概念引入：

全稱為Adleman-Mander-Miller Method。在1977年他們發表的論文里只涉及了開平方根的方法，開n次方根并沒有很詳細的介紹。《Adleman-Manders-Miller Root Extraction Method Revisited》里三位中國人補充了他們開n次方根的方法。

?可參考論文：AMM算法論文原稿

算法思路：?

一、平方根（≡ a?mod p）

即是我們常說的二次剩余定理的求解，在AMM算法中求解思路如下：

求解步驟如下：

1、由二次剩余定理成立條件可知，? ——（1）成立；

2、我們可以找到一個q值滿足? ?? ——（2）；

3、將（1）中表達式開方即可求得? ——（3）

=>由a^2 = 1 mod p? ?==>? ?a = 1or-1 mod p推導可得

4、判斷等于1還是-1：（且奇數時）

當等于1時：不做任何多余操作；

但等于-1時：將（3）式和（2）式相乘成為新的（3）式；

5、將（3）進行重復上式中的3和4操作，直到我們推導得（奇數時）

兩邊同乘（2）式，并開方即是我們所需的x值。

?

二、n次方根（）?

1、我們可知費馬小定理：? ——（1）

=>???=> 代入，將a用替換即可代換為（1）式；

2、我們可知AMM算法求解的情況為 r | （p-1） 的情況，所以我們可以寫出以下條件：

p-1 = r^t * s

3、找到一個q值使其滿足??? ——（2）

4、找到一個值，使其滿足 s | (r*-1)，可推導得：——（3）

分類討論：

（1）t=1時：

直接兩邊同乘a值，再對兩邊同時開r次方導，帶入（1）式，即可求得x的值；

（2）t>=2時：

=>取（2）式可推導得：

其中K是對（3）式開r次方所有可能解的集合

當我們算Ki^r時，通過歐拉定理，我們可知Ki^r == 1 mod p

=>Ki * Kr-i =,通過歐拉定理可得Ki*Kr-i == 1 mod p

接下來，開始像第一個中解平方根的思路開始求解第二種情況：

1、對（3）式開r次方，得到

2、可得到

兩邊同時乘以Kj可得

即是

?判斷r^(t-j)是否為r，重復進行上述的1和2操作

3、當結束后，我們可得以下等式:

4、兩邊同時乘以a值，可得

帶入（1）式，對兩邊同時開r次方，我們可以求得我們所需的x值：

?得證

?

?

?

總結

以上是生活随笔為你收集整理的AMM算法简要理解（Adleman-Mander-Miller Method）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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