花了好長的時間，我終于學(xué)會了斜率優(yōu)化。
說實在的，斜率優(yōu)化其實并不難，但是老師說的和網(wǎng)上的博客寫的不夠詳細，導(dǎo)致我在很長一段時間都無法弄懂。
言歸正傳，我們從一道題講起

【題意】
一個包裝運輸公司，只生產(chǎn)一種容量為L的包裝盒。如果要裝容量為X的物品，則需要花錢修改包裝盒的尺寸，花費為（X - L）^2。
現(xiàn)在有N個物品需要裝入包裝盒，每個物品的容量為Ci。
（1）、可以多個物品裝入一個包裝盒
（2）、同一個包裝盒的物品編號必須是連續(xù)的
（3）、同個包裝盒的物品排成直線，相鄰兩個物品之間要加一塊容量為1的隔板。
目標(biāo)：總花費最小。

【輸入格式】
第一行兩個整數(shù)，分別為N和L。
下來N個數(shù)字Ci，按編號從小到大輸入每個物品的容量。
1<=N<=50000,1<=L，Ci<=10^7
【輸出格式】
一個整數(shù)，總花費的最小值。
【樣例輸入】
5 4
3 4 2 1 4
【樣例輸出】
1

（這道題相信大家都做過了）。
先是推出dp公式
讓 f[i] 表示1~i的最小花費。
只要思考幾分鐘，就能推出dp方程

f[i]=min(f[j]+(sum[i]-sum[j]+i-(j+1)-L)^2) (j<i)f[i]=min(f[j]+(sum[i]+i-sum[j]-j-1-L)^2) (j<i) 令s[i]=sum[i]+i,L=1+L 則f[i]=min(f[j]+(s[i]-s[j]-L)^2)

不過，這個dp的時間復(fù)雜度是O(N^2)，對于1<=N<=50000的數(shù)據(jù)是一定會炸掉的

所以我們考慮用單調(diào)隊列維護

于是把方程拆開得到

f[i] = min ( f[j] + s[i]^2 - 2*s[i]*(s[j]+L) + ( s[j]+L )^2 ）

當(dāng)我信心十足的開始打單調(diào)隊列時，突然發(fā)現(xiàn)有一個 - 2 * s[i] * (s[j]+L)

也就是說，單調(diào)隊列是用不了的，從而引入斜率優(yōu)化

在我看了無數(shù)博客以后，我歸納總結(jié)出了斜率優(yōu)化的兩種不同推法

一種是利用化簡公式證明決策單調(diào)性，然后推公式，我管它叫公式法

另外一種是將決策點轉(zhuǎn)為（x,y)，x和y都是代數(shù)式，并且?guī)肫矫嬷苯亲鴺?biāo)系，利用圖像來進行斜率優(yōu)化，我管它叫圖像法

雖然兩種方法的代碼都是大同小異的，但是理解起來會有一些不同

我個人比較喜歡圖像法（簡單易懂）

一、公式法

注：因為用*號會出現(xiàn)一些奇怪的問題，所以我放到代碼里面 & 這一段裝載于caioj1.證明決策單調(diào)性假設(shè)j1<j2<i,在狀態(tài)i處的j2決策不比j1決策差（心里想著淘汰j1），即要滿足：f[j2]+(s[i]-s[j2]-L)^2<f[j1]+(s[i]-s[j1]-L)^2 則對于i后的所有狀態(tài)t，是否j2也不比就j1差？（術(shù)語：證明決策單調(diào)性）即f[j2]+(s[t]-s[j2]-L)^2 < f[j1]+(s[t]-s[j1]-L)^2 容易理解s[t]=s[i]+v 所以得到（1）不等式：f[j2]+(s[i]-s[j2]-L+v)^2<f[j1]+(s[i]-s[j1]-L+v)^2 因為已知（2）不等式：f[j2]+(s[i]-s[j2]-L )^2<f[j1]+(s[i]-s[j1]-L )^2 所以化簡（1）不等式：把s[i]-s[j2]-L看成一個整體，v看成一個整體，得到 f[j2]+(s[i]-s[j2]-L )^2 +2*v*(s[i]-s[j2]-L)+v^2 <f[j1]+(s[i]-s[j1]-L )^2+2*v*(s[i]-s[j1]-L)+v^2 比較（2）不等式：左邊多了一部分：2*v*(s[i]-s[j2]-L)+v^2 右邊多了一部分：2*v*(s[i]-s[j1]-L)+v^2 所以我們只需要證： 2*v*(s[i]-s[j2]-L)+v^2<=2*v*(s[i]-s[j1]-L)+v^2 即：(s[i]-s[j2]-L) <= (s[i]-s[j1]-L) 即： -s[j2] <= -s[j1] 即：s[j1]<s[j2]這是肯定的，所以得證。總結(jié)：對于當(dāng)前i：j2比j1好，那么對于t(i<t)來說一樣：j2一樣比j1好，所以當(dāng)前i選擇j2，淘汰j1，以后的t也不會在j2存在的時候選擇j1，所以i的時候就可以永久淘汰j1.2.求斜率方程：因為f[j2]+(s[i]-s[j2]-L)^2 < f[j1]+(s[i]-s[j1]-L)^2 展開: f[j2]+(s[i]-L)^2-2*(s[i]-L)*s[j2]+s[j2]^2<f[j1]+(s[i]-L)^2-2*(s[i]-L)*s[j1]+s[j1]^2 即f[j2]-2*(s[i]-L)*s[j2]+s[j2]^2<f[j1]-2*(s[i]-L)*s[j1]+s[j1]^2 即f[j2]+s[j2]^2-2*(s[i]-L)*s[j2]<=f[j1]+s[j1]^2-2*(s[i]-L)*s[j1] 即[ (f[j2]+s[j2]^2)-(f[j1]+s[j1]^2) ] < 2*(s[i]-L)*s[j2]-2*(s[i]-L)*s[j1] 即[ (f[j2]+s[j2]^2)-(f[j1]+s[j1]^2) ] /(s[j2]-s[j1]) < 2*(s[i]-L) 對于j來說：制造的點坐標(biāo) Y=f[j]+s[j]^2X=s[j]我們用隊列l(wèi)ist在存有意義的決策點，list中相鄰兩點的斜率遞增（隊列中的點形成一個下凸殼），而且都大于2*(s[i]-L)，那么隊列頭對于i來說就是最優(yōu)決策點。加入決策i時，令隊尾為list[tail]，前一個為list[tail-1] 斜率函數(shù)slop（點1，點2）滿足: slop(list[tail-1],list[tail]) > slop(list[tail],i) 時，那么隊尾list[tail]在三者（list[tail-1],list[tail]，i）對于未來的t絕對不會是最優(yōu)的策略，所以將其彈出tail--; 最后遇到了：slop(list[tail-1],list[tail]) < slop(list[tail],i),保證了隊列的相鄰兩點的斜率遞增所以加入i： list[++tail]=i;呵呵，這么一大堆文字真是不好懂，慢慢品味吧^_^

