利用概率理論預測和決策

老樣子，書還是用一個情境幫助我們學習概率：假如你在一個賭場，你有一些籌碼，“輪盤賭”正在進行，對此你也非常的感興趣。

輪盤賭簡介

莊家轉動一個輪盤，隨后朝相反方向擲出一個小球，賭者將賭注押在他所料定的停球位置。

肥蛋賭場所用輪盤有38個停球位置，主球位編號1-36，顏色或黑或紅；另有兩個球位編號0和00，均為綠色。輪盤賭樣子如下：

輪盤賭的下注方式五花八門。例如，可以讀一個特定數字（奇偶均可），可以賭球位顏色，開局后還會有人宣布各種其他賭法。再就是記住：如果停在綠色球位，你就輸了。

使用輪盤板可以方便地查看數字與顏色組合：

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概率與事件

概率是量度某事發生幾率的一種數量指標。你可以用概率衡量發生某件事的可能性或者不會發生某事的可能性。

事件，統計學用它表示有概率可言的任何事情，換句話說，事件就是人們能指出其發生可能性的任何事情。

概率的量度尺度是0-1，0表示不可能發生，1表示必然發生。下面是用概率比例尺示意的幾個例子：

事件：有概率可言的一個結果或一件事

書上的例子可以幫助理解，輪盤板共有38個球位，數字7有1個球位，那么“停球結果為7”的概率為1/38=0.026，其概率非常的小，我們最好不要這么猜。

由上可知，我們的計算公式為：

$$概率=\frac{押中賭注的可能數目}{所有可能結果的數目}$$

更通用的方法來表述概率，對于事件A的概率：

$$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}$$

S被稱為概率空間，或稱樣本空間，是表示所有可能結果的一種簡便表示法。可能發生的時間都是S的子集。

舉個例子，投擲一個硬幣，S為“硬幣為正面+硬幣為反面”，事件A我們可以規定為“硬幣為正面”，那么$P(A)=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$

維恩圖

維恩圖可以幫助我們用圖形的方式表示概率。其方法是這樣的：畫一個方框表示樣本空間S，然后畫幾個圓圈代表各個相關事件。

在維恩圖上，可以標明數字，或者實際概率，或者不標，取決于你自己。

對立事件

對立事件A’：表示 “A不發生”事件。由于A’包含事件A所不包含的所有可能性，因此A和A’肯定包含每一種可能發生的事件。也就是上面圖片中，A為圓圈，A’為圓圈外長方形內的圖形。

例如，輪盤賭停在數字7是事件A，那么對立事件A’表示輪盤賭不停在數字7。它們的概率之和肯定為1。
$$\begin{gathered} P(A)+P(A^{\prime })=1 \\ P(A^{\prime })=1?P(A) \end{gathered}$$

問：有沒有什么東西能同時存在于事件A和事件A’中？

答：沒有。A’的意思是不存在A中的各種事物。如果某個要素存在于A中，則這個要素不可能存在于A’中。這兩個事件是相斥的，因此兩者不會共用任何要素。

互斥事件的相加

如果我們要賭球停在紅色或黑色位置上，我們這樣計算（這里表示把事件A看成黑或紅的數目）：
$$P(黑或紅)=\frac{36}{38}=0.947$$
還可以這樣計算（這里表示兩個事件的相加）：
$$P(黑或紅)=P(黑)+P(紅)=\frac{18}{38}+\frac{18}{38}=0.947$$
我們也可以這樣計算（這里表示取其對立事件 - 綠’）：
$$\begin{gathered} P(黑或紅)=P({綠}^{\prime }) \\ =1?P(綠) \\ =1?0.053 \\ =0.947 \end{gathered}$$
因為黑和紅，兩者是互斥事件，可以用上面的三種方法計算。

互斥事件與相交事件

互斥事件：如果兩個事件是互斥事件，則只有其中一個事件會發生。

例子：小球停在黑色球位和小球停在紅色球位只有一件事能發生，不能同時發生。

相交事件：如果兩個事件相交，則這兩個事件有可能同時發生。

例子：小球停住黑色球位和小球停在偶數球位，它們有可能同時發生（當然啦也可能不同時發生，比如停在黑色奇數球位上）。

交集與并集

如果要計算“停球結果為黑色或偶數”的結果，我們不能像上面“黑色或紅色”一樣直接相加，這樣會導致將“黑色兼偶數”球位算了兩次。

如果$P(黑或偶)=P(黑)+P(偶)$，這樣會導致中間的黑色部分被加了兩次。

所以我們需要這樣計算：

$P(黑或偶)=P(黑)+P(偶)?P(黑兼偶)=18/38+18/38?10/38=26/38=0.684$

并集與交集

在統計學中，可以有更簡便的數學符號，上面的“或”是“并集”（$\cup$）的表示，上面的“兼”是“交集”（$\cap$）的表示。

$A\cap B$表示“A與B的交集”，這里符號可以被理解為“與”，它求出不同事件的共同要素。

$A\cup B$表示“A與B的并集”，這個符號可以被理解為“或”，它包含數據A及B的所有要素。

如果P($A\cup B$)=1，則我們說A與B窮舉。它們一起形成整個S，它們窮舉所有可能性。

因此，上面的式子也可以寫成：

$P(黑\cup 偶)=P(黑)+P(偶)?P(黑\cap 偶)$

A或B公式：$P(A\cup B)=P(A)+P(B)?P(A\cap B)$

互斥與窮舉

• 如果事件A與事件B為互斥事件，則$P(A\cap B)=0$，隨后$P(A\cup B)=P(A)+P(B)?0$
• 如果事件A與事件B為窮舉事件，則$P(A\cup B)=1$

這里有一道例題，大家可以思考一下再看答案：

小知識：A和A’是互斥的，也是窮舉的

$P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap B^{\prime })$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【读书笔记-＞统计学】04-01 利用概率理论预测和决策-概率与事件、维恩图、互斥与相交事件、交集与并集概念简介的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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