電子狀態：電子的能量狀態

微觀粒子具有波粒二象性，經典物理用坐標和動量來描述，就波動性來說，我們用E（能量）和K（波數矢量）來描述微觀粒子

半導體中的電子狀態與能帶

本書線索：（1）孤立原子的電子狀態（氫原子（H）量子力學已經解決） 多電子

? ? ? ? ? ? ? ? ??（2）空間自由電子的狀態(普通物理學過)

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 半導體中的電子狀態 -----> 電子的狀態和特點

（1）原子中的電子狀態：a. 單電子 首先是氫原子，En的表達式

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b.多電子 多電子及其電子的狀態仍然不連續（用四個量子數來描述狀態）

孤立原子核外的電子，其狀態是一系列分立的能量確定值稱為能級

（2）自由電子狀態：考慮波動性的時候，考慮一維狀態下的薛定諤方程

?設我們的勢場是一個恒定常數==0，這樣一來的話，把勢場代入薛定諤方程就可以帶入求解

解出波函數

由粒子性，電子的動量P, 能量E?

在恒定勢場下，自由電子的EK關系，這個是一個連續的EK關系，因為你在求解自由電子的過程中是有解的，隨著K的連續取值，所以E就是連續的

自由電子使其能量狀態是連續的

（3）半導體中的電子狀態與能帶

? ? ? ? 求解薛定諤方程，勢場中的這一項需要確定，對于氫原子只有一個核外電子，勢場只受原子核的作用，假設V（r）正比于（ 1/r ）

? ? ? ? 勢場是解決微觀粒子波粒二象性的一個困難問題

? ? ? ? 半導體當中的電子是在嚴格周期性重復排列的原子之間運動，勢場形式復雜（忽略次要條件），所以就有各種各樣的近似（就晶體來說有大量原子，同時也有大量電子），其中最成功的就是：?

1. 單電子近似 : 設電子是在嚴格周期性重復排列（晶體是沒有缺陷的理想晶體）并且是固定不動（不隨時間產生變化）的原子核勢場以及大量電子的平均勢場下運動，這就是所謂的單電子近似，有了單電子之后，就有了能帶理論

意義：1. 單電子近似把晶體當中研究混合系統中的電子狀態的問題分離出來 2.把眾多電子相互牽制的復雜的多電子問題，近似成為對某一電子的作用，只是一個平均勢場的作用

提出單電子近似是為了確定勢場的形式

根據單電子近似：嚴格重復排列 : V（X）=V(X + Sa) S是整數，a是晶格常數

?周期性函數的種類很多，所以單電子近似只是給了一個勢場的形式，解析式并沒有出現

其中我們就可以構造各種各樣的勢場

布洛克證明了具有周期性勢場的薛定諤方程，那么其解一定具有下面的形式，

把這樣的波函數稱作布洛克波函數

討論一下解的形式：（1）自由電子來說

?形式上是相似的，他們都表示了波長為（1/k）沿著k方向傳播的平面波，不同點在于晶體中電子的周期性調制振幅Uk（X）取代了自由電子的恒定振幅

(2)對于自由電子來說，波函數和波函數的共軛相乘 == A的平方（意義是考察對象在空間各點出現的概率），表明電子在空間各點等概率出現（各點出現的概率一樣），既然是等概率出現，那么表示它是自由的，反映了電子在空間做自由運動

晶體中的電子，我們把布洛克函數和布洛克函數的共軛相乘，Uk（X），那么乘積還是周期性函數，說明晶體中找到該電子的概率具有周期性變化的性質，（電子不再屬于某一個特定的原子而是可以從一個原子所謂的自由運動，運動到),?

半導體中的薛定諤方程以及薛定諤方程的解

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布洛赫函數中的波矢k，具有量子數的作用，不同的k反映了不同的共有化運動狀態

共有化運動就會形成能帶

復習：

晶體中的薛定諤方程

?為了確定勢場形式，就有了單電子近似（嚴格周期性排列，固定不動），我們可以確定晶體當中的勢場是一個周期性勢場，因為晶體是由組成晶體的原子周期性排列而成，

?沿著k方向傳播的平面波，振幅是一個周期性振幅，有了布洛赫波函數以后，我們討論了三件事情

1. 晶體當中電子所謂的布洛赫波函數與自由電子的波函數（自由電子是恒定振幅），形式上相似，不一樣的地方在于，布洛赫是一個以周期性為 a 的調制振幅

2. 布洛赫波函數和它共軛的乘積，考察的是幾率

?電子在晶體中出現的機率，不屬于某一個特定的原子，而是以晶格常數a為周期

在晶胞對應點上，等幾率出現，我們稱為共有化運動

3.在布洛赫波函數中，波矢k具有量子數的作用，不同k反應不同的共有化運動狀態

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兩種極端情況來說明電子的運動狀態：

1.準自由電子近似??

