習題整理

提示：之前的習題在習題集合

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文章目錄

• 習題整理
• 一、誘人的寶藏
• • 1.思路
  • 2.代碼
• 二、晚宴
• • 1.思路
  • 2.代碼
• 三、醫師之路
• • 1.思路
  • 2.擴展知識
  • 3.代碼
• 總結

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提示：以下是本篇文章正文內容，下面案例可供參考

一、誘人的寶藏

題目：勇敢的小明來到一個失落的村莊。他非常幸運，找到了很多寶藏和一個空的大鐵箱，但是失落的村莊里有很多憤怒的僵尸。小明非常勇敢，他決定打敗僵尸，然后把所有的寶藏都帶回來。一場曠日持久的殘酷戰斗從早到晚持續，最后小明發現僵尸是不死的，不可戰勝的。
但是，這些寶藏不應該留在這里。不幸的是，由于大鐵箱容量的限制，小明無法攜帶所有寶藏。村莊里的寶藏只有兩種：祖母綠寶石和藍寶石。所有的寶石在大小和價值上都是相等的，數量是無窮的。
聰明得你，能不能考慮到箱子的大小、每種寶石的價值和大小，計算出我們的勇士小明能帶回的寶藏的最大價值。

輸入輸出格式
輸入格式
輸入只有一行，包含五個整數 N，S1，V1 ，S2，V2
?，表示寶箱的大小為 N，祖母綠寶石的大小和價值為 S1
和V1，藍寶石的大小和價值為 S2和 V 2。所有整數都是正整數。整數之間以空格間隔。
輸出格式
針對輸入，打印出小明可以隨身攜帶的所有寶藏的最大總值。
輸入輸出樣例1
輸入
100 1 1 2 2
輸出
100

1.思路

• 這道題本身其實是弱化的01背包問題，但我們不用動態規劃做。而是換一個思路。 我們只需要考慮兩種情況
• 第一種先裝綠寶石裝到裝不下，剩余的空間去裝藍寶石
• 第二種先裝藍寶石裝到裝不下，剩余的空間去裝綠寶石 然后我們比較這兩種情況，哪一種的價值最大？輸出即可

2.代碼

代碼如下：

a=input() #輸入的那一行就是背包容量，綠寶石重量和價值，藍寶石的重量和價值 a=a.split() #以空格作為分隔符，將整個字符串分割成列表返回 a=[int(i) for i in a] b=max((a[0]//a[1])*a[2]+((a[0]%a[1])//a[3])*a[4],(a[0]//a[3])*a[4]+((a[0]%a[3])//a[1])*a[2])#這一句就是判斷那兩種情況，哪一種的價值更大？ #(a[0]//a[1])*a[2]+((a[0]%a[1])//a[3])*a[4]先裝綠寶石，再裝藍寶石 print(b)

二、晚宴

題目：今天是小明的生日，他邀請了很多朋友。到了吃晚飯的時間，小明想知道他至少需要多少張桌子。你必須知道，并不是所有的朋友都認識彼此，而且所有的朋友都不想和陌生人待在一起。
這個問題的一個重要規則是，如果我告訴你 A 認識 B，B 認識 C，這意味著 A，B，C 相互認識，所以他們可以待在一張桌子上。
例如：如果我告訴你 A 知道 B，B 知道 C，D 知道 E，那么 A，B，C 可以待在一張桌子上，而 D，E 必須待在另一張桌子上。所以小明至少需要兩張桌子。

輸入輸出格式
輸入格式
第一行有兩個整數 n 和 m，分別表示朋友的數量和朋友之間關系的數量，朋友標記為從 1 到 n；
然后是 m 行。每一行由兩個整數 A 和 B（A！=B） 組成，這意味著朋友 A 和朋友 B 彼此認識。
整數之間以空格間隔。

