問題：求圖中點1到其他各點的最短距離

策略:

把起點1放入初始集合Set中，從剩余的點中，選取到Set(此時Set中只有1個點)距離最近的點，并入集合Set中，

從剩余的點中，找經過集合Set，到起點1的最短距離，將最短邊并入Set集合

依次循環，直到所有的邊都并入Set

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變量的命名：

Set={1,2,,,,,,x}? ? ? //已找到start（本例中是1點）到1,2,,,,,x的最短路徑的點的集合Set

dist[u]：? ? ? ? ? ? ?//從start點開始，經過Set中的點，到u點的最短距離

short[u]:? ? ? ? ? ? ?//從start開始到u的全局最短路徑（不一定經過Set中的點）

可知short[u] <= dist[u]

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證明過程：

命題：算法進行到第k步時，Set中的每個節點Set_i的dist[Set_i]等于全局最短路徑short[Set_i]

(第n步時，dist[n]=short[n]，此時找到點1到所有點的最短距離)

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歸納基礎：

　　k=1，Set={start_point} => dist[start_point] == short[start_point] ==0，命題正確

歸納假設：

　　第k步成立，則第k+1步成立

　　設k+1步選擇了頂點v(v是剩余集合中，經過Set到start_point距離最近的點)

　　該頂點與Set中的u點相連， 想要證明dist[v] == short[v]

　　　　反證法:假設命題不正確，即：存在從起點start_point到點v的更短路徑 L（綠色部分）為最短路徑short[v]，

　　　　該路徑經過集合中的最后一個點為last_point,經過未收錄集合的點集 uncollected_point_set中的，任1個或者多個點到達v.

　　　　本例以單點y為例，多點同理:(v和last_point不可能直接相連，若直接相連，因為dist[v]最后一點經過u,且為最短,此時L必然>=dist[v]，不是更短路徑)

　　　　此時 L == dist[y] + distance[y, v] ==?short[v]

　　　　由題意知，dist[v] <= dist[y] （即：文章開頭的每次從剩余集合中找到距離最短的點）

　　　　=>? ?dist[v] <= L ?==?short[v]

　　　　dist[v]是相對于L更短的路徑=>假設不成立，不存在更短的路徑L為全局最短路徑，第k+1步選擇的點即為全局最短路 => 命題成立！

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參考鏈接

1.? Proof of Dijkstra algorithm

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Dijkstra算法正确性证明的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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