證明定理的方法主要歸納為以下幾種：

1)直接證明：通過證明當 p 為真時 q 必然為真而進行的對 p->q 的證明。
2)反證法：反證法是一種間接證明方法，利用條件語句 p->q 等價于它的倒置 ￢q->￢p 的事實，換句話說，就是通過證明 q 是假時 p 一定是假來證明 p->q 為真。當不容易找到直接證明時用反證會很有效。在反證中，要假設條件語句的結論為假，并使用直接證明法表明這意味著前提必為假。
3)歸謬證明：歸謬證明也是一種間接證明方法，假設我們想證明 p 是真的，假定可以找到矛盾式 q 使得 ￢p->q 為真，因為 q 是假的，￢p->q 為真，我們能夠得出 ￢p 必然為假，這意味著 p 為真。這樣我們的目標就變成了如何尋找矛盾式 q，以此來幫助我們證明 p 為真。因為無論 r 是什么命題，r ^ ￢r 都是矛盾式。也就是說，如果我們能夠證明對某個命題 r，￢p->( r ^ ￢r ) 為真時，就能證明 p 是真的。這種類型的證明稱為歸謬證明。
歸謬也能夠用于證明條件語句。在這樣的證明中，首先假設結論的否定。然后應用定理前提和結論否定得到一個矛盾式。因此可以把條件語句的反證改寫成歸謬證明。
4)窮舉證明：通過檢查一系列的所有情況所建立的結果得到的證明。
5)分情形證明：把情況分解為覆蓋所有可能的單獨情況的證明。一個窮舉證明是分情形證明的特殊類型。
6)不失一般性：假定一個證明可以通過減少需要證明的情形來證明的一個法則。也就是通過證明定理的其中一種情況，其它的一系列情況通過簡單的變化來論證。
7)反例：使得P(x)為假的元素x。
8)構造性的存在性證明：證明具有特定性質的元素存在，通過顯示地方式來尋找這樣的元素。
9)非構造性的存在性證明：證明具有特定性質的元素存在，但不是顯示地尋找這樣的元素。給出非構造性證明的一種普通方法是使用歸謬證明。
10)唯一性證明：證明具有特定性質的元素唯一地存在。
此外，還有許多重要的證明方法有：數學歸納法、康托爾對角化方法、計數論證方法等。這里不做過多的闡述。

下面給出幾個例題來對上述方法進行演練：

給出習題之前，先給出相關的幾個定義：
整數 n 是偶數，如果存在一個整數 k 使得 n = 2k；整數 n 是奇數，如果存在一個整數 k 使得 n = 2k + 1。
若存在則整數 p 和 q（q≠0）使得 r = p / q，那么實數 r 是有理數。不是有理數的實數稱為無理數。
若有一個整數 b，使得 a = b2，則整數 a 是一個完全平方數。

習題：
1、證明：若 n 是奇數，則 n2 是奇數。
2、證明：如果 m 和 n 都是完全平方數，那么 mn 也是一個完全平方數。
3、證明：兩個有理數的和是有理數。
4、證明：如果 m+n 和 n+p 都是偶數，其中 m、n 和 p 都是整數，那么 m+p 也是偶數。
5、證明定理：若 3n+2 是奇數，則 n 是奇數。
6、證明：如果 n 是整數且 n2 是奇數，則 n 是奇數。
7、證明：如果 n=ab，其中 a 和 b 是正整數，那么 a≤√n 或者 b≤√n。
8、證明：如果 n 是完全平方，那么 n+2 不會是完全平方。
9、10、11、12、、、😃
13、證明：若 x 是無理數，則 1/x 是無理數。
14、證明：在任意22天中至少有4天屬于一個星期的同一天。
15、證明：√2是無理數。
16、證明：當 n 是一個正整數，且 n ≤ 4 時，(n+1)^3 ≥ 3^n。
17、證明：在100以內，連續的正整數是全冪數的只有8和9（全冪數是指它能寫成 na，其中 a 是大于1的整數）。
18、證明：當 n 為整數時，有 n2 ≥ n。
19、證明：任意一個完全平方數的最末位數字是：0、1、4、5、6或9。
20、證明：對于整數 x 、y，x2 + 3y2 = 8 沒有解。
21、證明：(x + y)r < xr + yr。這里 x 、y 是正實數，r 是 0<r<1 的實數。

每個問題的解決方法不是唯一地，可用方法有：
直接：1、2、3、4 反證：5、6、7、8、13 歸謬：5、14、15 窮舉：16、17 分情形：18、19、20 不失一般性：21

存在性證明：
構造性的存在性證明：
證明存在某個正整數，可以用兩種不同的方式將其表示為正整數的立方和。
經過大量的計算，如使用計算機搜索，可找到 1729 = 103 + 93 = 123 + 13。因為1729滿足題設要求，得證。
非構造性的存在性證明：
證明存在無理數 x 和 y 使得 xy 是有理數。

證明策略：
前推與后推（回溯）：
給定兩個不同正實數 x 和 y，其算術平均值是 (x + y) / 2 ，其幾何平均值是 √xy，證明算術平均值總是大于幾何平均值。

假定甲乙兩人玩游戲，輪流從最初有15塊的石頭堆中每次取1、2或3塊石頭。取最后一塊石頭的人勝利。證明：無論乙如何取，先取的甲都能贏得游戲。

改造現有證明：根據√2是無理數的證明過程，推測√3是無理數（注：需要用到數論方面的知識）。

另：有關行動證明策略的幾個問題
1、我們能用骨牌(一塊長方形，由兩個方格組成)填充標準棋盤(8x8)嗎？
2、我們能用骨牌填充去一角/鄰角/對角的標準棋盤嗎？

相關術語的概念：
定理：可以證明為真的數學斷言。
公理：常作為證明定理的基礎，并假設為真的命題。
循環論證或偷用論題：一步或多個步驟基于待證命題的正確性的推理。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的证明定理的方法归纳的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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