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【題意】大概題意就是要輸出N個數字a[N]，輸出的時候可以連續的輸出，每連續輸出一串，它的費用是 “這串數字和的平方加上一個常數M”。

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【解題方法】斜率優化， 做這個題之前還不知道什么叫斜率優化，或許是有了單調隊列的理解基礎，一看就懂了。現在把我的理解和推導寫下來，供大家交流。

首先， 比較容易想到一個很樸素的方程 ： 我們設 DP[i]表示輸出到i時的 最小花費， 那么 sum[i] = 1到i的數字之和， 那么我們可以容易的列出來一個式子，
DP[i] = DP[j] + M + (sum[i] - sum[j]) ^ 2.然后顯然這是一個二維的DP。題目數據為500000， 顯然是不能通過此題的。那么考慮如何優化呢？
我們還是從上面的式子著手，我們我們假設k<j<i。如果在j的時候決策要比在k的時候決策好，那么也是就是dp[j]+M+(sum[i]-sum[j])^2<dp[k]+M+(sum[i]-sum[k])^2。
(因為是最小花費嘛，所以優就是小于)。
然后我們化簡并移項得到 ： DP[j] + Sum[j] ^ 2 - (DP[k] + Sum[k] ^ 2) / (2 * (Sum[j] - Sum[k])) < Sum[i]。 我們觀察一下左邊的式子，是不是就是
(yj - yk) / (xj - xk) ，這個形式難道不就是斜率的形式嗎？ 前面我們假設了 在 j的決策比在k的決策要好， 那么就是滿足 (yj - yk) / (xj - xk) < Sum[i]時,j比k決策好。
然后斜率優化最關鍵的部分來了：（先說下，下面的g[i, j]代表的是斜率）現在從左到右，還是設k<j<i，如果g[i,j]<g[j,k]，那么j點便永遠不可能成為最優解，可以直接將它踢出我們的最優解集。為什么呢？

我們假設g[i,j]<sum[i]，那么就是說i點要比j點優，排除j點。如果g[i,j]>=sum[i]，那么j點此時是比i點要更優，但是同時g[j,k]>g[i,j]>sum[i]。這說明還有k點會比j點更優，同樣排除j點。

排除多余的點，這便是一種優化！即是點的優化，以前聽說過一個點優化不知道是不是說的斜率優化。
那么有了這個性質之后最優解如何尋找呢？ 還是設k<j<i。由于我們排除了g[i,j]<g[j,k]的情況，所以整個有效點集呈現一種上凸性質，即k j的斜率要大于j i的斜率。
也即是這個圖：

這樣，從左到右，斜率之間就是單調遞減的了。當我們的最優解取得在j點的時候，那么k點不可能再取得比j點更優的解了，于是k點也可以排除。換句話說，j點之前的點全部
不可能再比j點更優了，可以全部從解集中排除。
我們代碼實現怎么寫呢？

1，用一個單調隊列來維護解集。

2，假設隊列中從頭到尾已經有元素a b c。那么當d要入隊的時候，我們維護隊列的上凸性質，即如果g[d,c]<g[c,b]，那么就將c點刪除。直到找到g[d,x]>=g[x,y]為止，并將d點加入在該位置中。

3，求解時候，從隊頭開始，如果已有元素a b c，當i點要求解時，如果g[b,a]<sum[i]，那么說明b點比a點更優，a點可以排除，于是a出隊。最后dp[i]=getDp(q[head])。
這個題雖然采用了斜率優化，但是還是有區別的在于，sum[i]并不是單調遞增的，也有可能兩個點的 x坐標是相同的，這就是為什么下面的斜率優化會用 <= 和 >= 的原因，
這個=一定不能缺，缺了欽定WA。

// //Created by BLUEBUFF 2016/1/8 //Copyright (c) 2016 BLUEBUFF.All Rights Reserved //#pragma comment(linker,"/STACK:102400000,102400000") #include <ext/pb_ds/assoc_container.hpp> #include <ext/pb_ds/tree_policy.hpp> #include <ext/pb_ds/hash_policy.hpp> #include <set> #include <map> #include <queue> #include <stack> #include <cmath> #include <cstdio> #include <time.h> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <sstream> //isstringstream #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; //using namespace __gnu_pbds; typedef long long LL; typedef pair<int, LL> pp; #define REP1(i, a, b) for(int i = a; i < b; i++) #define REP2(i, a, b) for(int i = a; i <= b; i++) #define REP3(i, a, b) for(int i = a; i >= b; i--) #define CLR(a, b) memset(a, b, sizeof(a)) #define MP(x, y) make_pair(x,y) const int maxn = 500010; const int maxm = 2e5; const int maxs = 10; const int maxp = 1e3 + 10; const int INF = 1e9; const int UNF = -1e9; const int mod = 1e9 + 7; int gcd(int x, int y) {return y == 0 ? x : gcd(y, x % y);} //typedef tree<int,null_type,less<int>,rb_tree_tag,tree_order_statistics_node_update>order_set; //head//斜率優化 int n, m, head, tail, dp[maxn], q[maxn], sum[maxn], a[maxn]; int getDP(int i, int j){return dp[j] + m + (sum[i] - sum[j]) * (sum[i] - sum[j]); } int getUP(int j, int k){return dp[j] + sum[j] * sum[j] - (dp[k] + sum[k] * sum[k]); } int getDOWN(int j, int k){return 2 * (sum[j] - sum[k]); }int main() {while(scanf("%d%d", &n, &m) != EOF){REP2(i, 1, n) scanf("%d", &a[i]);sum[0] = dp[0] = 0;REP2(i, 1, n) sum[i] = sum[i - 1] + a[i];head = tail = 0;q[tail++] = 0;REP2(i, 1, n){while(head + 1 < tail && getUP(q[head + 1], q[head]) <= sum[i] * getDOWN(q[head + 1], q[head])) head++;dp[i] = getDP(i, q[head]);while(head + 1 < tail && getUP(i, q[tail - 1]) * getDOWN(q[tail - 1], q[tail - 2]) <= getUP(q[tail - 1], q[tail - 2]) * getDOWN(i, q[tail - 1])) tail--;q[tail++] = i;}cout << dp[n] << endl;}return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的HDU 3507 斜率优化入学习的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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