如果是數(shù)論很好的同學(xué)，那么這種方法是很適合你的

二、圖像法

在O（N^2 ) 的暴力代碼中，求f[i]的值要for(1-i)，然后繼承最優(yōu)決策點
前面也說過了，繼承的公式是

f[i] = f[j] + s[i]^2 - 2*s[i]*(s[j]+L) + ( s[j]+L )^2

我們嘗試把這個式子化成 y = kx + b 的形式

先考慮什么是y，k , x 和 b

因為我們需要把決策點1到i-1變成平面直角坐標(biāo)系中的點，所以x和y的代數(shù)式都是含有j的點

x = s[i] + L y = f[j] + ( s[i]+L )^2

于是我們就可以順理成章的把原來的公式轉(zhuǎn)化成

f[i]+(s[i]+L)^2 = 2*s[i]*(s[j]+L) + (f[i]- s[i]^2 )其中 y = f[j]+(s[j]+L)^2 k = 2*s[i] x = s[j]+L b = f[i]- s[i]^2

所以每一個決策點都可以變?yōu)槠矫嬷苯亲鴺?biāo)系中的點

因為我們要求的是最小的f[i]，也就是令b最小，即讓截距最小（b就是截距）

其實這個式子里面還有一個隱藏條件，就是x,y,k都是單調(diào)遞增的

也就是說點1到點i-1的x坐標(biāo)和y坐標(biāo)都是逐漸增大，i點確定的斜率也是逐漸增大的 （ 和公式法的證明決策單調(diào)性是一樣的）

放一張圖

這張圖是i確定的斜率，對于前面每一個決策點的繼承
很明顯，p4是最優(yōu)的
又因為前面已經(jīng)得出了k是單調(diào)遞增的，因為以后k不斷增大，所以p1,p2,p3以后也不會用到，因此在單調(diào)隊列中會踢掉p1,p2,p3
因此我們得出了一個結(jié)論，在隊列中的點依次連接會成一個下凸殼

維護隊頭：
如果list[head]和list[head+1]的斜率小于i確定的斜率，就踢掉隊首
即while ( head<tail && slop(list[head],list[head+1])<2*s[i] ) head ++ ;
具體如下圖：
1繼承隊首

2踢掉隊首

以上是對隊首的維護

維護隊尾：
在我們求出f[i]以后，就要將i放入隊列里面
如果list[tail-1]和list[tail]的斜率小于list[tail]和i的斜率，就踢掉list[tail]，因為隨著i確定的斜率不斷增大，list[tail]不會再被使用，如圖

總結(jié)
公式法是將表達式轉(zhuǎn)變成
$\frac{y2?y1}{x2?x1}<t$ 的形式
圖像法是將表達式轉(zhuǎn)化成
$y=kx+b$ 的形式

例題代碼

#include <cstdio> #include <cstring> #include <iostream>using namespace std ;typedef long long LL ;const int N = 5e4 + 10 ; LL s[N] , f[N] ; int list[N] ;double Y ( int j ) {return double(f[j]+s[j]*s[j]) ; } double X ( int j ) {return double(s[j]) ; } double slope ( int j2 , int j1 ) {return ( Y(j2)-Y(j1) )/( X(j2)-X(j1) ) ; } int main() {LL n , L , x ;scanf ( "%lld%lld" , &n , &L ) ; L ++ ;s[0] = 0LL ;for ( int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) {scanf ( "%lld" , &x ) ;s[i] = s[i-1] + x + 1 ;}int head = 1 , tail = 1 ; list[1] = 0 ;for ( int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) {while ( head<tail && slope(list[head+1],list[head])<=double(2*(s[i]-L) ) ) head ++ ;int j = list[head] ;f[i] = f[j] + ( s[i]-s[j]-L )*( s[i]-s[j]-L ) ;while ( head<tail && slope(list[tail-1],list[tail])>slope(list[tail],i)) tail --;list[++tail] = i ;}printf ( "%lld\n" , f[n] ) ; return 0 ; }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的斜率优化详解（一）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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