介紹

傅里葉變換是數(shù)學(xué)中最深刻的見(jiàn)解之一，但不幸的是，它的意義被埋在一些荒謬的方程中。傅里葉變換是一種把東西分解成正弦波的方法。這個(gè)名字來(lái)自一個(gè)數(shù)學(xué)家叫傅里葉。

在數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)中，傅里葉變換是一種將信號(hào)轉(zhuǎn)換成其組成成分和頻率的技術(shù)。

傅里葉變換不僅廣泛應(yīng)用于信號(hào)(無(wú)線電、聲學(xué)等)處理，而且廣泛應(yīng)用于圖像分析等領(lǐng)域。邊緣檢測(cè)、圖像濾波、圖像重建和圖像壓縮。一個(gè)例子：透射電鏡圖像的傅里葉變換有助于檢查樣本的周期性。數(shù)據(jù)的傅里葉變換可以擴(kuò)展分析樣本的可訪問(wèn)信息。

為了更好地理解它，考慮一個(gè)信號(hào)x(t)：

如果我們對(duì)另一個(gè)信號(hào)做同樣的事情，選擇相同的時(shí)刻，然后測(cè)量它的振幅。

考慮另一個(gè)信號(hào)y(t)：

當(dāng)我們同時(shí)發(fā)出這兩種信號(hào)或者把它們加起來(lái)會(huì)發(fā)生什么？

當(dāng)我們?cè)谕粫r(shí)刻發(fā)出這兩個(gè)信號(hào)時(shí)，我們得到一個(gè)新的信號(hào)，它是這兩個(gè)信號(hào)的振幅之和。這是因?yàn)檫@兩個(gè)信號(hào)被加在一起了。

將兩個(gè)信號(hào)相加：z(t) = x(t) + y(t)

如果我們只有一個(gè)信號(hào)(它是x(t)和y(t)的和)我們能恢復(fù)到原始信號(hào)x(t)和y(t)嗎？

是的。這就是傅里葉變換的作用。它接收一個(gè)信號(hào)并把它分解成組成它的頻率。

在我們的例子中，傅里葉變換將信號(hào)z(t)分解成它的組成頻率，就像信號(hào)x(t)和y(t)一樣。傅里葉變換的作用是把我們從時(shí)域移到頻域(不理解沒(méi)關(guān)系)。

如果有人想知道，如果我們想從頻域回到時(shí)域呢？我們可以通過(guò)使用傅里葉反變換(IFT)來(lái)做到這一點(diǎn)。

你需要知道的數(shù)學(xué)。

時(shí)域內(nèi)的任何連續(xù)信號(hào)都可以用無(wú)窮級(jí)數(shù)的正弦信號(hào)來(lái)唯一地表示出來(lái)。

這是什么意思？

這意味著，如果我們有一個(gè)由某個(gè)函數(shù)x(t)產(chǎn)生的信號(hào)那么我們就可以得到另一個(gè)函數(shù)f(t)

因此，無(wú)論信號(hào)有多強(qiáng)，我們都可以找到一個(gè)函數(shù)f(t)，該函數(shù)是無(wú)限多個(gè)正弦曲線之和，實(shí)際上可以完美地代表信號(hào)。

現(xiàn)在，現(xiàn)在出現(xiàn)的問(wèn)題是，如何在上式中找到系數(shù)，因?yàn)檫@些值將決定輸出的形狀，從而決定信號(hào)的形狀。

因此，為了獲得這些系數(shù)，我們使用傅立葉變換，并且傅立葉變換的結(jié)果是一組系數(shù)。因此，我們X(w)用來(lái)表示傅立葉系數(shù)，它是頻率的函數(shù)，是通過(guò)求解以下積分得到的：

傅里葉變換表示為不定積分：

X(w)：傅立葉變換

x(t)：傅立葉逆變換

傅里葉變換和反傅里葉變換同時(shí)，當(dāng)我們實(shí)際解上面的積分時(shí)，我們得到了這些復(fù)數(shù)其中a和b對(duì)應(yīng)于我們要求的系數(shù)。

連續(xù)傅立葉變換將無(wú)限持續(xù)時(shí)間的時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)換成由無(wú)限數(shù)量的正弦波組成的連續(xù)頻譜。實(shí)際上，我們處理的是離散采樣的信號(hào)，通常以固定間隔，有限的持續(xù)時(shí)間或周期性地進(jìn)行。為此，經(jīng)典傅里葉變換算法可以表示為離散傅里葉變換(DFT)，該函數(shù)將函數(shù)的等距樣本的有限序列轉(zhuǎn)換為離散時(shí)間的等距樣本的等長(zhǎng)序列傅里葉變換：

這就是離散傅里葉變換。我們可以做這個(gè)計(jì)算它會(huì)產(chǎn)生一個(gè)復(fù)數(shù)形式為a + ib其中傅立葉級(jí)數(shù)有兩個(gè)系數(shù)。

現(xiàn)在，我們知道了如何對(duì)信號(hào)進(jìn)行采樣以及如何應(yīng)用離散傅立葉變換。我們想做的最后一件事是，我們想擺脫復(fù)數(shù)，i因?yàn)樵趍llib或systemML里的歐拉公式不支持復(fù)數(shù)，該復(fù)數(shù)指出：

