神奇的莫比乌斯带
這學期有幸承擔學校人文講壇的任務，原來任四年級數學老師的時候，搜集了許多有關“莫比烏斯帶”的資料，趁著這個陰雨不斷的十一長假重新作了整理和修繕。不過很可惜很多圖片都沒有辦法上轉。
講稿：
神奇的莫比烏斯帶
同學們一定聽過這樣一個講不完的故事：從前有座山，山上有座廟，廟里有個和尚在講故事，講的什么？……
我們在記錄這個故事的時候，可以像我這樣用“……”來表示故事講不完，再可愛一點兒，同學們認識了循環小數，在循環節的首尾各點一點兒表示無限循環下去，我們可以效仿這樣來表示：?從前有座山，山上有座廟，廟里有個和尚在講故事，講的什么?？但如果我把四句話分別寫在一張紙條的正反兩面，我們還有辦法讓這個故事講不完嗎？答案是可以！
我們只要將紙條做一個翻轉，然后再粘貼，就能夠實現故事無限循環下去。那么大家所看到的這個紙圈在數學的歷史上歷經多年終于被德國的天文學家莫比烏斯發現了，公元1858年，莫比烏斯把這條帶子介紹給大家，于是這個紙圈便被命名為——莫比烏斯帶。今天中午，我就跟大家一起來看看這條帶子的與眾不同。
一、莫比烏斯帶的發現
首先讓我們一起來重溫莫比烏斯帶的發現。
數學上流傳著這樣一個故事：有人曾提出，先用一張長方形的紙條，首尾相粘，做成一個紙圈，然后只允許用一種顏色，在紙圈上的一面涂抹，最后把整個紙圈全部抹成一種顏色，不留下任何空白。這個紙圈應該怎樣粘？如果是紙條的首尾相粘做成的紙圈有兩個面，勢必要涂完一個面再重新涂另一個面，不符合涂抹的要求，能不能做成只有一個面、一條封閉曲線做邊界的紙圈兒呢？
對于這樣一個看來十分簡單的問題，數百年間，曾有許多科學家進行了認真研究，結果都沒有成功。后來，德國的數學家莫比烏斯對此發生了濃厚興趣，他長時間專心思索、試驗，也毫無結果。
有一天，他被這個問題弄得頭昏腦漲了，便到野外去散步。新鮮的空氣，清涼的風，使他頓時感到輕松舒適，但他頭腦里仍然只有那個尚未找到的圈兒。
一片片肥大的玉米葉子，在他眼里變成了“綠色的紙條兒”，他不由自主地蹲下去，擺弄著、觀察著。葉子彎取著聳拉下來，有許多扭成半圓形的，他隨便撕下一片，順著葉子自然扭的方向對接成一個圓圈兒，他驚喜地發現，這“綠色的圓圈兒”就是他夢寐以求的那種圈圈。
莫比烏斯回到辦公室，裁出紙條，把紙的一端扭轉180°，再將兩端粘在一起，這樣就做成了只有一個面的紙圈兒。
圓圈做成后，麥比烏斯捉了一只小甲蟲，放在上面讓它爬。結果，小甲蟲不翻越任何邊界就爬遍了圓圈兒的所有部分。莫比烏斯圈激動地說：“公正的小甲蟲，你無可辯駁地證明了這個圈兒只有一個面。” 麥比烏斯帶就這樣被發現了。
二、有關莫比烏斯帶的小故事
“莫比烏斯帶”有點神秘，一時又派不上用場，但是人們還是根據它的特性編出了一些故事，據說有一個小偷偷了一位很老實農民的東西，并被當場捕獲，將小偷送到縣衙，縣官發現小偷正是自己的兒子。于是在一張紙條的正面寫上：小偷應當放掉。而在紙的反面寫了：農民應當關押。縣官將紙條交給執事官由他去辦理。聰明的執事官將紙條扭了個彎，用手指將兩端捏在一起。然后向大家宣布：根據縣太爺的命令放掉農民，關押小偷。縣官聽了大怒，責問執事官。執事官將紙條捏在手上給縣官看，從“應當”二字讀起，確實沒錯。仔細觀看字跡，也沒有涂改，縣官不知其中奧秘，只好自認倒霉。