? 自由電子的運動狀態時連續的，波矢k可以連續取值，所以能量是一個拋物線，也可以連續取值

? 從自由電子的狀態出發，設想將一個電子給它放入到晶體當中，由于晶格存在，電子在傳播過程中給就會受到格點原子的反射（格點大量存在），大量反射存在，所以在一般情況下，各個反射波是會相互抵消的，對前進波無重大影響，但當滿足布拉格反射條件的時候，就會形成駐波，所以我們把一般情況和特殊情況結合起來，綜合上面 =》 其定態為駐波

我們以一維晶體為例，在一維晶體中，其布拉格反射條件，,

滿足布拉格反射條件，這是一維條件下的滿足形成駐波的反射條件，另外我們由量子力學理論，我們說電子的運動可以看作是波包的運動，并且波包的群速度就是電子運動的平均速度，設波爆的頻率是,則電子運動的平均速度,? ?,這是量子力學得到的結果，因為,兩個式子聯立一下，我們得到, 這個公式非常重要（電子運動的平均速度）在一維晶體情況下，,,那么在圖上可以把點給標出來，原先的拋物線上，就有些點被標志出來，這些點滿足布拉格條件，在滿足，這些點就是駐點（波動中不動的點），，E,K關系的切線的斜率為0，由于形成的是駐波，所以電子的速度是0，所以曲線就要被扭曲了，在波矢，將會從連續的能量狀態變成一系列能量允許和能量不允許相間隔的區間，那么我們把這樣的能量允許的區間，稱為允帶，不允許出現的稱為禁帶。

這個就是我們所說的第一種極端的情況（準自由電子近似）

準束縛近似：從孤立原子核外電子的狀態也就是能級出發

空間中孤立的原子核外電子的狀態，形成了一系列確定的能量，把晶體看作是原子相互靠攏到一定程度的結果，晶體當中的電子，具有布洛赫波函數的性質，在晶胞對應電商等概率出現，共有化運動，（也就是說靠攏會出現電子的共有化運動），電子不再屬于某一個特定的原子，作共有化運動的電子，不再長時間停留在某原子的一定狀態中，而且只停留有限時間，那么我們根據測不準原理，（量子力學三個基本原理：測不準原理，能量量子化，泡利不相容原理），測不準原理說的是位置和動量這是一對測不準量，能量和具有這個能量的時間是一對測不準量，所以我們要用能量和波矢k來描述,電子屬于這個原子，所以，晶體當中的電子，電子不再屬于某一個特定的原子，, 不就是能級展寬成能帶，我們剛才在準自由，當原子和原子相距的比較遠的時候，我們把孤立原子相互靠攏，我們仍然可以用圖來示意一下，橫坐標原子間距，當原子間距比較大的時候，看作是孤立原子，看作形成孤立能級，隨著靠攏，能級開始分裂，逐漸展寬成能帶，也就是晶體當中原子核原子的實際距離，晶體中原子的距離,外層電子共有化運動來的早，所以展寬的大，內層電子展寬的小

晶體中電子的狀態既不同于自由電子連續的E-K關系，也不同于孤立原子核外電子的狀態（能級），而是形成了一系列想=相間隔的允帶和禁帶

（三） 布里淵區與能帶

我們還是把剛才那個準自由電子就近似，如果是自由電子是拋物線型的，自由電子一旦進入晶體當中，在一些地方將會形成駐點，在這些地方束縛就是0，從連續的變成不連續的，使得切線的斜率為0，這么一個區間內，波矢的取值,，所謂布里淵區，就是把k的取值變一下，

在波矢??

在這些地方能量不連續，形成了一系列相間隔的允帶和禁帶，劃分出了第一布里淵區，依次向左右，形成第二布里淵區.......

