1、用尺規作出一條直線，使其同時平分一個三角形的面積和周長。

這是一個引人入勝的經典問題。很多人都研究過她。例如顧森在文[1]中探討過相關問題，不過尺規作圖的過程不是很常見。即使有過程，基本也沒有作圖的思考過程。讓讀者感覺丈二和尚——摸不著頭腦。本篇文章想展示一下本人對此題的思考和探索過程。

我對這個問題印象也非常深刻，因為這是我1996年參加的初中數學聯賽中的選擇題第5題即和此問題有關，題目為：

2、如果一條直線同時平分一個三角形的面積和周長，則此直線一定通過此三角形的___。

A 內心 ???B外心 ????C重心 ?????D垂心

當時一卷中只有此題我答案不確定，最后因為時間關系我隨意選了C，考完試我突然醒悟，正確答案是A，證明并不太困難。

因為如果一條直線JK通過內心I且平分△ABC周長，

即AJ+AK=BJ+BC+CK.

則連接AI,BI,CI,

我們知道內心到三邊距離相等均為r，

為了方便，我們用[ABC]表示△ABC面積，其他類似。

這樣我們得到

[AJK]=[AJI]+[AKI]=0.5r(AJ+AK),

[BJKC]=[BJI]+[BIC]+[CIK]=0.5r(BJ+BC+CK),

從而[AJK]=[BJKC]，

即JK平分△ABC面積。

這就基本上證明了此結論。

但是這個證明答非所問，文不對題，

因為它只是證明了如果一條直線通過三角形內心且平分三角形周長，則平分其面積。

當然類似可證如果一條直線通過三角形內心且平分三角形面積，則平分其周長。

我們需要證明的是如果一條直線平分三角形面積，且平分其周長，則此直線通過三角形內心。

這個感覺更難一些，不過可以考慮如法炮制。相當于用同一法。

證明：設JK平分△ABC周長和面積，

即AJ+AK=BJ+BC+CK，[AJK]=[BJKC]，

設角A內角平分線交JK于I，I到三邊距離為r,r,x。

因為[AJK]=[BJKC]，

即[AJI]+[AKI]=[BJI]+[BIC]+[CIK]，

即0.5r(AJ+AK)=0.5r(BJ+CK)+0.5x*BC，

把AJ+AK=BJ+BC+CK代入上式得到

0.5r(BJ+BC+CK)=0.5r(BJ+CK)+0.5x*BC，

故x=r,

則I為△ABC內心，

即JK經過△ABC內心。

要用尺規作出JK，

下面希望得到一個關于AJ,AK的等式，

設△ABC邊角為a,b,c;A,B,C。2p=a+b+c,

∠JAI=θ=0.5A,

AJ+AK=p,

則[AJI]+[AIK]=[AJK],

即AJ*AIsinθ+AK*AIsinθ=AJ*AKsin2θ,

則AJ*AK=p*AI/(2cosθ)為定值,

這樣由兩線段和與積即可作出他們。

最笨的作圖方法是用求根公式，

比較巧妙的辦法是用初版于1959年，被譽為中國的幾何原本的書[2]中的方法，

利用韋達定理和切割線定理即可。

基本思路就是在AB直線上作出AG=AJ+AK=p,

在AC上作出AH=p,AN=AI/(2cosθ),

設AG,NH中垂線交于M,

以M為圓心MN為半徑的圓交AB于O,J,

JI交AC于K，則JK即為所求。

這樣就得到了如下作圖方法：

尺規作圖過程如下：

1、作△ABC內心I，

2、在AB、AC上作AG=AH=p,

3 、過I作AI垂線交AC于P，

4、作AP中點N，

5、作AG、NH中垂線交于M，

6、以M為圓心MN為半徑畫圓

交AB于J，O，

7、JI交線段AB于K。

則JK即為所求的一條直線。

這樣算是得到了一種還算合理的作圖方法，當然關鍵是得到的等式，熟悉幾何的讀者應該不陌生，因為這其實這就是張角定理的證明思路。

至此顯然還沒有結束，因為還有很多疑問。