縣官知道執事官在紙條上做了手腳，懷恨在心，伺機報復。一日，又拿了一張紙條，要執事官一筆將正反兩面涂黑，否則就要將其拘役。執事官不慌不忙地把紙條扭了一下，粘住兩端，提筆在紙環上一劃，又拆開兩端，只見紙條正反面均涂上黑色。縣官的毒計又落空了。
現實可能根本不會發生這樣的故事，但是這兩個故事卻很好地反映出“莫比烏斯帶”的特點。
三、奇妙的莫比烏斯帶
左圖所示的帶子是由一張紙條的兩端粘接而成。紙的一面稱為帶的內側，而紙的另一面則稱為帶的外側。我們把這樣的曲面叫做“雙側曲面”。如果一只蜘蛛想沿著紙帶從外側爬到內側，那么它非得設法跨越帶的邊緣不可．
右面這張圖所示的是莫比烏斯帶，它也是由一張紙條兩端粘接而成，不過，在粘接前一端扭轉了180°。現在，所得的紙帶已不再具有兩面，它只有一個面，一條邊，這樣的曲面我們就叫它“單側曲面”。設想一只蜘蛛開始沿著莫比烏斯帶爬，那么它能夠爬遍整條帶子而無須跨越帶的邊緣。要證實這一點，只要拿一支鉛筆，筆不離紙連續地畫線．那么，你將會經過整條的帶子，并返回你原先的起點．
莫比烏斯帶的另一個有趣的性質，只要你沿著如下圖所示的帶子中央的虛線剪開把這個圈一分為二，照理應得到兩個圈兒，奇怪的是，剪開后竟然是一個大圈兒。
如果在紙條上劃兩條線，把紙條三等分，再粘成“麥比烏斯圈”，用剪刀沿畫線剪開，剪刀繞兩個圈竟然又回到原出發點，猜一猜，剪開后的結果是什么，是一個大圈？還是三個圈兒？都不是。它究竟是什么呢？你自己動手做這個實驗就知道了。你就會驚奇地發現，紙帶不僅沒有一分為二，反而剪出一個兩倍長的紙圈。
有趣的是：新得到的這個較長的紙圈，本身卻是一個雙側曲面，它的兩條邊界自身雖不打結，但卻相互套在一起。我們可以把上述紙圈，再一次沿中線剪開，這回可真的一分為二了！得到的是兩條互相套著的紙圈，而原先的兩條邊界，則分別包含于兩條紙圈之中，只是每條紙圈本身并不打結罷了。
同學們如果感興趣，可以將紙條四等分、五等分……，做成莫比烏斯帶，剪剪看會出現什么結果。
四、克萊因瓶
莫比烏代很神奇，但是，莫比烏斯帶具有一條非常明顯的邊界。這似乎是一種美中不足。公元1882年，另一位德國數學家費力克斯?克萊茵（Felix Klein，1849～1925），終于找到了一種自我封閉而沒有明顯邊界的模型，以他的名字命名的著名“瓶子”—— “克萊因瓶”。這種怪瓶實際上可以看作是由一對麥比烏斯圈，沿邊界粘合而成。
這是一個象球面那樣封閉的（也就是說沒有邊）曲面，但是它卻只有一個面。在圖片上我們看到，克萊因瓶的確就象是一個瓶子。但是它沒有瓶底，它的瓶頸被拉長，然后似乎是穿過了瓶壁，最后瓶頸和瓶底圈連在了一起。如果瓶頸不穿過瓶壁而從另一邊和瓶底圈相連的話，我們就會得到一個輪胎面。
我們可以說一個球有兩個面——外面和內面，如果一只螞蟻在一個球的外表面上爬行，那么如果它不在球面上咬一個洞，就無法爬到內表面上去。輪胎面也是一樣，有內外表面之分。但是克萊因瓶卻不同，我們很容易想象，一只爬在“瓶外”的螞蟻，可以輕松地通過瓶頸而爬到“瓶內”去——事實上克萊因瓶并無內外之分！
如果把一個克萊因瓶適當地剪開來，我們就能得到兩條莫比烏斯帶。
除了我們上面看到的克萊因瓶的模樣，還有一種不太為人所知的“８字形”克萊因瓶。它看起來和上面的曲面完全不同，但是在四維空間中它們其實就是同一個曲面——克萊因瓶。
