文章目錄

• 一、質數
• • 1.質數的判斷
  • • （1）質數的判斷——枚舉法
    • （2）質數的判斷——試除法
  • 2.分解質因數
  • • （1）分解質因數——短除法
    • （2）分解質因數——試除法
  • 3.篩質數
  • • 1.樸素篩法
    • 2.埃氏篩法
    • 3.線性（歐拉）篩法
    • 對比
• 二、約數
• • 1.試除法求約數
  • 2.約數個數
  • 3.約數之和
  • 約數個數與約數之和公式總結
  • 4.最大公約數（歐幾里得算法）
• 三、總結

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一、質數

【相關概念】

因數：一整數被另一整數整除,后者即是前者的因數,如1,2,4都為8的因數
倍數：一個數能夠被另一數整除，這個數就是另一數的倍數。如15能夠被3或5整除，因此15是3的倍數，也是5的倍數。
質數：一個數除了1和它本身沒有其他的因數，就叫質數。如2，3，5，7，
和數：一個數除了1和它本身還有其他的因數，（至少有3個因數）就叫合數。如4，6，8，9

1.質數的判斷

（1）質數的判斷——枚舉法

//根據質數定義判斷 一個數是否為質數 O(n) bool is_prime(int n) // 判定質數 {if(n < 2) return false;for (int i = 2; i < n; i ++ ){if(n % i == 0)return false;}return true; }

（2）質數的判斷——試除法

上述短除法是從頭到尾枚舉判斷，時間復雜度相對很高，其實沒有必要枚舉1~n所有的數然后判斷！

思路:

把1~根號n之間的數都找一遍，看看有沒有一個數是n的因子，之所以找到根號n，是因為因子都是成對出現的，假設i是n的因子，那么在根號n后面必定有一個數n/i是n的因子。（只枚舉每一對因子中較小的數）。

i | n 那么 n/i | n ，即枚舉i的范圍從2~n/i即可（只枚舉每一對因子中較小的數）

? i*i <= n 所以 i <= sqrt(n)，即時間復雜度O(sqrt(n))

//試除法 判斷一個數是否為質數 O(sqrt(n)) bool is_prime(int n) {if(n < 2) return false;for (int i = 2; i <= n / i; i ++ ){if(n % i == 0)return false;}return true; }

2.分解質因數

【相關概念】

什么是質因數？

? 如果一個數的因數是質數，那么這因數就是質因數！

什么是分解質因數？

? 把一個合數分解成若干個質因數的乘積的形式，即求質因數的過程叫做分解質因數。

（1）分解質因數——短除法

小學時分解質因數的方法——短除法

分解質因數只針對合數（質數就只有本身和1兩個因數，不能分解）。一個數分解質因數，要從最小的質數除起（依次除于質數2 3 5…），一直除到結果為質數為止。分解質因數的算式叫短除法.

【參考代碼】

短除法分解質因數——O(n)

void divide(int n) {for(int i = 2; i <= n; i ++){if(n % i == 0)//i一定是質數{int s = 0;while(n % i == 0)//短除法分解質因數{n /= i;s ++;//統計i出現的次數}printf("%d %d\n", i, s);}} }

（2）分解質因數——試除法

上述短除法分解質因數，要從最小的質數除起（依次除于質數2 3 5…)一直到n，時間復雜度為O(n)，其實也沒必要枚舉1~n所有質數然后進行判斷！

這里有一個重要的性質

n中最多只含有一個大于sqrt(n)的質因子。

? 證明：通過反證法：如果有兩個大于sqrt(n)的因子，那么相乘會大于n，矛盾。證畢

于是我們發現最多只有一個大于sqrt(n)的因子，對其進行優化。先考慮比sqrt(n)小的，代碼和質數的判定類似

最后如果n還是>1，說明此時的n就是大于sqrt(n)的唯一質因子，輸出即可。（特判）

【參考代碼】

試除法分解質因數——O(sqrt(n))

void divide(int n) {for(int i = 2; i <= n / i; i ++){if(n % i == 0)//i一定是質數{int s = 0;while(n % i == 0)//短除法分解質因數{n /= i;s ++;//統計i出現的次數(指數)}printf("%d %d\n", i, s);}}if(n > 1) printf("%d %d\n", n, 1);//當n沒有變化的時候，輸出本身和1 }

證明一下循環里面的i一定是一個質數：假如 i是一個合數，那么它一定可以分解成多個質因子相乘的形式，這多個質因子同時也是 n的質因子且比i要小，而比i小的數在之前的循環過程中一定是被條件除完了的，所以i不可能是合數，只可能是質數

