式定理表達為：
\[ans = tot * \frac{1}{n}\sum_{k = 0}^{n}C_{n}^{k} * k\]\[=tot * \frac{1}{n} * \frac{1}{2} * n\sum_{k = 0}^{n}C_{n}^{k}\]\[ = tot * \frac{1}{2} * 2^{n}\]\[=tot * 2^{n - 1}\]
快速冪即可

Code

#include<iostream> #include<cstdio> #include<queue> #include<cstring> #include<algorithm> #include<climits> #define LL long long #define REP(i, x, y) for(LL i = (x);i <= (y);i++) using namespace std; LL RD(){LL out = 0,flag = 1;char c = getchar();while(c < '0' || c >'9'){if(c == '-')flag = -1;c = getchar();}while(c >= '0' && c <= '9'){out = out * 10 + c - '0';c = getchar();}return flag * out;} const LL M = 998244353; LL num, tot; LL Q_pow(LL a, LL p, LL mod){LL ret = 1;while(p){if(p & 1)ret = ret * a % mod;a = a * a % mod;p >>= 1;}return ret;} int main(){num = RD();REP(i, 1, num)tot = (tot + RD()) % M;printf("%lld\n", tot * Q_pow(2, num - 1, M) % M);return 0;}

轉載于:https://www.cnblogs.com/Tony-Double-Sky/p/9799865.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的T48566 【zzy】yyy点餐的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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