前言

沒時(shí)間了，進(jìn)度拖了兩周 ! 好想游泳！

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目錄

• • 前言
  • 量子數(shù)
  • 泡利不相容原理
  • 核外電子排布
  • 能級(jí)分裂成能帶
  • • 允帶禁帶價(jià)帶導(dǎo)帶
    • 固體中的導(dǎo)帶價(jià)帶
  • Kronig-Penney模型
  • • 單個(gè)原子勢(shì)函數(shù)
    • 一維單晶勢(shì)函數(shù)
    • 一維周期性勢(shì)函數(shù)
    • 求能量E與勢(shì)函數(shù)V與k的關(guān)系
  • 自由粒子的E-k關(guān)系
  • k空間能帶圖
  • • 簡(jiǎn)約布里淵區(qū)
  • 固體電
  • • 本征激發(fā)
    • 能帶和鍵模型

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量子數(shù)

主量子數(shù)n

n=1,2,… 正整數(shù)，是 決定軌道能量（電子能量） 的主要的量子數(shù)。一般來說，同一元素軌道增加，n增大。

主量子數(shù)相同的軌道，電子出現(xiàn)的幾率最大的范圍是相同的，所以主量子數(shù)相同的軌道劃為一個(gè)電子層。主量子數(shù)越大，電子離核越遠(yuǎn)。

角量子數(shù)l

l=0,1,2,…,n-1 其中n是主量子數(shù)。角量子 決定電子空間運(yùn)動(dòng)角動(dòng)量 。也決定原子軌道和電子云形狀。

在多原子中，與主量子數(shù)共同決定電子能量高低。

磁量子數(shù)m

$?l\le m\le +l$ 取范圍內(nèi)所有整數(shù)。原子軌道（電子云）在空間中有 $2l+1$ 個(gè)伸展方向——每一個(gè)伸展方向稱為一個(gè)軌道。

磁量子數(shù)表示 軌道角動(dòng)量方向沿磁場(chǎng)的分量 。

自旋量子數(shù)$m_s$

$m_s=\frac{1}{2}$ ，記 $\uparrow$ ，表示電子順磁場(chǎng)方向 ，逆時(shí)針自旋。

$m_s=?\frac{1}{2}$ ，記 $\downarrow$ ，表示電子逆磁場(chǎng)方向 ，順時(shí)針自旋。

自旋量子數(shù) 決定電子自旋的角動(dòng)量方向沿磁場(chǎng)的分量

電子有兩個(gè)方向的自旋，順時(shí)針方向的自旋和逆時(shí)針方向的自旋。

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一個(gè)軌道最多只能容納自旋相反的兩個(gè)電子，也就是只能容納兩個(gè)量子態(tài)

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泡利不相容原理

在費(fèi)米子組成的系統(tǒng)中，不能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的粒子處于完全相同的狀態(tài)。

原子中的電子的泡利不相容原理：

不能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的電子具有完全相同的四個(gè)量子數(shù) ，或者說在軌道量子數(shù)$m、l、n$確定的一個(gè)原子軌道上最多可容納兩個(gè)電子，并且這兩個(gè)電子自旋方向必須相反。

——這是電子在核外排布形成周期性，以解釋元素周期表的準(zhǔn)則之一

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核外電子排布

核外電子排布遵循泡利不相容原理、能量最低原理、洪特規(guī)則。

能量最低原理：核外電子先占有能量最低的軌道，當(dāng)?shù)湍芰寇壍辣徽紳M后，電子才進(jìn)入能量較高 的軌道。

洪特規(guī)則：電子在能量相同的軌道（等價(jià)軌道）上排布時(shí)，總是盡可能分占不同的軌道，且自旋方向相同，因?yàn)檫@樣排布總能量最低。

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能級(jí)分裂成能帶

兩個(gè)或多個(gè)原子的相互作用或者微擾動(dòng)，會(huì)導(dǎo)致離散的能級(jí)分裂成兩個(gè)分立的能級(jí)。

如果將最初相矩很 遠(yuǎn) 的原子按一定規(guī)律周期排列起來，當(dāng)他們聚到一起，能級(jí)就會(huì)分裂成很多能級(jí)，這些能級(jí)的能量范圍就是能帶。所以也可以說是當(dāng)他們聚到一起，能級(jí)就會(huì)分裂成能帶。

