“?濾波是一個動作，對不同頻率的輸入信號，實施不同的增益和相移，以形成輸出。”

01

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模擬濾波和數(shù)字濾波

濾波這個動作通過通過數(shù)字電路或者軟件實現(xiàn)的方式就稱為數(shù)字濾波，其輸入量是離散的數(shù)字信號，或者是一個程序，對已有的數(shù)字序列進行濾波，形成新數(shù)據(jù)。例如：

原始數(shù)據(jù)??,通過以下程序形成??

?這就形成了一個數(shù)字濾波的過程，實現(xiàn)了最簡單的低通濾波的效果。X序列中存在的尖銳化，會在輸出的Y序列中得到鈍化?。

同樣的濾波這個動作通過模擬電路來實現(xiàn)的方式就稱為模擬濾波。

比如我們接下來要介紹的通過OP運放搭建的低通濾波，高通濾波器。只通過純硬件電路即可實現(xiàn)濾波效果。下面所有的濾波器我們都默認(rèn)是模擬濾波器。

02

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電子電路復(fù)數(shù)表示法

首先是電感：

我們知道，一個線圈就是一個比較簡單的電感，而電感有一個特點：當(dāng)磁場變化時，線圈為了消除磁場變化而使自身產(chǎn)生感應(yīng)電壓，這對應(yīng)法拉第電磁感應(yīng)定律：

?????，其中??表示感應(yīng)電動勢，??表示時間，?表示磁通量，??表示電感大小，??表示電流大小。

我們將上式進行變形，令??表示該電感產(chǎn)生的電動勢，則：

????化為微分形式就是：?

然后是電容：

我們知道：??，其中??表示電容內(nèi)的電荷，??表示電容大小，??表示電容兩端的電位差，同時我們知道：??，因此我們設(shè)??表示通過該電容的電流，則：

化為微分形式就是：

接下來，我們首先了解一下復(fù)數(shù)的基本知識：

在直角坐標(biāo)系下，復(fù)數(shù)定義為：??，其中??，??稱為實部，??稱為虛部

在復(fù)數(shù)中有一個非常著名的公式叫做歐拉公式：

?，一個簡單的證明如下：

對等式左側(cè)進行Maclaurin展開：

利用??這一性質(zhì)，上式可化為：

而

因此歐拉公式得證

可以注意到，一個復(fù)數(shù)??，若將??作為直角坐標(biāo)系的橫軸，??作為直角坐標(biāo)系的縱軸，那么一個復(fù)數(shù)可以表示為直角坐標(biāo)系上的一個向量??，其與??正半軸的夾角叫做復(fù)數(shù)的幅角，若設(shè)復(fù)數(shù)的幅角為??，則?

我們將復(fù)數(shù)??變換到極坐標(biāo)系上：

已知：

????????

?（這定義為復(fù)數(shù)的模，或者說是復(fù)數(shù)在平面直角坐標(biāo)系上表示時的長度）

那么利用歐拉公式可得：?

我們平常使用的交流電可以定義為：?

其中??表示角頻率，??表示初始相角

對于下述電路：

我們根據(jù)上面的討論，很容易列出下列等式：

其中電流??是關(guān)于時間??的函數(shù)，求解這個方程需要用到高等數(shù)學(xué)微分方程部分的知識，且求解過程非常復(fù)雜。

但是我們可以利用復(fù)數(shù)輕松求解這個問題：

首先讓我們轉(zhuǎn)換一下思想，我們知道一個交流電源包含幅度、角頻率及初始相位三個參數(shù)，那么我們完全可以用復(fù)數(shù)的模來表示幅度，復(fù)數(shù)的幅角來表示角頻率及初始相位，因此交流電源電壓描述可以變?yōu)槿缦卤磉_式：