五、麥比烏斯圈的應用：
數學中有一個重要分支叫“拓撲學”，主要是研究幾何圖形連續改變形狀時的一些特征和規律的，“麥比烏斯圈”變成了拓撲學中最有趣的單側面問題之一。麥比烏斯圈的概念被廣泛地應用到了建筑，藝術，工業生產中。運用麥比烏斯圈原理我們可以建造立交橋和道路，避免車輛行人的擁堵。
在科技館的展廳里有一個名叫“三葉紐結”的展品。它高12米，整體寬度10米，由三條寬1.65米的帶形成的一根三棱柱經過三次盤繞，將其一端旋轉120°后首尾相接構成。它實際上是由“莫比烏斯帶”演變而成的。它表示著科學沒有國界，各種科學之間沒有邊界，科學是相互連通的，科學和藝術也是相互連通的！
在世界特殊奧林匹克運動史上，莫比烏斯環有著特殊的意義，其象征著連接起全世界智障人士的友誼，彰顯出特奧會所崇尚的“轉換一種生命方式，您將獲得無限發展”理念。不久前落成的以2007年世界夏季特奧會會標“眼神”為主題的紀念雕塑，其采用的就是象征著無限發展的莫比烏斯環。
瑞典《不可能的圖形》郵票：瑞典1982年發行的一枚郵票，圖案是一個古里古怪的圖形，如果你用指尖沿著這個古怪的圖形上任何一個面順著一個方向劃下去，結果會發現這是一個在現實中不可能造出來的東西。但如果你就這樣一直順著劃下去，又會回到原來的出發點，似乎這個物體又不荒謬。其實這是一個立體化的“莫比烏斯圈”。發行這枚“不可能的圖形”郵票，意在引導人們關注科學，探索宇宙不解之謎。
莫比烏斯帶為很多藝術家提供了靈感，比如美術家M.C.Escher就是一個利用這個結構在他木刻畫作品里面的人，最著名的就是莫比烏斯二代，圖畫中表現一些螞蟻在莫比烏斯帶上面前行。
FOA建筑工作室的虛擬住宅方案，試圖達到數學上著名的“莫比烏斯帶”所展示的有趣的空間界面特點。
它也經常出現在科幻小說里面，比如亞瑟?克拉克的《黑暗之墻》。科幻小說常常想象我們的宇宙就是一個莫比烏斯帶。由A.J.Deutsch創作的短篇小說《一個叫莫比烏斯的地鐵站》為波士頓地鐵站創造了一個新的行駛線路，整個線路按照莫比烏斯帶方式扭曲，走入這個線路的火車都消失不見。另外一部小說《星際航行：下一代》中也用到了莫比烏斯帶空間的概念。
莫比烏斯帶也被用于工業制造。一種從莫比烏斯帶得到靈感的針式打印機色帶能使用更長的時間，因為可以更好的利用整個帶子。
莫比烏斯帶常被認為是 ∞（無窮大符號）的創意來源，因為如果某個人站在一個巨大的莫比烏斯帶的表面上沿著他能看到的“路”一直走下去，他就永遠不會停下來。但是這是一個不真實的傳聞，因為 ∞ 的發明比莫比烏斯帶還要早。
六、不可能的事情
在這幅名叫“瀑布”的平版畫中存在的不可思議：瀑布是一個封閉系統, 但它卻能使作坊車輪象一臺永動機一樣連續地轉動。
瑞士藝術家Oscar Reutersvard是“不可能圖形之父。他創作出了“不可能圖形” 。 1934年, 他通過一系列立方體造出了第一個不可能三角形。 1982年這幅畫作為瑞典郵票發行。
七、結語
莫比烏斯帶實際是拓撲學中的一個小部分。
拓撲學是19世紀發展起來的一個重要的幾何分支。早在歐拉或更早的時代，就已有拓撲學的萌芽，那時候發現的個別問題，例如哥尼斯堡七橋問題、多面體的歐拉定理、四色問題等，都是拓撲學發展史上的重要問題，后來在拓撲學的形成中占著重要的地位。