劃分了布里淵區之后，禁帶出現在處也就是布里淵區的界面上，

2.一個布里淵區對應于一個允帶，周期性的函數給定特殊函數，薛定諤方程可以解決

在這個圖的基礎上，是原子周期性排列，所以晶體當中的E，K關系也應該周期話

第一布里淵區的曲線繼續延續下去，所以晶體當中的勢場是一個周期關系

3.晶體當中的E-K關系是周期性的，即

4.第一布里淵區又稱為簡約布里淵區，因為E~K關系是周期性的，所以只需要討論布里淵區

（四）能帶中的量子態數目

在能量允許的區間，波矢能否連續取值,一個允帶中的取值方式和取值的數量

1. 要用到邊界條件，一個允帶對應一個布里淵區，為了簡單一些，一維晶體中，用所謂的循環邊界條件（首尾相連）（波恩-卡曼邊界條件）,布洛赫波函數,其中這個l，在一維情況下，線狀的晶體，如果是由N個原子組成，那么應該是N和a的乘積，稱為循環邊界條件

,那么在這個式子里面，晶體首尾相連，是循環的=1,也就是都是滿足的，這樣以來，,如果是三維，,,波矢K的取值并不連續，而且波矢K的取值,在K空間是均勻分布的，在一個能量允許的區間內部，還有好多好多的能級是取不到的

一個布里淵區的長度,一個允許的K值所占的長度=，，所以K的取值應該等于,每個布里淵區也就是一個能帶，共有N個K的取值，他們均勻分布在K空間，每一個允許的K值對應了一個能量狀態，每個能級至多包含兩個自旋相反的電子，因為每一個能級上可以容納自旋相反的兩個電子，所以每一個允帶中，最多可以容納兩倍N個電子，N是晶體的固體物理學原胞數，也就是總原子數

1.原胞: 只反映周期性而不反應各種對稱性，一個原胞平均包含一個格點

2.每個允帶中電子的能量也是不連續的，允帶是由許多密集的能級組成的，因此是近似連續的（稱為準連續），如果我們想計算一下在這樣的一個允帶中有多少電子，如果認為能量是連續的

4.導體，半導體和絕緣體的能帶

晶體當中的電子狀態一系列允許和不允許的區間，下面就想用能帶的說法，來說明為什么有些是絕緣體，導體還有半導體？

固體物理認為，電子能夠導電，在外電場作用下，其電子的能量狀態和分布情況發生改變

滿帶中的電子在外電場作用下不參與導電

什么是滿帶？

所有的能級（從低到高）都被自旋相反的電子占據了，在這樣的一個所有能級都被自旋相反的電子填充，如果我們加一個電場的話，看電子的運動情況

電子在力的作用下位移，電子能量的變化等于電場力對電子所做的功，

波矢K對時間的變化率為定值電子從A‘流出填入A，在滿帶作用下，電子運動的結果，沒有改變電子的狀態

a. 因為電子的運動沒有改變能量狀態和布里淵區內的分布情況，因此滿帶電子不導電

b. 與之對應的是第二種情況，半滿帶中的電子，在外電場的作用下，可以導電

在半滿帶中如果有外電場E的化，也會在K空間作勻速運動，運動的結果左邊的能量高，右邊的能量低，既改變了能量狀態也改變了布里淵區內的分布情況，滿帶當中的電子和半滿帶中的電子，兩個的結果不一樣

想象兩個瓶子，一個裝滿水，另一個裝了半瓶水

內層電子占據的都是滿帶，所以內層電子對導電沒有貢獻

c. 導體，半導體，絕緣體的能帶

導體一定存在半滿帶

絕緣體的能帶和T=0K時半導體能帶是相似的

絕緣體的禁帶寬度：絕緣體的禁帶寬度比較大，=（6~7ev），而半導體的禁帶寬度通常在1ev左右，例如300K下，Si的Eg 1.12ev，Ge 0.67ev，GaAs 1.43ev,當外界條件變化的時候，里面的電子會獲得能量，獲得能量之后，滿帶中少量電子，躍遷到上一個空帶的底部附近，所以滿帶中的電子和原先空帶中的少量電子都參與導電，所以常溫下具有一定的導電能力，通常把滿帶中，少量電子躍遷后，剩余的大量電子對電流的貢獻，用少量的帶正電的準粒子加以等效描述，稱為空穴

總結

以上是生活随笔為你收集整理的半导体中的电子状态与能带的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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