輸出格式
針對輸入，打印出小明最少需要多少張桌子。

輸入輸出樣例1
輸入
5 3
1 2
2 3
4 5
輸出
2

1.思路

• 這道題理清邏輯后還是比較簡單的
• 首先要先確定一點，最初始有n個朋友就需要有n張桌子，因為我們不確定他們認不認識？
• 接下來會有n對關系，只分兩種情況
• 第一種是兩個元素，之前都沒出現過，再給出這段關系后，他們兩個就可以坐一張桌子，原本兩個人要兩張桌子，現在兩個人要一張桌子，所以桌子數量減一
• 第二種是兩個元素，之前出現過一個元素，然后又有一個新的元素，這個時候我們就要新的元素，跟那個老的元素去做一張桌子，所以也是桌子數量減一
• 根據這個關系，我們可以看出來，無論是哪一種情況，其實都是桌子的數量減一，所以我們直接拿朋友的總數減去出現的關系數目就可以了.
• 以這道題的輸出樣例來解釋，剛開始輸入有五個朋友，所以初始有五張桌子
• 然后有三對關系，第一對出現了1和2，所以1和2可以坐一張桌子。兩個人去坐一張桌子，省去了一張桌子，所以桌子數量減一。
• 第二對關系，是2和3。2之前出現過3是新的朋友，根據題里的規則，3可以去和1，2坐一張桌子，所以又省去了一張桌子。
• 第三對關系，4和5就同第一對關系一樣減去一張桌子。所以就是，五個人減去三對關系，得兩張桌子

2.代碼

代碼如下：

b=input() b=b.split() b=[int(i) for i in b] print(b[0]-b[1]) #無論是哪一種情況，其實都是桌子的數量減一，所以我們直接拿朋友的總數減去出現的關系數目

三、醫師之路

題目：
小明從小的夢想就是成為世界上最偉大的醫師。為此，他想拜附近最有威望的醫師為師。醫師為了判斷他的資質，給他出了一個難題。醫師把他帶到一個到處都是草藥的山洞里對他說：“孩子，這個山洞里有一些不同的草藥，采每一株都需要一些時間，每一株也有它自身的價值。我會給你一段時間，在這段時間里，你可以采到一些草藥。如果你是一個聰明的孩子，你應該可以讓采到的草藥的總價值最大?！?br /> 如果你是小明，你能完成這個任務嗎？

輸入輸出格式
輸入格式
輸入第一行包含 2 個整數 t 和 m，t 表示總共能夠用來采藥的時間，m 表示山洞里的草藥的數目。
接下來輸入 m 行，每行包括 2 個整數 c 和 v，分別表示采摘某株草藥的時間和這株草藥的價值。
整數之間以空格間隔。
輸出格式
針對輸入，打印出小明在規定的時間內可以采到的草藥的最大總價值。

輸入輸出樣例1
輸入
70 3
71 100
69 1
1 2
輸出
3

1.思路

這道題的題型主要就是01背包問題，他只不過是把01背包問題里面的體積換成了時間。
接下來我會分別介紹如何用動態規劃解這道題和01背包問題的模板。
動態規劃簡單來說就是我們利用歷史數據去推出新的數據來，減少我們的計算量。
我也不會著重介紹，最優子結構跟重復子問題，我就簡單講一下，怎么解題？
動態規劃的題可以分為三部：
第一步我們要確定我們數組里的每個元素代表的是什么含義
第二步，我們要確定初始值該怎么設立？
第三步，我們要確定如何用歷史數據去推出新的數據。
我會以下面這道題為例，講一下上面三個步驟該如何去做。
第一步，我們設一個二維數組dp，dp[i][j]代表的元素就是在我時間j范圍內，采集i個藥草，所能采集到的最大價值。
第二步，由于我一開始i=0的時候，我的價值肯定是零，所以我的初始值就是零。
第三步，我們如何從歷史數據中推出新的數據呢？我們要分兩種情況。就是我第i個藥材采還是不采？在此之前，我們首先要判斷我們現在的時間j是否大于采集第i個藥材所需的時間。如果小于的話，我肯定是不能踩的了。所以我的最大價值肯定是，在相同時間內，前i-1個藥材的最大價值。
如果我的時間大于了第i個草的時間我會去比較，我采第i個藥草和不采第i個藥草，那個價值哪個更高？取最大的就ok?？赡苡型瑢W認為采第i個藥草，肯定價值要更大呀。
但我們要注意一點，我們采摘藥草是有時間限制的，所以如果我們要采第i個藥草，我們就要去把空出第i個藥草時間。采第i個藥草價值，就是減j減去采第i個藥草的時間下標的價值，加上第i個藥草價值。