講稿：
神奇的莫比烏斯帶
同學們一定聽過這樣一個講不完的故事：從前有座山，山上有座廟，廟里有個和尚在講故事，講的什么？……
我們在記錄這個故事的時候，可以像我這樣用“……”來表示故事講不完，再可愛一點兒，同學們認識了循環小數，在循環節的首尾各點一點兒表示無限循環下去，我們可以效仿這樣來表示：?從前有座山，山上有座廟，廟里有個和尚在講故事，講的什么?？但如果我把四句話分別寫在一張紙條的正反兩面，我們還有辦法讓這個故事講不完嗎？答案是可以！
我們只要將紙條做一個翻轉，然后再粘貼，就能夠實現故事無限循環下去。那么大家所看到的這個紙圈在數學的歷史上歷經多年終于被德國的天文學家莫比烏斯發現了，公元1858年，莫比烏斯把這條帶子介紹給大家，于是這個紙圈便被命名為——莫比烏斯帶。今天中午，我就跟大家一起來看看這條帶子的與眾不同。
一、莫比烏斯帶的發現
首先讓我們一起來重溫莫比烏斯帶的發現。
數學上流傳著這樣一個故事：有人曾提出，先用一張長方形的紙條，首尾相粘，做成一個紙圈，然后只允許用一種顏色，在紙圈上的一面涂抹，最后把整個紙圈全部抹成一種顏色，不留下任何空白。這個紙圈應該怎樣粘？如果是紙條的首尾相粘做成的紙圈有兩個面，勢必要涂完一個面再重新涂另一個面，不符合涂抹的要求，能不能做成只有一個面、一條封閉曲線做邊界的紙圈兒呢？
對于這樣一個看來十分簡單的問題，數百年間，曾有許多科學家進行了認真研究，結果都沒有成功。后來，德國的數學家莫比烏斯對此發生了濃厚興趣，他長時間專心思索、試驗，也毫無結果。
有一天，他被這個問題弄得頭昏腦漲了，便到野外去散步。新鮮的空氣，清涼的風，使他頓時感到輕松舒適，但他頭腦里仍然只有那個尚未找到的圈兒。
一片片肥大的玉米葉子，在他眼里變成了“綠色的紙條兒”，他不由自主地蹲下去，擺弄著、觀察著。葉子彎取著聳拉下來，有許多扭成半圓形的，他隨便撕下一片，順著葉子自然扭的方向對接成一個圓圈兒，他驚喜地發現，這“綠色的圓圈兒”就是他夢寐以求的那種圈圈。
莫比烏斯回到辦公室，裁出紙條，把紙的一端扭轉180°，再將兩端粘在一起，這樣就做成了只有一個面的紙圈兒。
圓圈做成后，麥比烏斯捉了一只小甲蟲，放在上面讓它爬。結果，小甲蟲不翻越任何邊界就爬遍了圓圈兒的所有部分。莫比烏斯圈激動地說：“公正的小甲蟲，你無可辯駁地證明了這個圈兒只有一個面。” 麥比烏斯帶就這樣被發現了。
二、有關莫比烏斯帶的小故事
“莫比烏斯帶”有點神秘，一時又派不上用場，但是人們還是根據它的特性編出了一些故事，據說有一個小偷偷了一位很老實農民的東西，并被當場捕獲，將小偷送到縣衙，縣官發現小偷正是自己的兒子。于是在一張紙條的正面寫上：小偷應當放掉。而在紙的反面寫了：農民應當關押。縣官將紙條交給執事官由他去辦理。聰明的執事官將紙條扭了個彎，用手指將兩端捏在一起。然后向大家宣布：根據縣太爺的命令放掉農民，關押小偷。縣官聽了大怒，責問執事官。執事官將紙條捏在手上給縣官看，從“應當”二字讀起，確實沒錯。仔細觀看字跡，也沒有涂改，縣官不知其中奧秘，只好自認倒霉。
縣官知道執事官在紙條上做了手腳，懷恨在心，伺機報復。一日，又拿了一張紙條，要執事官一筆將正反兩面涂黑，否則就要將其拘役。執事官不慌不忙地把紙條扭了一下，粘住兩端，提筆在紙環上一劃，又拆開兩端，只見紙條正反面均涂上黑色。縣官的毒計又落空了。