所以，如果我們把歐拉公式代入傅里葉變換方程并求解，它會(huì)產(chǎn)生實(shí)部和虛部。

正如您所看到的，X由a+ib或a-ib格式的復(fù)數(shù)組成。如果你解出上面的方程你會(huì)得到傅里葉系數(shù)a和b。

現(xiàn)在如果你把a(bǔ)和b的值代入f(t)的方程那么你就可以根據(jù)它的頻率來(lái)定義一個(gè)信號(hào)。

在一般實(shí)踐中，我們使用快速傅立葉變換(FFT)算法，該算法將DFT遞歸地劃分為較小的DFT，從而大大減少了所需的計(jì)算時(shí)間。DFT的時(shí)間復(fù)雜度為2N，而FFT 的時(shí)間復(fù)雜度為2NlogN

為什么用余弦和正弦函數(shù)表示信號(hào)?

雖然Sine和Cosine函數(shù)最初是基于直角三角形定義的，但在當(dāng)前情況下，從那種角度看并不是最好的事情。您可能已經(jīng)被教會(huì)認(rèn)識(shí)到正弦函數(shù)是“斜邊對(duì)立的”，但是現(xiàn)在是時(shí)候有一點(diǎn)不同的觀點(diǎn)了。

考慮單位圓：

在笛卡爾平面上。假設(shè)通過(guò)原點(diǎn)的直線與軸在逆時(shí)針?lè)较蛏铣山嵌圈?#xff0c;則直線與圓的交點(diǎn)為(cosθ，sinθ)。

想一想。這種觀點(diǎn)與較早的觀點(diǎn)相關(guān)嗎？這兩個(gè)定義是相同的。

假設(shè)我們通過(guò)使θ線性增加開(kāi)始旋轉(zhuǎn)直線。你會(huì)得到這樣的東西：

正弦和余弦函數(shù)在某些情況下可以說(shuō)是最重要的周期函數(shù)：

SHM振蕩器中位移，速度和加速度如何隨時(shí)間變化的周期性函數(shù)是正弦函數(shù)。每個(gè)粒子都有波動(dòng)的性質(zhì)，反之亦然。這是德布羅意的波粒對(duì)偶。波始終是某種物理量的正弦函數(shù)。聲音本身就是一種壓力擾動(dòng)，它通過(guò)能夠壓縮和膨脹的物質(zhì)介質(zhì)傳播。它是聲波在某一點(diǎn)上的壓強(qiáng)，它隨時(shí)間呈正弦變化。

傅立葉變換的收斂

如果一個(gè)點(diǎn)以恒定的速度繞圓運(yùn)動(dòng)，則其在地面上方的高度將跟蹤正弦函數(shù)。點(diǎn)移動(dòng)的速度對(duì)應(yīng)于頻率，圓的半徑對(duì)應(yīng)于振幅。

再增加1個(gè)圓，

再添加2個(gè)圓，

再添加9個(gè)圓；

人工智能中的傅立葉變換

傅立葉變換是線性函數(shù)，可引起非線性。使用卷積。

2個(gè)信號(hào)的乘積的傅立葉變換是2個(gè)信號(hào)的卷積。

令x(t)和y(t)是兩個(gè)具有卷積X(t)* Y(t)的函數(shù)，并且F表示傅立葉變換，則

F{x(t).y(t)} = X(t)*Y(t)

請(qǐng)記住，時(shí)域中的卷積是頻域中的乘法。這就是傅立葉變換主要用于機(jī)器學(xué)習(xí)，尤其是深度學(xué)習(xí)算法的方式。

我將以卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為例；

CNN中90％的計(jì)算都是卷積，并且有許多方法可以降低這種計(jì)算的強(qiáng)度，其中之一是快速傅立葉變換(FFT)。

代替卷積，輸入和濾波器矩陣通過(guò)FFT轉(zhuǎn)換到頻域，以進(jìn)行乘法。然后，通過(guò)逆FFT(IFFT)將輸出轉(zhuǎn)換回時(shí)域。

FFT的另一用途是可用于降維或特征提取。

當(dāng)數(shù)據(jù)集中的每個(gè)樣本都是信號(hào)(時(shí)間序列或圖像等)時(shí)，它可能包含數(shù)千個(gè)樣本。但是它們實(shí)際上可能只對(duì)應(yīng)于傅立葉域中的幾個(gè)點(diǎn)(特別是如果存在一定的周期性)。這大大簡(jiǎn)化了問(wèn)題。

有時(shí)使用傅立葉域可能會(huì)提供平移不變性。也就是說(shuō)，即使信號(hào)之間存在滯后，這種方差也不會(huì)影響它們?cè)诟盗⑷~域中的表示。

傅立葉變換的Python實(shí)現(xiàn)

可以使用numpy和scipy python庫(kù)完成FFT的最簡(jiǎn)單實(shí)現(xiàn)。

結(jié)論

FFT用于數(shù)字記錄、采樣、加法合成和基音校正軟件。

FFT的重要性來(lái)自于這樣一個(gè)事實(shí)：它使得在頻域工作與在時(shí)間域或空間域工作在計(jì)算上同樣可行。好了，這就是這篇文章的全部?jī)?nèi)容，希望你們喜歡。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的傅里叶变换复数形式的实部代表什么_「趣味数学」傅里叶变换及其在人工智能中的应用...的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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