2.擴展知識

（1）np.zeros()的作用
返回來一個給定形狀和類型的用0填充的數組
zeros(shape, dtype=float, order=‘C’)
shape：表示形狀
dtype:數據類型，可選參數，默認numpy.float64
order:可選參數，c代表行優先；F代表列優先
（2）01背包問題

• 在解決問題之前，為描述方便，首先定義一些變量：Vi表示第 i 個物品的價值，Wi表示第 i 個物品的體積，定義V(i,j)：當前背包容量
  j，前 i 個物品最佳組合對應的價值，同時背包問題抽象化（X1，X2，…，Xn，其中 Xi 取0或1，表示第 i 個物品選或不選）。
• 尋找遞推關系式，面對當前商品有兩種可能性：
  包的容量比該商品體積小，裝不下，此時的價值與前i-1個的價值是一樣的，即V(i,j)=V(i-1,j)；
• 還有足夠的容量可以裝該商品，但裝了也不一定達到當前最優價值，所以在裝與不裝之間選擇最優的一個，即
  V(i,j)=max｛V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i)｝
  其中V(i-1,j)表示不裝，V(i-1,j-w(i))+v(i) 表示裝了第i個商品，背包容量減少w(i)，但價值增加了v(i)；
  由此可以得出遞推關系式：

j<w(i) V(i,j)=V(i-1,j) j>=w(i) V(i,j)=max｛V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i)｝

• 這里需要解釋一下，為什么能裝的情況下，需要這樣求解（這才是本問題的關鍵所在！）：
  可以這么理解，如果要到達V(i,j)這一個狀態有幾種方式？
• 肯定是兩種，第一種是第i件商品沒有裝進去，第二種是第i件商品裝進去了。沒有裝進去很好理解，就是V(i-1,j)；裝進去了怎么理解呢？如果裝進去第i件商品，那么裝入之前是什么狀態，肯定是V(i-1,j-w(i))。由于最優性原理（上文講到），V(i-1,j-w(i))就是前面決策造成的一種狀態，后面的決策就要構成最優策略。兩種情況進行比較，得出最優。

01背包問題鏈接：https://blog.csdn.net/qq_38410730/article/details/81667885

3.代碼

代碼如下：

import numpy as n dp=n.zeros((1000,1000),dtype=int)#這一步是創建一個int類型二維的dp數組，1000行1000列。 yao=n.zeros((100,2),dtype=int) a=input() a=a.split()#以空格為分隔，符將字符串分割成一個列表返回 t=int(a[0]) m=int(a[1]) for i in range(1,m+1):#這一部是輸入所有藥材采集的時間和價值 a=input() a=a.split() yao[i][0]=int(a[0]) yao[i][1]=int(a[1]) for i in range(1,m+1):#01背包模板 for j in range(1,t+1): if(j<yao[i][0]): dp[i][j]=dp[i-1][j] else: dp[i][j]=dp[i-1][j] if dp[i-1][j]>dp[i-1][j-yao[i][0]]+yao[i][1] else dp[i-1][j-yao[i][0]]+yao[i][1]#if的緊湊形式 print(dp[m][t])

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總結

提示：技術太菜，后期補充，懇請大佬指正

總結

以上是生活随笔為你收集整理的习题整理（简单01背包 可用查并集2022/4/24）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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