$r_0$表示晶體中平衡原子間的距離。

能帶內(nèi)不同能級(jí)能量差別小，有時(shí)候可以認(rèn)為能量是準(zhǔn)連續(xù)分布的。

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原子聚集成的系統(tǒng)，無論大小怎么變化，量子總數(shù)都不變。根據(jù)泡利不相容原理，任何兩個(gè)電子不能有完全相同的四個(gè)量子數(shù)，所以離散的能級(jí)必須分裂成一個(gè)能帶，這樣保證每個(gè)電子占據(jù)不同的量子態(tài)

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允帶禁帶價(jià)帶導(dǎo)帶

允帶就是能帶，是由一條能級(jí)分裂成的一組差別很小的能級(jí)。

禁帶就是能帶之間能量密度為零的能量區(qū)間

當(dāng)原子處于基態(tài)，她的電子會(huì)從最低能級(jí)向上填充，被填滿的能帶叫滿帶，滿帶中能量最高的一條叫價(jià)帶。

因?yàn)閮r(jià)帶被電子填滿，所以不導(dǎo)電，而高于價(jià)帶的能帶是不滿的，能導(dǎo)電，稱為導(dǎo)帶

• 導(dǎo)帶價(jià)帶都是對(duì)于電子而言的，能級(jí)越高電子能量越大。如果是空穴，那就是導(dǎo)帶中不導(dǎo)電（全是空穴），價(jià)帶中導(dǎo)電（沒有空穴）。

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固體中的導(dǎo)帶價(jià)帶

半導(dǎo)體中導(dǎo)帶價(jià)帶間有禁帶，絕緣體中的禁帶寬度更大，電子不可能躍遷過去。金屬中沒有禁帶，導(dǎo)帶和價(jià)帶重合，電子不需要躍遷就可以導(dǎo)電了。

• 能級(jí)和軌道有關(guān)，能級(jí)低的軌道低，該軌道的電子云更靠近核

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Kronig-Penney模型

單個(gè)原子勢(shì)函數(shù)

電子勢(shì)函數(shù) $V(r)\propto \frac{1}{r}$ ，離原子越遠(yuǎn)的電子，勢(shì)越小。勢(shì)函數(shù)描述原子間相互作用，勢(shì)越小，表示電子受原子的作用越小。

脫離原子作用的電子，能量越來越大。能級(jí)越來越高。

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一維單晶勢(shì)函數(shù)

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一維周期性勢(shì)函數(shù)

Kronig-Penney模型是一維單晶的理想化模型，但也可以說明周期晶格中電子的量子狀態(tài)的很多重要特點(diǎn)

每一個(gè)勢(shì)壘就是一個(gè)原子作用范圍，電子在勢(shì)壘間被束縛，稱為束縛態(tài)電子，其勢(shì)能$V$小于勢(shì)壘勢(shì)能$V_0$

布洛赫數(shù)學(xué)定理：存在一波矢量$k$ ，使得 $\psi (r+R_n)=\psi (r)exp(ik{R}_n)$ 對(duì)屬于布拉維格子的所有格矢量 $R_n$ 都成立

為了得到薛定諤方程的解，利用布洛赫數(shù)學(xué)定理，所有周期性變化的單電子勢(shì)函數(shù)必須寫成

$$\psi (x)=u(x)exp(ikx)$$

其中k是運(yùn)動(dòng)常量，$u(x)$是以a+b為周期的函數(shù)

通過量子力學(xué)可知，波動(dòng)方程是由與時(shí)間無關(guān)的部分加上與時(shí)間有關(guān)的部分組成的，即

$$\Psi (x,t)=\psi (x)?(t)=u(x)exp(ikx)exp(?i\frac{E_{n}t}{?})=u(x)exp\left\{i[kx?\frac{E_{n}t}{?}]\right\}$$

方程表示電子在單晶材料中的運(yùn)動(dòng)。波的整幅是周期函數(shù)，k表示波數(shù)

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求能量E與勢(shì)函數(shù)V與k的關(guān)系

