問題

對于任意的閉合環路，是否總能在其上找到四個點形成一個矩形？

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該問題也被稱為內接矩形問題，而內接正方形問題至今沒有解答方案。

首先我們不再關注單個而是成對的點，并利用矩形的性質：對于平面上任意兩對不同的點 a，c 和 b，d ，只需確保它們有相同的中點，且 a，c 間的距離等于 b，d 點的距離，那么即可以保證這四個點可以組成矩形。這樣尋找閉合環路內接矩形問題就轉化為了尋找兩對點的問題。

我們定義一個函數$f(A,B) = (x,y,z)將環路的上的點對（無序）映射到三維空間上的一個點

設閉合回路位于3維空間中的X-Y平面上，對于給定的一對點，取中點記為M，AB間距離為d，將位于M上方d個單位的點畫出：

對環路上的所有點對進行同樣的操作，則在平面上方畫出了某種曲面：

注意一點重要的性質

$$f(x,x) = x$$?

即該曲面一定以環路為底，同時曲面必定連續。

我們的目標即是要證明這一曲面存在碰撞，即有兩對不同的點對被映射到同一點。

下一步，我們需要找到一個二維曲面，與環路上的點對存在一 一對應關系。

點對可以分為兩種：有序對$(a,b)\neq (b,a)$和無序對$(a,b)=(b,a)$

首先尋找有序對所對應的自然形狀:

將環路在某一點切開并拉直為[0,1]區間的X軸，再用一個區間構成Y軸，這樣在[0,1]x[0,1]上的單位正方形中的點對應環路上的一對點

由于在正方形邊界上存在重復對應的點對（這是因為0和1是同一點），因此將正方形的左右邊界進行粘貼，再對上下邊界進行粘貼，即得到一個環面 ? ? ?

該表面上的每個點都與環路上的有序對一一對應 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

無序對：

由于正方形上的點關于$y=x$對稱，先將其沿對角線對折成三角形。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

需要將三角形的下邊界粘貼到右邊界，此時注意粘貼的方向性。首先沿對角線切開，將其中一個小三角形進行翻轉并重新拼接成為一個小正方形 ? ? ? ? ? ? ? ??

需要將該正方形的黃色邊界再次粘貼，得到莫比烏斯帶，該表面上的每一個點都與環路上的無序對一 一對應 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? 注意到莫比烏斯帶的紅色邊界對應的是$(x,x)$這樣的點對

得到平面上的無序點對所對應的自然形狀是莫比烏斯帶這一結論后，自然存在莫比烏斯帶到三維曲面的一個映射（其實 這三者相互一一對應），而該映射又必須保證莫比烏斯帶的邊界正好映射到平面上的環路。由于莫比烏斯帶的特殊形狀，將它的邊界粘到二維平面必定會使其自身相交（即莫比烏斯帶上不同的兩點對應三維曲面上的同一點），原命題得證。

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參考鏈接：

• Vedio
• Blog

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的用莫比乌斯带巧解内接矩形问题：拓扑学的用处的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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