給出莫比烏斯函數(shù)的定義：

這里的n即u(i)中的i，即i=1時(shí)，u(1)=1；i大于1且i中某個(gè)質(zhì)因子的冪超過1，則u(i)=0；否則，u(i)取決于其質(zhì)因子個(gè)數(shù)的奇偶性。

這里給出兩個(gè)莫比烏斯函數(shù)的性質(zhì)：

簡略證明性質(zhì)1：
由唯一分解定理，在n的因子中，某個(gè)因子的質(zhì)因子的冪超過1，那么u(d)=0,對(duì)于性質(zhì)1我們不用管他，所以只研究質(zhì)因子的冪全是1次的因子就行。假設(shè)n有質(zhì)因子k個(gè)，那么，性質(zhì)1可以轉(zhuǎn)化成以下式子，即在k個(gè)質(zhì)因子中選i個(gè)組成因子，因?yàn)閕是奇數(shù)的時(shí)候，這個(gè)因子的莫比烏斯函數(shù)值是-1，所以奇數(shù)項(xiàng)全是負(fù)的，偶數(shù)項(xiàng)全是正的。

由二項(xiàng)式系數(shù)奇數(shù)項(xiàng)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的和，在k>0時(shí)，這個(gè)式子不論k的奇偶，結(jié)果就是0；k=0時(shí)，即n=1時(shí)，這個(gè)式子的結(jié)果是1。

簡略證明性質(zhì)2：
先略過，會(huì)了再補(bǔ)充。

基于埃氏篩O(nloglogn)的方法求n以內(nèi)的數(shù)的莫比烏斯函數(shù)：

const int N=1e6+10; int mo[N]; void init(int n) {mo[1]=1;for(int i=1;i<=n/2;i++){if(mo[i]!=0){for(int j=i*2;j<=n;j+=i)mo[j]-=mo[i];}} }

基于歐拉篩O(n)的方法求n以內(nèi)的數(shù)的莫比烏斯函數(shù)：

const int N=1e6+10; bool vis[N]; int p[N],mo[N],cnt=0; void init(int n) {mo[1]=1;for(int i=2;i<=n;i++){if(!vis[i]){p[++cnt]=i;mo[i]=-1;}for(int j=1;j<=cnt;j++){if(i*p[j]>n)break;vis[i*p[j]]=1;if(i%p[j]==0)break;mo[i*p[j]]=-mo[i];}} }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的莫比乌斯函数的两种求法（基于欧拉筛、埃氏筛）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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