3.篩質數

求某個數n有多少個質數？

1.樸素篩法

枚舉i：2~n，從前往后把每個數對應的倍數都刪除掉，這樣篩過之后，所有剩下的數都是質數。（每個數i不存在該數的約數）

時間復雜度：O(nlogn)

int prime[N], cnt;//prime數組存儲質數，cnt統計個數 bool st[N];//標記是否被篩過//樸素篩法-O(nlogn) void get_primes(int n) {for(int i = 2; i <= n; i ++){if(!st[i])//如果沒被篩過{prime[cnt ++] = i;}//把i的每一個倍數結果刪掉for(int j = i + i; j <= n; j += i) st[j] = true;} }

2.埃氏篩法

埃氏篩法是對樸素篩法的一種優化方式，我們并不需要把2~n的每一個數的倍數都刪掉，可以只把所有質數的倍數刪掉！

埃氏篩法：我們會發現4的倍數也是2的倍數，所有我們只需要把所有質數的倍數刪除就好。
時間復雜度：O(n * loglogn)，近似O(n)

//樸素篩法-O(n * loglogn) void get_primes(int n) {for(int i = 2; i <= n; i ++){if(!st[i])//如果沒被篩過{prime[cnt ++] = i;//把質數i的每一個倍數結果刪掉for(int j = i + i; j <= n; j += i) st[j] = true;}} }

3.線性（歐拉）篩法

埃氏篩法的缺陷 ：對于一個合數，有可能被篩多次。例如 30 = 2 * 15 = 3 * 10 = 5*6……那么如何確保每個合數只被篩選一次呢？我們只要用它的最小質因子來篩選即可，這便是歐拉篩法。

歐拉篩法的基本思想 ：在埃氏篩法的基礎上，讓每個合數只被它的最小質因子篩選一次，以達到不重復的目的。

int prime[N], cnt; bool st[N];// 合數 = 質數（最小） x 因數 //線性篩法-O(n) void get_primes(int n) {for (int i = 2; i <= n; i ++ ){// 如果沒被篩過 將素數記下來if(!st[i]) prime[cnt ++] = i;// 從小到大枚舉所有質數for(int j = 0; i * prime[j] <= n; j ++)//primes[j]*i<=n,把大于n的合數都篩了就沒啥意義了{// 每個合數只被它的最小質因子篩掉st[i * prime[j]] = true;if(i % prime[j] == 0) break;// prime[j]一定是(合數)i的最小質因子（從小到大枚舉質數嘛） }} }

i % prime[j] == 0

? prime[j]一定是(合數)i的最小質因子，prime[j]也一定是prime[j] * i的最小質因子

i % prime[j] != 0

沒有找到i的任何一個質因子，說明當前prime[j]一定小于i的所有質因子（質數是從小到大枚舉的），prime[j]也一定是prime[j] * i的最小質因子

任何一個合數一定會被篩掉：

? 對于任何一個合數，它都會有且只有一個最小的質因子！因此只會被篩一次！

對比

二、約數

約束定義：

? 約數又稱因數，整數A除以整數B(B≠0) 除得的商正好是整數而沒有余數，我們就說A能被B整除，或B能整除A。A稱為B的倍數，B稱為A的約數。

質數只有兩個約數：1和它本身。

合數至少有3個約數。

1.試除法求約數

思路：

O(sqrt(n))的做法，枚舉一個較小的因子，另一個直接用原數去除。

注 意 完 全 平 方 數 只 要 加 入 一 個 因 子 。

一個數d要是能被n整除，那么n/d也能被n整除，即約數也是成對存在的，我們只需枚舉較小的約數即可，另一個通過 n / d求出！從1枚舉到sqrt(n)即可，即i <= n /i。

注：

? 當n為完全平方數時，約數只存儲一次，不能夠重復存儲！因此要注意特判！

【代碼實現】

vector<int> get_divisor(int n) {vector<int> res;for(int i = 1; i <= n / i; i ++){if(n % i == 0){res.push_back(i);if(i != n / i) res.push_back(n / i);}}sort(res.begin(), res.end());return res; }

