文章目錄

• 泡利不相容原理
• 泡利不相容原理的作用范圍
• 自旋統計定理（Spin–statistics theorem）
• 費米-狄拉克統計（Femi-Dirac statistics）
• 復合費米子（Composite fermions）

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泡利不相容原理

泡利不相容原理，斷言原子中沒有兩個電子可以同時處于相同的狀態或構型，由奧地利物理學家提出（1925）Wolfgang Pauli解釋觀察到的原子發光模式。隨后，排斥原理被推廣到包括電子只是其中一個成員的一整類粒子。

泡利不相容原理支撐著日常物質的許多特性，從大尺度穩定性到原子的化學行為。

泡利不相容原理的作用范圍

在許多泡利不相容原理的介紹中，只說兩個相同的費米子不能處于相同的量子態，但似乎沒有說明這兩個費米子的范圍。排除原則的適用范圍是什么？可以是原子中的所有電子，還是整個導體中的電子，或者可以是更大的范圍？

根據標準模型，宇宙中的所有電子（和所有基本粒子）都應該具有完全相同的屬性。這意味著對于電子，泡利不相容原理為“宇宙中沒有 2 個電子可以占據相同的狀態”。

如果你有兩個相距 1 公里的氫原子，那么兩者都可能有一個“相同”的電子 $1s$ 狀態。這僅僅是因為這兩種狀態不同。雖然他們都是 $1s$ 狀態，它們與不同的原子相關聯。

簡單來說如果兩個粒子不在同一個勢阱中，則波函數由第一個勢阱的量子數和第二個勢阱的量子數定義。有相同值的相同“數字”，但在數學上，它們對應于不同的波函數，因為函數以不同的原點為中心，因此您可以并排有兩個處于基態的氦原子。

在晶體中，情況略有不同，因為嚴格來說，本征態是 Bloch 態，它們在整個晶體上離域。但是對于最深的能級（遠低于傳導能級的能級），位于每個原子周圍的局部狀態的圖像并沒有那么偏離。在這種情況下，晶體中的所有原子通常都會占據這些狀態，但這也不與泡利原理相反，因為這些狀態是可區分的，因為它們與不同的原子相關聯。

“與不同原子相關聯”將這些原子與另一個原子區分開來指的是，只要一個原子上的一個軌道與另一個原子上的另一個軌道之間的相互作用項很小，兩個原子系統的本征態幾乎可以看作是兩個獨立態的乘積，因此這些狀態是“不同的”。更直觀的，通過注意它們位置的期望值不同來區分空間分離的狀態（例如兩個不同原子上的狀態），這意味著它們必然由不同的波函數描述。

直觀說明不相容原理范圍的最常見方法來自對白矮星和中子星等超高密度物體的研究。在白矮星中，重力將物質擠壓得很厲害，以至于其中的電子波函數開始重疊——這就是排斥原理起作用的地方，它與重力作斗爭以支撐白矮星并阻止它被壓得更緊了。這種效應稱為簡并壓力，對它的完整描述將是天體物理學文本中幾章的長度。

只有當原子被如此緊密地擠壓在一起以致原子內的大部分空白空間都被壓縮掉時，簡并壓力才會發揮作用。實際上，這意味著簡并壓力變得重要的距離范圍遠小于處于未壓縮狀態的典型原子的尺寸。

自旋統計定理（Spin–statistics theorem）

在量子力學中，自旋統計定理將粒子的固有自旋（不是由軌道運動引起的角動量）與其服從的粒子統計聯系起來。以約化普朗克常數 $?$ 為單位，所有在 3 維中移動的粒子都具有整數自旋（integer spin）或半整數自旋（half-integer spin）。

該定理指出：

• 當任意兩個粒子的位置交換時，相同整數自旋粒子系統的波函??數具有相同的值。在交換下具有對稱波函數的粒子稱為玻色子。
• 當兩個粒子交換時，相同的半整數自旋粒子系統的波函??數會改變符號。在交換下具有反對稱波函數的粒子稱為費米子。

換句話說，自旋統計定理指出整數自旋粒子是玻色子，而半整數自旋粒子是費米子。

自旋統計關系（spin–statistics relation）由 Markus Fierz 于 1939 年首次提出，并由 Wolfgang Pauli 以更系統的方式重新推導。Fierz 和 Pauli 通過列舉所有自由場理論來論證他們的結果，這些理論的前提是，局部交換（locally commuting）的可觀測量存在二次形式（quadratic forms），包括正定的（positive difinite）能量密度。Julian Schwinger 在 1950年提供了一個更具概念性的論點。Richard Feynman 通過要求當外部電勢變化時散射的幺正性給出了一個證明，當翻譯成場語言時，它是與勢耦合的二次算子（quadratic operator）的條件。

費米-狄拉克統計（Femi-Dirac statistics）

在自由電子氣系統中為何還會有一個量子態/能級只有一個電子？
同一個能級不能有非常多的量子態？

為何在考慮金屬中的電子對熱容量的貢獻的時候，會用自用電子氣同樣的方法，金屬中的電子哪些在低溫下起熱容量的作用？另外金屬中的電子氣體是否類比為自由電子氣？為何能做此類比，不考慮其與原子及周邊原子的關聯了嗎？

復合費米子（Composite fermions）

為何復合粒子的自旋量子數滿足簡單的加減規律？

復合粒子（例如強子、原子核和原子）可以是玻色子或費米子，具體取決于它們的成分。更準確地說，由于自旋和統計之間的關系，包含奇數個費米子的粒子本身就是一個費米子。它將有半整數自旋。

示例包括以下內容：

• 重子，例如質子或中子，包含三個費米子夸克。
• 碳 13原子的原子核包含六個質子和七個中子。
• 原子helium-3 ( 3 He) 由兩個質子、一個中子和兩個電子組成。
• 氘原子由一個質子、一個中子和一個電子組成。
• 由與勢能結合的簡單粒子組成的復合粒子中的玻色子數量對其是玻色子還是費米子沒有影響。

復合粒子（或系統）的費米子或玻色子行為僅在大距離（與系統大小相比）處可見。在接近時，空間結構開始變得重要，復合粒子（或系統）根據其組成成分表現。

費米子在成對松散結合時會表現出玻色子行為。這就是氦3超導和超流性的起源：在超導材料中，電子通過聲子的交換相互作用，形成庫珀對，而在氦3中，庫珀對是通過自旋漲落形成的。

分數量子霍爾效應的準粒子也稱為復合費米子；它們由帶有偶數個量子化渦旋的電子組成。

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• 參考資料：

What is the range of Pauli’s exclusion principle？

為什么兩個電子不能處于同一位置—泡利不相容原理的推導

wiki: Pauli exclusion principle

wiki: Spin–statistics theorem

wiki: Fermion

總結

以上是生活随笔為你收集整理的泡利不相容原理适用的空间范围（系统）是多大？的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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