現實可能根本不會發生這樣的故事，但是這兩個故事卻很好地反映出“莫比烏斯帶”的特點。
三、奇妙的莫比烏斯帶
左圖所示的帶子是由一張紙條的兩端粘接而成。紙的一面稱為帶的內側，而紙的另一面則稱為帶的外側。我們把這樣的曲面叫做“雙側曲面”。如果一只蜘蛛想沿著紙帶從外側爬到內側，那么它非得設法跨越帶的邊緣不可．
右面這張圖所示的是莫比烏斯帶，它也是由一張紙條兩端粘接而成，不過，在粘接前一端扭轉了180°。現在，所得的紙帶已不再具有兩面，它只有一個面，一條邊，這樣的曲面我們就叫它“單側曲面”。設想一只蜘蛛開始沿著莫比烏斯帶爬，那么它能夠爬遍整條帶子而無須跨越帶的邊緣。要證實這一點，只要拿一支鉛筆，筆不離紙連續地畫線．那么，你將會經過整條的帶子，并返回你原先的起點．
莫比烏斯帶的另一個有趣的性質，只要你沿著如下圖所示的帶子中央的虛線剪開把這個圈一分為二，照理應得到兩個圈兒，奇怪的是，剪開后竟然是一個大圈兒。
如果在紙條上劃兩條線，把紙條三等分，再粘成“麥比烏斯圈”，用剪刀沿畫線剪開，剪刀繞兩個圈竟然又回到原出發點，猜一猜，剪開后的結果是什么，是一個大圈？還是三個圈兒？都不是。它究竟是什么呢？你自己動手做這個實驗就知道了。你就會驚奇地發現，紙帶不僅沒有一分為二，反而剪出一個兩倍長的紙圈。
有趣的是：新得到的這個較長的紙圈，本身卻是一個雙側曲面，它的兩條邊界自身雖不打結，但卻相互套在一起。我們可以把上述紙圈，再一次沿中線剪開，這回可真的一分為二了！得到的是兩條互相套著的紙圈，而原先的兩條邊界，則分別包含于兩條紙圈之中，只是每條紙圈本身并不打結罷了。
同學們如果感興趣，可以將紙條四等分、五等分……，做成莫比烏斯帶，剪剪看會出現什么結果。
四、克萊因瓶
莫比烏代很神奇，但是，莫比烏斯帶具有一條非常明顯的邊界。這似乎是一種美中不足。公元1882年，另一位德國數學家費力克斯?克萊茵（Felix Klein，1849～1925），終于找到了一種自我封閉而沒有明顯邊界的模型，以他的名字命名的著名“瓶子”—— “克萊因瓶”。這種怪瓶實際上可以看作是由一對麥比烏斯圈，沿邊界粘合而成。
這是一個象球面那樣封閉的（也就是說沒有邊）曲面，但是它卻只有一個面。在圖片上我們看到，克萊因瓶的確就象是一個瓶子。但是它沒有瓶底，它的瓶頸被拉長，然后似乎是穿過了瓶壁，最后瓶頸和瓶底圈連在了一起。如果瓶頸不穿過瓶壁而從另一邊和瓶底圈相連的話，我們就會得到一個輪胎面。
我們可以說一個球有兩個面——外面和內面，如果一只螞蟻在一個球的外表面上爬行，那么如果它不在球面上咬一個洞，就無法爬到內表面上去。輪胎面也是一樣，有內外表面之分。但是克萊因瓶卻不同，我們很容易想象，一只爬在“瓶外”的螞蟻，可以輕松地通過瓶頸而爬到“瓶內”去——事實上克萊因瓶并無內外之分！
如果把一個克萊因瓶適當地剪開來，我們就能得到兩條莫比烏斯帶。
除了我們上面看到的克萊因瓶的模樣，還有一種不太為人所知的“８字形”克萊因瓶。它看起來和上面的曲面完全不同，但是在四維空間中它們其實就是同一個曲面——克萊因瓶。
五、麥比烏斯圈的應用：
