懶得打字了，直接貼圖上來(lái)。其實(shí)還有別的方法，但是我覺(jué)得沒(méi)有我這個(gè)簡(jiǎn)單快速直觀。下面是問(wèn)題描述：

---

問(wèn)題

在一個(gè)2維賦范線(xiàn)性空間中，給定一個(gè)直角坐標(biāo)系，兩個(gè)向量$\mathbf{a}$,$\mathbf{b}$，坐標(biāo)分別為$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$。

定義內(nèi)積操作 $\mathbf{a}?\mathbf{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$。

證明：$\mathbf{a}?\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta$, $\theta$是兩個(gè)向量的夾角。

證明

只需要旋轉(zhuǎn)一下坐標(biāo)系，重新算一下兩個(gè)向量的坐標(biāo)值，那么利用內(nèi)積定義，即可證明出：

旋轉(zhuǎn)以后，顯然，利用三角函數(shù)定理，可以看出，新的向量 ${\mathbf{a}}^{{}^{\prime }}$,${\mathbf{b}}^{{}^{\prime }}$，坐標(biāo)分別為$(|\mathbf{a}|\cos \theta ,\mathbf{a}\sin \theta )$和$(|\mathbf{b}|,0)$。因?yàn)?strong>旋轉(zhuǎn)以后內(nèi)積不變（證明見(jiàn)文章末尾），再利用內(nèi)積定義，即可得出。

題外話(huà)

這里有幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)：

線(xiàn)性空間，向量空間，內(nèi)積，長(zhǎng)度，距離，坐標(biāo)系，坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)，基，賦范線(xiàn)性空間，內(nèi)積，相似性。

這些都是基礎(chǔ)知識(shí)，除了熟練掌握，要深刻理解起來(lái)，并非易事。

最近在研究雙曲空間，發(fā)現(xiàn)不容易理解透。對(duì)于計(jì)算機(jī)選手，非數(shù)學(xué)系的，如果討論的空間變得復(fù)雜了，比如雙曲空間中，很容易就迷失了方向。所以還是得從基礎(chǔ)構(gòu)建起來(lái)。

評(píng)論問(wèn)題

感謝 “vcfanwxf” 評(píng)論問(wèn)了一個(gè)好問(wèn)題：

• 請(qǐng)問(wèn)“旋轉(zhuǎn)后內(nèi)積不變”又以什么為依據(jù)來(lái)證明呢？

回答：

這里依據(jù)的是正交基旋轉(zhuǎn)的簡(jiǎn)單計(jì)算：假設(shè)旋轉(zhuǎn)矩陣為$R$，$a^{\prime },b^{\prime }$ 為旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)向量$a，b$的新向量，那么：$a^{\prime }=Ra，b^{\prime }=Rb$。再根據(jù)題目里內(nèi)積的定義，可以寫(xiě)成矩陣的形式：
$$a^{\prime }?b^{\prime }=a^{\prime T}{b}^{\prime }=(Ra{)}^{T}Rb=a^T{R}^{T}Rb=a^{T}Ib=a^{T}b=a?b$$
這里$I$就是identiy matrix，因?yàn)槭侵苯亲鴺?biāo)系，也就是正交基，所以旋轉(zhuǎn)矩陣$R$也是正交的，故$R^{T}R=I$.

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的如何证明内积公式的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

如果覺(jué)得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。