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引言（瞎扯），聽_rqy大佬說斜率優化更應該叫做截距優化
rqy大佬說的好像很有道理qwq。

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斜率優化，概括的來講就是優化形如\(f_i=a_i+Max^{i-1}_{j=0}(y_j-k_ix_j)\)其中\(k_i\)是遞減的（或\(Max\)換成\(Min\)，\(k_i\)是遞增的）的一種方法

其中\(a_i\)是一個和\(j\)無關的常數，然后我們看\(Max\)中，就只有\(k_i\)是與\(j\)無關的常數

如果暴力\(dp\)的話，時間復雜度就是\(O(N^2)\)，我們還需考慮優化

狀態是\(O(N)\)的，已經夠優了。考慮優化轉移到\(O(1)\)。

我們將方程中的\(y_j,x_j\)拿出來，看做點\((x_j,y_j)\)，然后放到笛卡爾坐標系中（嘿，真洋呼）

像這樣

然后將直線\(y=kx+b\)帶入

然后我們選取一點，算出將直線\(y=kx+b\)平移至改點，然后算出平移后直線的截距
\(y-y_i=k(x-x_i)\)
\(y=kx+y_i-kx_i\)截距就是\(y_i-kx_i\)。發現就是所需的數值

然后我們揭下來就是利用其加速決策.
假設我們在進行\(k_i\)時的決策，我們，我們可以找到一條\(y=kx\)的直線，然后在我們1~i點組成的圖形中找到一個截距最大的點，就可以進行轉移了。很巧的是，這條符合條件的直線只經過這個點，不經過其他點之間之間的連線(或只有多個點）

such as

然后我們還有個性質,\(k_i\)是遞減的，然后我們在進行決策時候，就可以讓上圖中紅線的繞這個圖形進行旋轉，隨著\(i\)的增加，逐漸轉到綠線所到的位置。

就像這樣（ps：作圖時沒考慮好qwq

然后我們就會發現，有些點是我們考慮都不會考慮的，如下圖所示

這一部分我們就丟掉不管了，反正他不是最優的。

然后我們發現我們進行完這一步，就好像凸出來一塊。然后我們按照如此規則，修整一下整個圖形

這個東西叫做凸殼

到此，我們先回憶一下。如何利用凸殼進行決策

然后對于一個\(i\)，我們先取得\(k_i\)，然后再從凸殼\(1-i\)中找到一條直線\(y=kx+b\)，使得其截距最大。

而所找到的直線不會穿過凸殼內部。

凸殼是怎么來的呢？在\(k\)遞減的情況下，繞所有點所圍成的。（就像墻上一堆釘子，拿一根小木棍繞著轉，決定小木棍的方向的是最外邊的兩個點，而不是其內部的點，而最外面的點相鄰的，對小木棍方向有決定的點連線，形成的圖形就是凸殼（馬馬虎虎qwq））

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好，然后我們再來考慮維護凸殼，以及如何具體使用凸殼

如何維護插入一個點，使用單調隊列，在我們改變直線斜率時，也就是旋轉直線時，如果是順時針旋轉，則不用干其他的操作。如果是逆時針旋轉，則需要進行一些維護操作

如下圖

需要我們介入，將\(C\)點刪除，那如何程序實現呢？

先不急，我們再來看一個更極端的栗子。

我們如何操作呢？

貪心的想，我們只比較\(E,F\)兩個點，然后我們分別算一下新增點到\(E,F\)兩條直線的斜率，若發現\(F\)的斜率比\(E\)的直線的斜率大，那我們就刪除\(F\)，\(E\)點何時刪除呢？

在我們比較\(D,E\)是刪除，所以我們就使用單調隊列，里面是斜率單減的。

void push(int i)//將第i個點加入 {while(tail-head>=1)//隊列中至少要留兩個元素，另外，因為我比較毒瘤，所以我的隊首和隊尾都是實指{int a=queue[tail],b=queue[tail-1];//去出后兩個元素if((y[i]-y[a])*(x[i]-x[b])>(x[i]-x[a])*(y[i]-y[b]))//比較，聽_rqy說是叉積//好高級的樣子，其實就是兩個截距式比較（我也不知道叫什么，必修二一點也沒學，其實讀者將左右對調對調，成為分數的形式，就能看出來為什么了。寫成乘法快，還可以避免爆精）tail--;else break;}queue[++tail]=i; }

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然后就是取隊首

暴力的想，每次按遍歷所有點，取最大值

然后發現，竟然是單峰呀。然后我們再來改變斜率（遞減），發現峰值所在的位置竟然遞增

好好好，單調隊列qwq。

其實這里你可以想象，一條直線就真的在凸殼上旋轉，然后就會有個支點，使得這條直線繞他旋轉，這個點就是當時直線截距最大的點。然后總是要離開這個支點的，然后到了下一個支點，下一個支點就是在另一個斜率時的峰頂qwq

void pop(int i) {while(tail-head>=1)//需要保存兩個點{int a=queue[head],b=queue[head+1];//取出前兩個值if(y[a]-k[i]*x[a]<y[b]-k[i]*x[b])//保持單調性，排除掉不是最優解head++;else break;}return ; }

end.

轉載于:https://www.cnblogs.com/Lance1ot/p/9418936.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的斜率优化初步的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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