昨天 Rocket101 孟美岐 發歌了，剛剛看到，猶豫了一會磕不磕。最后含是氪了一發，唱的含行，可惜旋律一般好聽，沒有加入歌單。

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用莫比烏斯帶巧解內接矩形問題：拓撲學的用處。——3Blue1Brown
以下圖片部分來自視頻。

問題描述

在一個平面上，有一個首尾相接的、與自身無交點的曲線，求證：在這個曲線上，至少存在一組點 $A,B,C,D$ ，使四邊形 $ABCD$ 是矩形。

感悟

視頻用拓撲學的知識感性地證明了命題，最好全神貫注且耐心地觀看一次。
下面是筆者的復述。

復述過程

證明： 以該曲線所在平面作為 $X?Y$ 面，建立空間直角坐標系 $X?Y?Z$。
設曲線上有兩點 $X(a,b,0),Y(c,d,0)$。
定義函數$$f(X,Y)=(\frac{a+c}{2},\frac{b+d}{2},\sqrt{(a?b{)}^2+(c?d{)}^2})$$
換句話說，設 $M$ 是線段 $XY$ 的中點，線段 $XY$ 的長度為 $dis$，則 $f(X,Y)$ 是在點 $M$ 正上方 $dis$ 長度的點。如下圖所示。



對于 $?\{X,Y\}$，它們的 $f$ 點在坐標系中形成了一個曲面。

設矩形 $ABCD$ 對角線 $AC$ 與 $BD$ 的交點為 $O$，則 $AO=OB,CO=OD$。不難得到，若一點 $M$ 既是線段 $X_1{Y}_1$ 的中點，也是線段 $X_2{Y}_2$ 的中點，且 $X_1{Y}_1=X_2{Y}_2$，則 $X_1,Y_1,X_2,Y_2$ 四個點一定能圍成一個矩形。

此時 $f(X_1,Y_1)=f(X_2,Y_2)$ ，所以問題轉化為：證明 $f$ 圍成的曲面 自交 （此處的自交指的是，自己與自己有交點，也就是有重合的點）。

那這個東西怎么證呢？


考慮在這個曲線上選定一點，并沿這個點將曲線剪開，再拉直成一條線段。這樣，曲線上的點就與這條線段上的點一一對應了。

不妨設這條線段的長為 $1$，并以其一端點為原點，線段方向為坐標軸正方向，建立平面直角坐標系。如下圖所示。

我們不妨加上兩條邊，讓它們與坐標軸圍成一個邊長為 $1$ 的正方形。

不難發現，對于 $?p\in [0,1]$ 此坐標系上的點 $P(0,p)$ 和 $P(1,p)$，它們在曲線上對應的點是重合的。
換句話說，它們表示的曲線上的點是等價的。
同理，上下兩條邊上對應點表示的曲線上的點也是對應等價的。

那我們就可以把這個正方形卷起來，使左右邊重合。這樣就卷成一個無蓋圓柱。

同理，如果我們再把上下兩邊卷起來，就得到一個形如

的環面。（沒錯，就是看到這里我投了兩個幣）


仔細觀察那個邊長為 $1$ 的正方形。我們發現：將 $(0,0)$ 和 $(1,1)$ 連成線段，這個正方形上所有的點關于這條線段對稱。如下圖所示。

我們不妨沿這條對角線折疊，得到一個三角形。這樣，除切割點外，曲面上的每一個點在這個三角形上出現且僅出現一次。

再次嘗試將這個三角形拼接。請讀者自己試試，再往下看。






這次，我們得到了一個莫比烏斯環。
容易得到，一莫比烏斯環的邊線的平面投影一定有自交，所以一定存在兩組不同的自變量使得它們的 $f$ 函數值相同。

你可以這么理解。既然莫比烏斯環上的每個點分別代表曲線上的一個點，當你嘗試把莫比烏斯環映射到一個平面時，一定有兩個 $f$ 點是重合的。

而且，它們連成的線段一樣長，且這兩條線段的中點重合。所以這四個點可以圍成矩形。$\text{Q.E.D..}$

那如果是正方形呢？

總結

以上是生活随笔為你收集整理的《用莫比乌斯带巧解内接矩形问题：拓扑学的用处》学习笔记的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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