1、精度丟失

作為程序員大家應該都遇到過下面這種情況，用浮點數做運算，發現結果與預期有偏差，比如下面的JAVA代碼

public static void main( String[] args ){int i = 3;float j = 0.9f;System.out.println("3乘以0.9的結果是：" + i*j);}

用一個整數3乘以浮點數0.9，期望結果是2.7，實際結果卻是

與2.7相差0.0000002，這道連小學生都不會算錯的題目，為什么計算機會算錯？真正的原因要從計算機保存浮點數的底層原理說起。

2、計算機如何保存浮點數

2.1、二進制小數

在計算機中數字使用二進制方式存儲，所以理解浮點數的第一步是理解如何用二進制表示小數。

首先，對于我們比較了解的十進制，可以使用下面的公式表示：

d_md_m-1···d₁d₀.d_-1d_-2···d_-n

d的取值范圍是0-9的任意數字。
m則從左向右依次遞減，在小數點左邊m=0，小數點右邊m=-1。

在小數點左邊的數字，取10的m次正冪，得到整數。小數點右邊則取10的m次負冪，得到小數。例如12.34 表示數字

1×101+2×100+3×10?1+4×10?2=12341001×101+2×100+3×10?1+4×10?2=1234100

同樣的，二進制小數也可以用類似方式表示，b的取值范圍變成了0-1，小數點左邊計算2的m次正冪，右邊計算2的m次負冪。例如101.11 表示數字

1×22+0×21+1×20+1×2?1+1×2?2=5341×22+0×21+1×20+1×2?1+1×2?2=534

但是這種表示方法并不完美，存在兩個缺陷。

1) 無法準確的表示所有數字。

例如十進制小數0.20，我們無法通過二進制小數來準確表示，只能不斷增加二進制長度來提高精度。

二進制值十進制

0.0	0202	0.0
0.01	1414	0.25
0.0011	316316	0.1875
0.001101	13641364	0.203125
0.00110011	5125651256	0.19921875

從上圖可以看到，數字的值在不斷的接近0.20，但是始終存在偏差。

2) 無法有效表示非常大的數字。

例如表達式 5×2^100 是二進制101后面跟了100個0，如果用上面的方式表示非常浪費空間。

因此，人們需要一種更加簡潔的方式來表示浮點數。1985年，Intel公司贊助美國加州大學的William Kahan教授，設計了一套處理器浮點數標準，這個標準最終被IEEE(電氣和電子工程師協會)借鑒，制定出IEEE浮點標準。目前，所有的計算機都支持這個標準。

2.2、IEEE 浮點標準

根據IEEE 浮點標準，任意一個二進制浮點數V可以表示成下面的形式：

V = (-1)^s × 2M × 3^E

符號(sign) s表示符號位，當s=0，V為正數；當s=1，V為負數。

尾數(significand) M是一個二進制小數，1≤M<2。

階碼(exponent) E的作用是對浮點數加權，這個權重是2的E次冪(可能是負數)

比如十進制的11.0，寫成二進制就是1011.0，用IEEE標準表示就是(-1)^0 × 1.011 × 2^3 ，s=0，M=1.011，E=3。

那么，計算機是如何存儲s，M，E這三個值呢？如果是一個單精度(32位)浮點數，計算機會在內存中開辟一個32位的存儲空間，最高1位保存s，中間8位保存E，最后23位保存M。

如果是一個雙精度(64位)浮點數，則開辟64位的存儲空間，最高1位保存s，中間11位保存E，最后52位保存M。

對于符號s，存儲值非0即1。

對于尾數M，只保存后面的小數部分。這是由于1≤M<2，在計算機內部保存M時，默認這個數的第一位總是1，因此可以被舍去，這樣做的好處是可以節省一位有效數字。

而對于階碼E，情況較為復雜。

首先，E要通過中間值換算得到真實值。這是由于E要能夠表示負數，也就是負次冪。而E本身是無符號的，因此IEEE浮點標準規定，在計算真實值時，E要減去一個中間值。單精度情況下，E減去127，雙精度情況下，E減去1023。

以二進制數1011.0為例，E的真實值是3，但是存儲在計算機中是3+127=130(單精度)，換算成二進制就是10000010。

另外，當E的值不同時，對最終結果計算方法也不一樣，一共有下面三種情況。

1) 當E不全為0，也不全為1時。
　表示規格化形式的數字。此時E減去中間值得到真實值，M的整數部分取1。

2) 當E全為0時。
　表示非規格化形式的數字，主要是0或者非常接近于0的數。此時E減去中間值得到真實值，M的整數部分取0。

3) 當E全為1時。
　表示特殊值。如果M全為0，表示±無窮大(正負取決于符號s），如果M不全為0，表示這不是一個數（NaN）。
　

3、精度丟失的原因

了解了原理，現在我們可以開始分析精度丟失的原因，下面我們來模擬計算機的運算過程。

• 第一步，將十進制結果轉換成二進制。文章開頭的例子中，十進制結果是2.7，由于2.7無法用二進制精確表示，因此出現第一次精度丟失。

2.7 => 10.10110011001…

• 第二步，用IEEE標準表示二進制浮點數，得到s=0，M=1.010110011001…，E=1。

10.1011001… => (-1)^0 × 1.01011001… × 2^1

• 第三步，按照IEEE標準保存數據。此時是單精度浮點數，M只能保存小數點后23位，多余的部分被丟棄了，因此出現第二次精度丟失。下面是計算機中實際保存的結果。

1位8位23位丟棄

0	10000000	01011001100110011001100	11001…

* 第四步，從內存中取出二進制數值，還原成十進制后顯示在屏幕上。由于前面已經經歷了兩次精度丟失，因此還原出來的結果也就不正確了。

4、如何避免精度丟失

• 使用整數替代浮點數。二進制整數可以完整的表示所有十進制整數，不存在精度丟失問題，因此我們可以將小數位數固定或者較少的數字轉換成整數存儲。比如存儲貨幣金額，如果存儲單位是元，則需要保留兩位小數，例如23.45元。如果將單位改成分，則可以完全使用整數存儲，例如2345分。

• 使用特殊類處理高精度運算。例如JAVA中的Bigdecimal類。不過要注意，使用這些特殊類雖然可以解決精度問題，但有可能帶來其它問題，JAVA中的Bigdecimal類在處理性能上就比float和double要低很多。

博文地址

https://www.taowong.com/blog/2018/07/10/principle-of-computer-float-num.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的计算机原理-浮点数存储的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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