一、素?cái)?shù)的概念

素?cái)?shù)又稱(chēng)質(zhì)數(shù)。一個(gè)大于1的自然數(shù)，除了1和它自身外，不能被其他自然數(shù)整除的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)；否則稱(chēng)為合數(shù)。
（素?cái)?shù)是數(shù)論中很重要的部分，所以對(duì)于一些素?cái)?shù)的操作，需要十分的熟練）

二、判斷素?cái)?shù)的方法

1.最基礎(chǔ)的方法（初學(xué)者經(jīng)常用的方法）

bool isprime(int n) {for(int i=2; i<n; i++)if(n%i==0)return false;return true; } //直接從2遍歷到 n，如果之間可以被 n整除，則 n為合數(shù)，反之為素?cái)?shù)

2.試除法（相當(dāng)于上個(gè)方法的優(yōu)化）

bool isprime(int n) {for(int i=2; i<=sqrt(n); i++)//寫(xiě)成 i*i<=n可以稍微快一點(diǎn)，if(n%i==0) //因?yàn)槊看窝h(huán)都會(huì)計(jì)算sqrt一次，也可以用變量存起來(lái)return false;return true; } /* 如果是合數(shù)的話，那么他的因數(shù)一定會(huì)有分布在sqrt(n)的范圍內(nèi)的， 就是說(shuō)一個(gè)大于sqrt(n)的數(shù)要是可以被 n整除了，它的商肯定是要小于sqrt(n)的， 這時(shí)我們就不需要遍歷 n個(gè)數(shù)字，而直接遍歷sqrt(n)個(gè)數(shù)字就可以了 */

上述兩種方法完全運(yùn)用了素?cái)?shù)的概念，好理解，但是效率不高。
優(yōu)化后的第二種方法也是初學(xué)者經(jīng)常用的，雖然比第一種方法時(shí)間復(fù)雜度小不少，但是也是有O（n^1/2），對(duì)于一般的題目只能判斷到10¹²，所以對(duì)一些再大的數(shù)就很不友好
3.六素?cái)?shù)法（這是在翻博客的時(shí)候發(fā)現(xiàn)的一種方法，在百度百科上也有提到，先放到這里）
建議看一下>>百度百科的“六素?cái)?shù)偶”部分<<便于理解以下代碼

bool isprime(int n) {if(n==1)return false;if(n==2||n==3)return true;//1,2,3的情況特殊判斷if(n%6!=1&&n%6!=5)return false;int k=sqrt(n)+1;for(int i=5; i<k; i+=6)//這一部分和試除法類(lèi)似if(n%i==0||n%(i+2)==0)return false;return true; }

這個(gè)的時(shí)間復(fù)雜度應(yīng)該是 O（n^1/2/3），相比上兩種方法，效率還是提高了一些。
三、區(qū)間上的素?cái)?shù)數(shù)量

一般來(lái)說(shuō)，一個(gè)和素?cái)?shù)相關(guān)的問(wèn)題都是求[2，n]內(nèi)的素?cái)?shù)。如果用上邊的方法一個(gè)一個(gè)來(lái)判斷，時(shí)間復(fù)雜度為O（n*n^1/2），如果n比較大，可能計(jì)算機(jī)要跑幾分鐘。所以這種方法難免會(huì)超時(shí)，下面說(shuō)一下可以解決一個(gè)區(qū)間上素?cái)?shù)問(wèn)題的算法。
1.埃式篩法（埃拉托斯特尼篩法）
基本思想：素?cái)?shù)的倍數(shù)一定不是素?cái)?shù)

（動(dòng)圖出處： https://www.cnblogs.com/findwg/p/4901219.html）

const int maxx=1e7;//定義空間大小，1e7大約10MB int prime[maxx+1];//存放素?cái)?shù) bool visit[maxx+1];//true表示被篩掉，表示素?cái)?shù) int E_sieve(int n)//埃式篩，計(jì)算[2,n]內(nèi)的素?cái)?shù) {for(int i=0; i<=n; i++)visit[i]=false;for(int i=2; i*i<=n; i++)//核心代碼if(!visit[i])for(int j=i*i; j<=n; j+=i)visit[j]=true;//標(biāo)記成非素?cái)?shù)int k=0;//作為統(tǒng)計(jì)個(gè)數(shù)的變量for(int i=2; i<=n; i++)if(!visit[i])prime[k++]=i;//儲(chǔ)存素?cái)?shù)return k; }

時(shí)間復(fù)雜度：可以看出來(lái)，在核心代碼的那部分，一共要進(jìn)行的循環(huán)次數(shù)為O（n/2+n/2+n/5+…），即O（nloglog₂n），有時(shí)候也近似看成O（n）
可以看出，埃式篩法還不錯(cuò)，但是也做了一些無(wú)用功，某個(gè)數(shù)字會(huì)被篩選多次，比如12這個(gè)數(shù)字，在2和3的時(shí)候就篩選了兩次。
既然有可優(yōu)化的地方，那必然有更好的算法
2.歐拉篩法（歐拉線性篩）
原理：由于所有合數(shù)都有一個(gè)最小質(zhì)因子，所以在埃氏篩法的基礎(chǔ)上，讓每個(gè)合數(shù)只被它的最小質(zhì)因子篩選一次，以達(dá)到不重復(fù)的目的。

int Oula_gprime() {int get=0;memset(v,0,sizeof(v));v[0]=v[1]=1;for(int i=2; i<=maxx; i++){//cout<<"# i = "<<i<<endl;if (!v[i])prime[get++]=i;for (int j=0; j<get&&i*prime[j]<=maxx; j++){//cout<<"j = "<<j<<"\t"<<"prime[j] = "<<prime[j]<<"\t";//cout<<"i * prime[j] = "<<i*prime[j]<<endl;v[i*prime[j]]=1;if (i%prime[j]==0)break; }//cout<<endl;}return get; }

精華部分（也算是對(duì)埃式篩法的優(yōu)化部分）：

for (int j=0; j<get&&i*prime[j]<=maxx; j++) {v[i*prime[j]]=1;if (i%prime[j]==0)break; } /* 我們知道任何合數(shù)都能表示成多個(gè)素?cái)?shù)的積。 所以，任何的合數(shù)肯定有一個(gè)最小質(zhì)因子。 我們通過(guò)這個(gè)最小質(zhì)因子就可以判斷什么時(shí)候不用繼續(xù)篩下去了。 當(dāng) i是 prime[j]的整數(shù)倍時(shí)，i*prime[j+1]肯定再次被篩，就跳出循環(huán)。 就比如 i=6，prime[j]=2（這時(shí)候 prime已經(jīng)有了2，3，5）, i%prime[j]==0，所以就可以跳出循環(huán)。 因?yàn)樵谙旅?prime[j]=3的時(shí)候，i*prime[j]=18， 在下一次 i=18的時(shí)候，會(huì)再循環(huán)一次，prime[j]=5的時(shí)候也一樣 */

可以發(fā)現(xiàn)，在下圖的 i：2~8項(xiàng)中，i * prime[j]的值一直沒(méi)有重復(fù)
打表也可以發(fā)現(xiàn)，所有的 i * prime[j]一直都不會(huì)重復(fù)出現(xiàn)
這也就驗(yàn)證了我們一開(kāi)始的對(duì)歐拉篩的另一種叫法：歐拉線性篩，
歐拉篩的時(shí)間復(fù)雜度也就的確可以做到O（n）的大小。

四、結(jié)語(yǔ)
無(wú)結(jié)語(yǔ)

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的数论--素数的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

如果覺(jué)得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。