數學中有一個重要分支叫“拓撲學”，主要是研究幾何圖形連續改變形狀時的一些特征和規律的，“麥比烏斯圈”變成了拓撲學中最有趣的單側面問題之一。麥比烏斯圈的概念被廣泛地應用到了建筑，藝術，工業生產中。運用麥比烏斯圈原理我們可以建造立交橋和道路，避免車輛行人的擁堵。
在科技館的展廳里有一個名叫“三葉紐結”的展品。它高12米，整體寬度10米，由三條寬1.65米的帶形成的一根三棱柱經過三次盤繞，將其一端旋轉120°后首尾相接構成。它實際上是由“莫比烏斯帶”演變而成的。它表示著科學沒有國界，各種科學之間沒有邊界，科學是相互連通的，科學和藝術也是相互連通的！
在世界特殊奧林匹克運動史上，莫比烏斯環有著特殊的意義，其象征著連接起全世界智障人士的友誼，彰顯出特奧會所崇尚的“轉換一種生命方式，您將獲得無限發展”理念。不久前落成的以2007年世界夏季特奧會會標“眼神”為主題的紀念雕塑，其采用的就是象征著無限發展的莫比烏斯環。
瑞典《不可能的圖形》郵票：瑞典1982年發行的一枚郵票，圖案是一個古里古怪的圖形，如果你用指尖沿著這個古怪的圖形上任何一個面順著一個方向劃下去，結果會發現這是一個在現實中不可能造出來的東西。但如果你就這樣一直順著劃下去，又會回到原來的出發點，似乎這個物體又不荒謬。其實這是一個立體化的“莫比烏斯圈”。發行這枚“不可能的圖形”郵票，意在引導人們關注科學，探索宇宙不解之謎。
莫比烏斯帶為很多藝術家提供了靈感，比如美術家M.C.Escher就是一個利用這個結構在他木刻畫作品里面的人，最著名的就是莫比烏斯二代，圖畫中表現一些螞蟻在莫比烏斯帶上面前行。
FOA建筑工作室的虛擬住宅方案，試圖達到數學上著名的“莫比烏斯帶”所展示的有趣的空間界面特點。
它也經常出現在科幻小說里面，比如亞瑟?克拉克的《黑暗之墻》。科幻小說常常想象我們的宇宙就是一個莫比烏斯帶。由A.J.Deutsch創作的短篇小說《一個叫莫比烏斯的地鐵站》為波士頓地鐵站創造了一個新的行駛線路，整個線路按照莫比烏斯帶方式扭曲，走入這個線路的火車都消失不見。另外一部小說《星際航行：下一代》中也用到了莫比烏斯帶空間的概念。
莫比烏斯帶也被用于工業制造。一種從莫比烏斯帶得到靈感的針式打印機色帶能使用更長的時間，因為可以更好的利用整個帶子。
莫比烏斯帶常被認為是 ∞（無窮大符號）的創意來源，因為如果某個人站在一個巨大的莫比烏斯帶的表面上沿著他能看到的“路”一直走下去，他就永遠不會停下來。但是這是一個不真實的傳聞，因為 ∞ 的發明比莫比烏斯帶還要早。
六、不可能的事情
在這幅名叫“瀑布”的平版畫中存在的不可思議：瀑布是一個封閉系統, 但它卻能使作坊車輪象一臺永動機一樣連續地轉動。
瑞士藝術家Oscar Reutersvard是“不可能圖形之父。他創作出了“不可能圖形” 。 1934年, 他通過一系列立方體造出了第一個不可能三角形。 1982年這幅畫作為瑞典郵票發行。
七、結語
莫比烏斯帶實際是拓撲學中的一個小部分。
拓撲學是19世紀發展起來的一個重要的幾何分支。早在歐拉或更早的時代，就已有拓撲學的萌芽，那時候發現的個別問題，例如哥尼斯堡七橋問題、多面體的歐拉定理、四色問題等，都是拓撲學發展史上的重要問題，后來在拓撲學的形成中占著重要的地位。
總結
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