【題目鏈接】 點(diǎn)擊打開(kāi)鏈接

【題意】大概題意就是要輸出N個(gè)數(shù)字a[N]，輸出的時(shí)候可以連續(xù)的輸出，每連續(xù)輸出一串，它的費(fèi)用是 “這串?dāng)?shù)字和的平方加上一個(gè)常數(shù)M”。

【寫(xiě)在前面】 思想?yún)⒖糂LOG : 點(diǎn)擊打開(kāi)鏈接

【解題方法】斜率優(yōu)化， 做這個(gè)題之前還不知道什么叫斜率優(yōu)化，或許是有了單調(diào)隊(duì)列的理解基礎(chǔ)，一看就懂了。現(xiàn)在把我的理解和推導(dǎo)寫(xiě)下來(lái)，供大家交流。

首先， 比較容易想到一個(gè)很樸素的方程 ： 我們?cè)O(shè) DP[i]表示輸出到i時(shí)的 最小花費(fèi)， 那么 sum[i] = 1到i的數(shù)字之和， 那么我們可以容易的列出來(lái)一個(gè)式子，
DP[i] = DP[j] + M + (sum[i] - sum[j]) ^ 2.然后顯然這是一個(gè)二維的DP。題目數(shù)據(jù)為500000， 顯然是不能通過(guò)此題的。那么考慮如何優(yōu)化呢？
我們還是從上面的式子著手，我們我們假設(shè)k<j<i。如果在j的時(shí)候決策要比在k的時(shí)候決策好，那么也是就是dp[j]+M+(sum[i]-sum[j])^2<dp[k]+M+(sum[i]-sum[k])^2。
(因?yàn)槭亲钚』ㄙM(fèi)嘛，所以優(yōu)就是小于)。
然后我們化簡(jiǎn)并移項(xiàng)得到 ： DP[j] + Sum[j] ^ 2 - (DP[k] + Sum[k] ^ 2) / (2 * (Sum[j] - Sum[k])) < Sum[i]。 我們觀察一下左邊的式子，是不是就是
(yj - yk) / (xj - xk) ，這個(gè)形式難道不就是斜率的形式嗎？ 前面我們假設(shè)了 在 j的決策比在k的決策要好， 那么就是滿足 (yj - yk) / (xj - xk) < Sum[i]時(shí),j比k決策好。
然后斜率優(yōu)化最關(guān)鍵的部分來(lái)了：（先說(shuō)下，下面的g[i, j]代表的是斜率）現(xiàn)在從左到右，還是設(shè)k<j<i，如果g[i,j]<g[j,k]，那么j點(diǎn)便永遠(yuǎn)不可能成為最優(yōu)解，可以直接將它踢出我們的最優(yōu)解集。為什么呢？

我們假設(shè)g[i,j]<sum[i]，那么就是說(shuō)i點(diǎn)要比j點(diǎn)優(yōu)，排除j點(diǎn)。如果g[i,j]>=sum[i]，那么j點(diǎn)此時(shí)是比i點(diǎn)要更優(yōu)，但是同時(shí)g[j,k]>g[i,j]>sum[i]。這說(shuō)明還有k點(diǎn)會(huì)比j點(diǎn)更優(yōu)，同樣排除j點(diǎn)。

排除多余的點(diǎn)，這便是一種優(yōu)化！即是點(diǎn)的優(yōu)化，以前聽(tīng)說(shuō)過(guò)一個(gè)點(diǎn)優(yōu)化不知道是不是說(shuō)的斜率優(yōu)化。
那么有了這個(gè)性質(zhì)之后最優(yōu)解如何尋找呢？ 還是設(shè)k<j<i。由于我們排除了g[i,j]<g[j,k]的情況，所以整個(gè)有效點(diǎn)集呈現(xiàn)一種上凸性質(zhì)，即k j的斜率要大于j i的斜率。
也即是這個(gè)圖：

這樣，從左到右，斜率之間就是單調(diào)遞減的了。當(dāng)我們的最優(yōu)解取得在j點(diǎn)的時(shí)候，那么k點(diǎn)不可能再取得比j點(diǎn)更優(yōu)的解了，于是k點(diǎn)也可以排除。換句話說(shuō)，j點(diǎn)之前的點(diǎn)全部
不可能再比j點(diǎn)更優(yōu)了，可以全部從解集中排除。
我們代碼實(shí)現(xiàn)怎么寫(xiě)呢？

1，用一個(gè)單調(diào)隊(duì)列來(lái)維護(hù)解集。

2，假設(shè)隊(duì)列中從頭到尾已經(jīng)有元素a b c。那么當(dāng)d要入隊(duì)的時(shí)候，我們維護(hù)隊(duì)列的上凸性質(zhì)，即如果g[d,c]<g[c,b]，那么就將c點(diǎn)刪除。直到找到g[d,x]>=g[x,y]為止，并將d點(diǎn)加入在該位置中。

3，求解時(shí)候，從隊(duì)頭開(kāi)始，如果已有元素a b c，當(dāng)i點(diǎn)要求解時(shí)，如果g[b,a]<sum[i]，那么說(shuō)明b點(diǎn)比a點(diǎn)更優(yōu)，a點(diǎn)可以排除，于是a出隊(duì)。最后dp[i]=getDp(q[head])。
這個(gè)題雖然采用了斜率優(yōu)化，但是還是有區(qū)別的在于，sum[i]并不是單調(diào)遞增的，也有可能兩個(gè)點(diǎn)的 x坐標(biāo)是相同的，這就是為什么下面的斜率優(yōu)化會(huì)用 <= 和 >= 的原因，
這個(gè)=一定不能缺，缺了欽定WA。

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的HDU 3507 斜率优化入学习的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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