【acwing 869 試除法求約數】

給定 nn 個正整數 aiai，對于每個整數 aiai，請你按照從小到大的順序輸出它的所有約數。

輸入格式

第一行包含整數 nn。

接下來 nn 行，每行包含一個整數 aiai。

輸出格式

輸出共 nn 行，其中第 ii 行輸出第 ii 個整數 aiai 的所有約數。

數據范圍

1≤n≤1001≤n≤100,
2≤ai≤2×1092≤ai≤2×109

輸入樣例：

2 6 8

輸出樣例：

1 2 3 6 1 2 4 8

【代碼實現】

#include <iostream> #include <cstring> #include <algorithm> #include <vector>using namespace std;vector<int> get_divisor(int n) {vector<int> res;//將成對的約數存下來，平方數只存一次for(int i = 1; i <= n / i; i ++){if(n % i == 0){res.push_back(i);//較小的約數//特判 防止重復存儲n為平方數的情況 if(i != n / i) res.push_back(n / i);//存另一個約數 較大的約數}}sort(res.begin(), res.end());return res; }int main() {int n;scanf("%d", &n);while (n -- ){int a;scanf("%d", &a);auto res = get_divisor(a);for(auto c : res) cout << c << " ";puts("");}return 0; }

for(auto x : arr) 遍歷方式， x只是將arr里的元素復制下來，改變x不會改變arr的元素
for(auto &x : arr) x是將arr元素的地址拿出來，改變x會改變arr的元素

2.約數個數

求余數個數——百度百科

【acwing 870. 約數個數】

給定 nn 個正整數 aiai，請你輸出這些數的乘積的約數個數，答案對 10^9+7 取模。

輸入格式

第一行包含整數 nn。

接下來 nn 行，每行包含一個整數 aiai。

輸出格式

輸出一個整數，表示所給正整數的乘積的約數個數，答案需對 109+7109+7 取模。

數據范圍

1≤n≤1001≤n≤100,
1≤ai≤2×1091≤ai≤2×109

輸入樣例：

3 2 6 8

輸出樣例：

12

分別對每一個ai分解質因數后，不斷統計指數個數，不必將ai都相乘得結果后再分解質因數（數據可能過大溢出！）

【代碼實現】

#include <iostream> #include <cstring> #include <algorithm> #include <unordered_map>using namespace std;typedef long long LL;const int mod = 1e9 + 7;int main() {int n;cin >> n;unordered_map<int, int>primes;//存儲所有的質因數和它的指數while (n -- ){int x;cin >> x;//分解質因數for(int i = 2; i <= x / i; i ++){if(x % i == 0){while(x % i == 0){x /= i;primes[i] ++;}}}if(x > 1) primes[x] ++;}//以上過程完成primes就存了所有質因數的指數LL res = 1;for(auto prime : primes) res = res * (prime.second + 1) % mod; // 注：不能寫成 res*= ... 這樣就先取模再乘了（運算符優先級）// 每次將乘積結果取模再進行下一次乘：可以保證中間結果不會溢出cout << res;return 0; }

3.約數之和

求約數之和——百度百科

【acwing 871 約數之和】

給定 nn 個正整數 aiai，請你輸出這些數的乘積的約數之和，答案對 10^9+7 取模。

輸入格式

第一行包含整數 nn。

接下來 nn 行，每行包含一個整數 aiai。

輸出格式

輸出一個整數，表示所給正整數的乘積的約數之和，答案需對 109+7109+7 取模。

數據范圍

1≤n≤1001≤n≤100,
1≤ai≤2×1091≤ai≤2×109

輸入樣例：

3 2 6 8

輸出樣例：

252

【代碼實現】

#include <iostream> #include <cstring> #include <algorithm> #include <unordered_map>using namespace std;typedef long long LL;const int mod = 1e9 + 7;int main() {int n;cin >> n;unordered_map<int, int>primes;//存儲所有的質因數和它的指數while (n -- ){int x;cin >> x;//分解質因數for(int i = 2; i <= x / i; i ++){if(x % i == 0){while(x % i == 0){x /= i;primes[i] ++;}}}if(x > 1) primes[x] ++;}LL res = 1;for(auto prime : primes){int p = prime.first, a = prime.second;LL t = 1;while(a --) t = (p * t + 1) % mod; //求出 p0一直加到p的k的次方的和 （結果可能很大先求模）res = res * t % mod; }cout << res;return 0; }

約數個數與約數之和公式總結

如果 N = p1^c1 * p2^c2 * ... *pk^ck 約數個數： (c1 + 1) * (c2 + 1) * ... * (ck + 1) 約數之和： (p1^0 + p1^1 + ... + p1^c1) * ... * (pk^0 + pk^1 + ... + pk^ck)

4.最大公約數（歐幾里得算法）

歐幾里得算法也叫輾轉相除法！

核心原理：

當b不為0時：

（a,b） = (b, a % b)

當b為0時：

（a,b）= a

【代碼實現】

int gcd(int a, int b) {return b ? gcd(b, a % b) : a; }

三、總結

學習內容源自：
百度百科
acwing算法基礎課

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的数论——质数与约数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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