生活随笔
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凸函数的梯度的单调性 (Monotonicity of gradient)
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可微函數(shù) fff 是凸函數(shù) 當(dāng)且僅當(dāng) domfdomfdomf 是凸集，且 (▽f(x)?▽f(y))T(x?y)>0,    ?x,y∈domf(\bigtriangledown f(x)-\bigtriangledown f(y))^T(x-y)>0, \;\; \forall x,y \in dom f(▽f(x)?▽f(y))T(x?y)>0,?x,y∈domf 即 ▽f:Rn→Rn\bigtriangledown f: \R^n \rightarrow \R^n▽f:Rn→Rn 是單調(diào)映射（monotone mapping）。
證明：
如果 fff 是可微的凸函數(shù)，則有 f(y)≥f(x)+▽f(x)T(y?x),f(x)≥f(y)+▽f(y)T(x?y).f(y) \geq f(x) + \bigtriangledown f(x)^T(y-x),\\ f(x) \geq f(y) + \bigtriangledown f(y)^T(x-y).f(y)≥f(x)+▽f(x)T(y?x),f(x)≥f(y)+▽f(y)T(x?y).將上面兩式相加得(▽f(x)?▽f(y))T(x?y)>0(\bigtriangledown f(x)-\bigtriangledown f(y))^T(x-y)>0(▽f(x)?▽f(y))T(x?y)>0如果 ▽f\bigtriangledown f▽f 是單調(diào)的，定義函數(shù) ggg : g(t)=f(x+t(y?x)),  t∈[0,1]g′(t)=▽f(x+t(y?x))T(y?x)g(t) = f(x+t(y-x)), \;t \in [0,1]\\ g'(t) = \bigtriangledown f(x+t(y-x))^T(y-x)g(t)=f(x+t(y?x)),t∈[0,1]g′(t)=▽f(x+t(y?x))T(y?x)則由 g′(t)g'(t)g′(t) 的連續(xù)性以及 g′(1)?g′(0)>0  且  g′(0)?g′(0)=0g'(1)-g'(0) >0 \;且\; g'(0)-g'(0) = 0g′(1)?g′(0)>0且g′(0)?g′(0)=0得g′(t)?g′(0)≥0,    g'(t) -g'(0) \geq 0,\;\; g′(t)?g′(0)≥0,因此 f(y)=g(1)=g(0)+∫01g′(t)dt≥g(0)+g′(0)=f(x)+▽f(x))T(y?x)f(y) = g(1) = g(0) + \int_0^1 g'(t)dt \geq g(0) + g'(0) \\= f(x) + \bigtriangledown f(x))^T(y-x)f(y)=g(1)=g(0)+∫01?g′(t)dt≥g(0)+g′(0)=f(x)+▽f(x))T(y?x) 即 fff 為凸函數(shù)。
總結(jié)
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