打印文章

一、題意及數(shù)據(jù)范圍

題目描述
題目大意：輸出N個(gè)數(shù)字a[N]，輸出的時(shí)候可以連續(xù)的輸出，每連續(xù)輸出一串，它的費(fèi)用是 “這串?dāng)?shù)字和的平方加上一個(gè)常數(shù)M”，求最小的費(fèi)用。
數(shù)據(jù)范圍
n<=500000 , m<=1000。

二、解法

基本思路

根據(jù)題目，我們可以列出dp[i]=dp[j]+(a[i]-a[j])²+m,其中dp[i]表示i點(diǎn)是最后一段的最后一個(gè)數(shù)字的最小花費(fèi),a[j]是前綴和。但是這個(gè)dp式顯然是O(n²)的，我們考慮怎么對(duì)它進(jìn)行優(yōu)化，化簡(jiǎn)得：
dp[i]=dp[j]+a[i]²+a[j]²-2*a[i]*a[j]+m
由于這個(gè)dp式在計(jì)算時(shí)需要a[i]和a[j]的乘積，單調(diào)隊(duì)列就不能維護(hù)了。

斜率優(yōu)化
半年多沒(méi)接觸，都不知道怎么用它了……
接下來(lái)有一些玄學(xué)推導(dǎo)：
設(shè)用j更新比k更優(yōu)，則：
dp[j]+a[i]²+a[j]²-2*a[i]*a[j]+m<dp[k]+a[i]²+a[k]²-2*a[i]*a[k]
消去同類項(xiàng)：dp[j]+a[j]²-2*a[i]*a[j]<dp[k]+a[k]²-2*a[i]*a[k]
移項(xiàng)：dp[j]-dp[k]+a[j]²-a[k]²<2*a[i]*(a[j]-a[k])
我們?cè)O(shè)f[j]=dp[j]+a[j]²,f[k]=dp[k]+a[k]²
$\frac{dp[j]?a[k]}{a[j]?a[k]}$<2*a[i]
這個(gè)東西……是不是很像斜率
哈！這就是它為什么要叫斜率優(yōu)化。

具體實(shí)現(xiàn)
其實(shí)最重要的東西我都講了，我們可以用這個(gè)式子結(jié)合單調(diào)隊(duì)列維護(hù)凸包，就能過(guò)了。
看代碼吧。

#include <cstdio> #define LL long long const LL MAXN = 500005; LL read() {LL x=0,flag=1;char c;while((c=getchar())<'0' || c>'9') if(c=='-') flag=-1;while(c>='0' && c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0',c=getchar();return x*flag; } LL n,m,a[MAXN],q[MAXN],dp[MAXN];LL slope_up(LL j,LL k) {return (dp[j]+a[j]*a[j])-(dp[k]+a[k]*a[k]); } LL slope_down(LL j,LL k) {return 2*a[j]-2*a[k]; } int main() {while(~scanf("%lld %lld",&n,&m)){for(LL i=1;i<=n;i++)a[i]=a[i-1]+read();LL head=1,tail=0;q[++tail]=0;dp[0]=0;for(LL i=1;i<=n;i++){while(head<tail && slope_up(q[head+1],q[head])<=a[i]*slope_down(q[head+1],q[head])) head++;//維護(hù)隊(duì)首，如上述，當(dāng)小于時(shí)就一定不比q[head+1]優(yōu)。避免精度問(wèn)題，使用乘法。 dp[i]=dp[q[head]]+(a[i]-a[q[head]])*(a[i]-a[q[head]])+m;while(head<tail && slope_up(q[tail],q[tail-1])*slope_down(i,q[tail])>=slope_up(i,q[tail])*slope_down(q[tail],q[tail-1])) tail--;//同樣維護(hù)凸包，使用乘法。 q[++tail]=i;}printf("%lld\n",dp[n]);} }

注：本篇題解只是斜率優(yōu)化入門，沒(méi)有深究，后面做到難題時(shí)再補(bǔ)幾發(fā)博客吧

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的HDU3507打印文章 斜率优化入门的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

如果覺(jué)得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。