首先的問題是這樣的直線有幾條？

是不是一定存在呢？

答案是肯定的。

如果代數上證明，要么用均值不等式要么用判別式，都不太困難。

如果從幾何上看，過I的任意一條直線，不妨設直線上方的面積大，此直線繞著I旋轉180°后，上下面積顛倒，下面的面積大了，因為旋轉過程中面積是連續變化的，所以中間一定有一個時刻兩邊面積相等，從而這樣的直線至少有一條。

那這樣的直線會不會更多呢？

答案是有可能的，上述作法中圓與AB交點有兩個J和O，JI滿足。如果OI能和線段AC相交，由對稱性則應該也滿足，通過嘗試可以發現，這樣的直線最多有三條！如下圖，就是滿足條件的三條直線。

要嚴格證明最多有三條，及什么條件下有一條、兩條、三條，感覺還是比較困難的。

容易聯想到本公眾號前面一篇相關的文章[3]，里面探討了過一定點作直線平分三角形面積問題，而本題可以轉化為過內心I作直線平分三角形面積，根據[3]里面的結果可知這樣的直線最多有三條。

相關問題基本解決。我又想到一個問題：上述的作圖過程是按我的理解，先證明此直線過內心，然后得到AJ、AK等式，尺規作圖得到的。如果不知道此直線過內心，能否用尺規作圖作出此直線呢？

答案是肯定的。事實上，完全不需要引入三角形內心！

因為依題意，此直線平分面積和周長，就能得到AJ,AK的兩個天然的等式，即

AJ+AK=p,

AJ*AK=0.5bc,

這樣按照上面的思路，利用切割線定理，直接尺規作圖即可。

從而上述作圖過程可以改進如下：

1、在AB延長線上截取AE=p，在AC截取AF=AB,

2、作AC中點G，

3、作AE、GF中垂線交于M，

4、以M為圓心，MG為半徑畫圓交AB于J，O，AJ>AO,

5、在AB上截取AK=AO,

6、則JK即為所求的一條直線,

這樣，此題作圖過程就大大簡化了，此題的難度也大大降低了，幾乎是一個小學或者初中的幾何問題了。

最后，對上述思考過程做一總結，剛開始我依據慣性思維，先入為主的以為作圖必須要用過內心的條件。先證明此直線過三角形內心，又利用面積關系(本質是張角定理的證明)，得到AJ,AK等量關系，最后利用韋達定理和切割線定理完成作圖。

通過最后的反思改進，發現我繞了很大的彎路，完全不需要證明此直線過內心，也不需要利用面積關系。其實只需要最基本的條件，平分面積，平分周長，即可得到兩個等式，利用韋達定理和切割線定理很輕松就能完成作圖！

后來我在網上也找到一些作圖方法，好像有很多[4]，不過似乎都不夠簡潔明了。

不過證明此直線過內心也不是完全沒用的，畢竟這個結論對于探究此直線的存在條數有幫助，因為這樣就轉化為[3]中過一定點作直線平分三角形面積問題。也算是失之西隅，得之東墻吧^^

參考文獻

1、?同時平分三角形的面積和周長的直線

http://www.matrix67.com/blog/archives/5313

2、《初等數學復習及研究(平面幾何)》梁紹鴻 ?2008年 哈爾濱工業大學出版社

3、直線平分多邊形面積問題

4 搜狗問答：怎樣用一條直線將一個三角形的面積和周長同時平分？(尺規作圖法)

https://www.sogou.com/link?url=DSOYnZeCC_rZXVZCtvPXjmRFzFBIhMTs0L1-c45Uka7fPWMK2bFMa63mlRzfPLR2

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的css3 三角形_用尺规作直线同时平分三角形面积和周长的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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