一維，定態(tài)，與時(shí)間無關(guān)的薛定諤方程為

$$E\psi (x)=\left[?\frac{{?}^2}{2m}{?}^2+V(r)\right]\psi (x)$$

化成

$$\frac{{?}^2\psi (x)}{?x^2}+\frac{2m}{{?}^2}(E?V(x))\psi (x)=0(1)$$

假設(shè)區(qū)域1（$0\le x\le a$）內(nèi)$V=0$,對(duì)單電子勢(shì)函數(shù)求二階導(dǎo)有

$${\psi }^{\prime \prime }=\left\{u^{\prime \prime }+2ik?u^{\prime }?k^2?u\right\}exp(ikx)$$

代入(*)有

$$u^{\prime \prime }+2ikx?u^{\prime }+({\alpha }^2?k^2)u=0$$
其中 ${\alpha }^2=2mE/{?}^2$

解得區(qū)域1內(nèi)，假設(shè)$V=0$的電子運(yùn)動(dòng)的波的振幅函數(shù)為

$$u_1(x)=Aexp\left\{i[\alpha ?k]x\right\}+Bexp\left\{?i[\alpha +k]x\right\}0\le x\le a$$

同理，在區(qū)域2（$?b\le x\le 0$），假設(shè) $V=V_0$,則

$$u_2(x)=Cexp\left\{i[\beta ?k]x\right\}+Dexp\left\{?i[\beta +k]x\right\}?b\le x\le 0$$

其中

$${\beta }^2=\frac{2m}{{?}^2}(E?V_0)={\alpha }^2?\frac{2m{V}_0}{{?}^2}$$

在$x=0$處,波振幅連續(xù)，并且勢(shì)函數(shù)$\psi (x)$和一階導(dǎo)數(shù)${\psi }^{\prime }(x)$ 也連續(xù)，有

$$\{\begin{array}{l}{u}_1(0)=u_2(0)\\ u_1^{\prime }(0)=u_2^{\prime }(0)\end{array}$$

$$?\begin{array}{l}A+B?C?D=0(1)\\ \\ (\alpha ?k)A?(\alpha +k)B?(\beta ?k)C+(\beta +k)D=0(2)\end{array}$$

因?yàn)镵ronig-Penne模型的一維周期勢(shì)函數(shù)的周期性和連續(xù)性，有

$$\{\begin{array}{l}{u}_1(a)=u_2(?b)\\ u_1^{\prime }(a)=u_2^{\prime }(?b)\end{array}$$

$$?\begin{array}{l}A{e}^{i(\alpha ?k)a}+B{e}^{?i(\alpha +k)a}?C{e}^{?i(\beta ?k)b}?D{e}^{i(\beta +k)b}=0(3)\\ \\ (\alpha ?k)A{e}^{i(\alpha ?k)a}?(\alpha +k)B{e}^{?i(\alpha +k)a}?(\beta ?k)C{e}^{?i(\beta ?k)b}+(\beta +k)D{e}^{i(\beta +k)b}=0(4)\end{array}$$

(1)(2)(3)(4)四個(gè)式子組成齊次方程組，A,B,C,D是未知數(shù)，系數(shù)矩陣就是A,B,C,D的系數(shù)。行列式為零時(shí)，A,B,C,D有非零解

經(jīng)過復(fù)雜的運(yùn)算得到如下方程

$$?\frac{{\alpha }^2+{\beta }^2}{2\alpha \beta }sin\alpha a?sin\beta b+cos\alpha a?cos\beta b=cosk(a+b)$$

這個(gè)方程已經(jīng)將參數(shù)k、能量E、勢(shì)函數(shù)$V_0$聯(lián)系起來了。

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當(dāng)電子處于晶體的束縛中$V<V_0$，又因?yàn)?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">$\beta$的虛數(shù)，不妨定義

$$\beta =i\gamma$$

$$\frac{{\gamma }^2?{\alpha }^2}{2\alpha \gamma }sin\alpha a?sin\gamma b+cos\alpha a?cos\gamma b=cosk(a+b)$$