?，其中??，幅角??，

根據(jù)上述討論的復(fù)數(shù)在極坐標(biāo)下的定義，可以將該表達式改寫為：

我們知道上述方程的解一定也是同角頻率正弦波（參考高等數(shù)學(xué)相關(guān)微分方程的求解），因此電流類似的改寫為：

因此上述微分方程可以簡化為：

由于我們只是改變了電壓的描述形式，并規(guī)定了電流函數(shù)解的形式，因此這樣代入并不改變上述方程的成立性

我們繼續(xù)化簡：

因此上述方程化簡為：

這就是一個簡單的代數(shù)方程式，而求解該方程中的??的方法我們小學(xué)四年級就已經(jīng)學(xué)過了：

同時，我們已知在僅含有電阻??直流電路中，依據(jù)歐姆定律可得：??，其中??為電阻兩端的電壓，??為電阻兩端的電流

類似的，我們在交流電路中引出阻抗的概念，定義為：?

因此，根據(jù)上述計算，我們可以很容易得出，電感的感抗為：?????類似的，電容的容抗為：?

電阻的阻抗為：?????

我們稱上面帶點的符號為相量，相量具有幅度和相位兩個參數(shù)，利用相量，我們可以判斷交流回路中電壓和電流的相位差借此判斷相位的超前與滯后現(xiàn)象。

03

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頻率響應(yīng)

濾波器是依賴于頻率基礎(chǔ)之上處理信號的一種電路。而隨頻率變化的這種特性行為稱為頻率響應(yīng)，并以傳遞函數(shù)H(jw)表示，這里的??是角頻率以弧度/秒（rad/s）計，而j是虛數(shù)單位（??）,這個響應(yīng)進一步具體為幅度響應(yīng)??和相位響應(yīng)；它們分別給出了當(dāng)信號通過該濾波器后所經(jīng)受的增益和相移。

04

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傳遞函數(shù)

濾波器是用其特性和頻率相關(guān)的器件實現(xiàn)的，如電容器和電感器。當(dāng)經(jīng)受交流信號時，這些元件都會以一種依賴于頻率的方式反抗電流的變化，并且還在電壓和電流之間引入90°的相移。為了考慮這一個特性，采用復(fù)阻抗??和?其中式中??是復(fù)頻率以復(fù)奈培/秒(復(fù)Np/s)計。這里，??是奈培頻率以奈培/秒（Np/s），而??是角頻率以弧度/秒（rads/s）計。

一個電路的特性行為位移的由他的傳遞函數(shù)H（s）來表征，為了求得這個函數(shù)，首先導(dǎo)出用輸入??對輸出??的表達式（??和??可以是電壓或電流）；這可以利用熟悉的一些方法來做，比如KCL,KVL或者歐姆定律等，然后對這個比值求解

?一旦H（s）?知道，對于某給定的輸入??的響應(yīng)??就能求得為：

?這里??代表拉普拉斯反變換，而??則是??的拉普拉斯變換。

傳遞函數(shù)結(jié)果是s的有理函數(shù)

?其中N(s)和D(s)是階次為m和n的，具有實系數(shù)的，合適的s多項式，分母的階決定濾波器的階次（一階、二階等等）。方程N(s)=0和D(s)=0的根分別為H(s)的零點和極點，并用??和??表示，將N(s)和D(s)因式分解成各自的根可寫成：

??其中??稱為加權(quán)因子，除去??外，一旦已知他的零點和極點，H(s)就唯一被確定。由于這些根只與電路有關(guān)，也就是只取決于它的元件以及互聯(lián)方式，而與它的信號或者存貯在電抗性元件中的能量無關(guān)，因此這些根也稱為臨界或者特征頻率。事實上，基本的電路特性往往都用這些根來給出。這些根可以是實數(shù)或復(fù)數(shù)。當(dāng)零點或者極點是復(fù)數(shù)時，他們以共軛成對出現(xiàn)，例如??是一個極點，那么??也是一個極點。這些根都可以很方便的在復(fù)平面進行展現(xiàn)。