方程得不到解析解，只能通過數(shù)值和圖形得到$k、E、V_0$的關(guān)系

• 對(duì)于一個(gè)單獨(dú)的被束縛的束縛態(tài)粒子，薛定諤方程解的結(jié)果是分立的能量，即允帶的能量分布

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令勢(shì)壘寬度$b\to 0$,勢(shì)壘高度$V_0\to \infty$ ，這樣的話$b{V}_0$仍然有限。方程化成

$$P^{\prime }\frac{sin\alpha a}{\alpha a}+cos\alpha a=coska$$

$$P^{\prime }=\frac{m{V}_{0}ba}{{?}^2}$$

$$\alpha =\frac{\sqrt{2mE}}{?}$$

這樣化成的方程不是薛定諤波動(dòng)方程的解，只是給出了一個(gè)解的條件。

如果晶體無限大，則方程中的$k$可以假設(shè)為連續(xù)的實(shí)值！！！

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自由粒子的E-k關(guān)系

由
$$?\begin{array}{l}P=mv\\ \\ E=\frac{P^2}{2m}\\ \\ P=?k\end{array}$$

有

$$?\begin{array}{l}v=\frac{?k}{m}\\ \\ E=\frac{{?}^2{k}^2}{2m}\end{array}$$

隨著波矢量$k$的連續(xù)變化，自由電子能量是準(zhǔn)連續(xù)的。
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不存在真正的自由電子
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k空間能帶圖

由${\alpha }^2=2mE/{?}^2$ 有 $E={?}^2{\alpha }^2/2m$

令$k、E、V_0$的關(guān)系方程為

$$\begin{gathered} f(\alpha ?a)=P^{\prime }\frac{sin\alpha a}{\alpha a}+cos\alpha a=coska \\ =cos(ka+2n\pi ) \\ =cos(ka?2n\pi ) \end{gathered}$$

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簡(jiǎn)約布里淵區(qū)

把E-k關(guān)系圖中的不同允帶，以$2\pi$為周期平移到簡(jiǎn)約布里淵區(qū)內(nèi)。簡(jiǎn)約布里淵區(qū)對(duì)應(yīng)的波矢量稱為簡(jiǎn)約波矢

第一布里淵區(qū)（簡(jiǎn)約布里淵區(qū)）：$?\pi /a<k<\pi /a$

第二布里淵區(qū)：$?2\pi /a<k<?\pi /a,\pi /a<k<2\pi /a$

第三布里淵區(qū)：$?3\pi /a<k<?2\pi /a,2\pi /a<k<3\pi /a$

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• 當(dāng)$k=2n\pi /a,n為除零外的整數(shù)$時(shí)，能量不準(zhǔn)連續(xù)，形成允帶和禁帶。所以禁帶出現(xiàn)在$k=2n\pi /a$ 處
• $E(k)=E(k+2n\pi /a)$ ，E(k)是k的周期函數(shù)，周期$2\pi /a$，所以考慮能帶結(jié)構(gòu)的時(shí)候，只需要考慮第一布里淵區(qū)就行了
• 每一個(gè)布里淵區(qū)對(duì)應(yīng)一個(gè)能帶

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固體電

本征激發(fā)

共價(jià)鍵上的電子，激發(fā)稱為準(zhǔn)自由電子的過程

價(jià)帶上的電子激發(fā)稱為導(dǎo)帶電子的過程

本征激發(fā)特點(diǎn)是成對(duì)的產(chǎn)生導(dǎo)帶電子和價(jià)帶空穴——空穴要在價(jià)帶上才導(dǎo)電，電子要在導(dǎo)帶才導(dǎo)電
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能帶和鍵模型

溫度升高、外加電場(chǎng)等情況下，原本空著的導(dǎo)帶變成半滿，而價(jià)帶頂，因?yàn)槌霈F(xiàn)空的量子態(tài)，也變成了半滿帶。此時(shí)導(dǎo)帶和價(jià)帶中的電子都可以參與導(dǎo)電。

半導(dǎo)體中真正起作用的是那些能量狀態(tài)位于能帶極值附近的電子和空穴

$k=0$為能帶極值

導(dǎo)帶底附近

$$E(k)?E(0)=\frac{{?}^2{k}^2}{2m_n^{?}}$$

價(jià)帶頂附近
$$E(k)?E(0)=?\frac{{?}^2{k}^2}{2m_p^{?}}$$

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的半导体器件物理【5】固体量子 —— 能带与k空间的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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