H(s)和穩(wěn)定性

如果一個電路對任何有界輸入在響應(yīng)中產(chǎn)生一個有界的輸出就說這個電路是穩(wěn)定的。判斷一個電路是否穩(wěn)定的一種方法是將某些能量注入到它的電抗元件中的一個或者多個中去，然后再沒有任何外加源的情況下觀察這個電路本身是如何作為的。在這種情況下的電路相應(yīng)稱為無源或自然響應(yīng)。注入能量的一種方便的方法是加入一個沖激輸入，他的拉普拉斯變換是1。根據(jù)上面介紹的拉普拉斯反變換可得

?非常有趣的是這個響應(yīng)是由極點決定的，現(xiàn)在看看兩個有代表性的。

1、H(s)有一個極點??。利用熟知的拉普拉斯變換方法，可以證明H(s)含有??，這里??稱為H(s)在哪個極點的留數(shù)，并求得為??=??。由拉普拉斯變換表求得

?式中u(t)是單位階躍函數(shù)（u=0,t<0;u=1,t>0）。一個實數(shù)極點對響應(yīng)??貢獻出一個指數(shù)分量，而且若??,這個分量衰減，若??,保持不變，以及若??,響應(yīng)將發(fā)散。

2、H(s)有一對復(fù)數(shù)極點在??，在這種情況下，H(s)包含復(fù)數(shù)項??以及他的共軛項，而求得的留數(shù)是??。他們組合的拉普拉斯變換是：

?如果??，這一分量代表一個衰減的正弦；若??，則代表一個恒定振幅的正弦；以及??，則代表一幅度增長的正弦。

很清楚，對一個電路要是穩(wěn)定的話，全部極點都必須位于s平面的左半平面，在哪里有??。無源RLC電路就滿足這個條件，因而是穩(wěn)定的。然而，如果某一電路含有受控源（如運放），那么他的極點就可能落在右半平面，從而會導(dǎo)致不穩(wěn)定，他的輸出會一直增長到運放達到飽和極限為止。如果電路有一對復(fù)數(shù)極點，輸出就是一個持續(xù)的振蕩。

H(s)和頻率響應(yīng)

在濾波器的研究中，關(guān)心的是對如下交流輸入

?的響應(yīng)，這里??是振幅，??是角頻率，而??是相角。一般來說，拉普拉斯反變換的完全響應(yīng)??由兩個分量組成，即一個在函數(shù)上類似于自然響應(yīng)的暫態(tài)分量，而另一個則是與輸入有統(tǒng)一頻率但有不同振幅和相角的穩(wěn)態(tài)分量，如果全部極點都位于左半平面LHP，那么暫態(tài)分量將最終消逝，而僅有穩(wěn)態(tài)分量

??由于把范圍僅縮小到上面這一個分量上，就可以繞過一般的拉普拉斯途徑簡化數(shù)學(xué)過程。只要求計算出在虛軸上的H(s)的值，為此求得輸出參數(shù)為：

????

一般情況下，一個濾波器既影響振幅又影響相角

04

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伯德圖

伯德圖，也有也翻譯成波特圖。頻率響應(yīng)的一種可視化展示。可以用手畫出來，或者通過各種仿真軟件比如pspice,proteus產(chǎn)生。

一個濾波器的幅值和頻率范圍可能是很寬的，為了用同一清晰度觀察小的以及大的細(xì)節(jié)，幅度和相位分別在對數(shù)和半對數(shù)標(biāo)尺上畫出。這就是說，頻率間隔用每10倍頻程（??,0.01,0.1,1,10,100,??）或者每倍頻程表示(??),而|H|以分貝（dB）表示為

??伯德圖就是分貝和度對10倍頻程的圖。

聽說關(guān)注公眾號的都是大牛?

?

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的基于OP放大器的有源模拟滤波器设计--基础知识的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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