熟能生巧，大多數的解題步驟或者思路都可通過訓練獲得。將事情重復做，即使剛開始你感覺素手無錯，一臉茫然，但是通過重復訓練，最終也能夠游刃有余。

---

題目來源：第十二屆藍橋杯青少年國賽C++中級組-編程題4

這是一道DP(動態規劃)的題目，大家都知道，DP算法的效率極高，但是較難理解。在很多算法的題解中對 DP在該題中的應用思路? 只簡單提了幾句。我們來看一道題，或許題解過程能讓你對DP的理解更加深入一些。

題目內容：

校慶，采購瓜子。資金N(1<=N<=1000)元，M(1<=M<=30)種瓜子。問最多能采購多少千克的瓜子？比如N=80元，M=2種。第1種，每袋18元10千克；第2種，每袋30元20千克。

輸入樣例：

80 2

18 10

30 20

輸出樣例

50

提示：18+30+30=78元 10+20+20=50千克

---

分析：

這是完全背包問題，是一道模板題，是必須要掌握的(背代碼也要背下來)。那什么是完全背包問題呢？

完全背包問題：一般是指，有N件物品和一個能背重量為W的背包，第i件物品的重量為weight[i]，價格為value[i]。每件物品有無限個(也就是可以放入背包多次)，求怎樣可以使背包物品價值總量最大。

本道題我們完全可以套模板。資金N元(按照完全背包問題的解釋，我們可以把N看成W)，即有M種瓜子，有資金N元，求怎樣可以使買的瓜子重量最多？

動態規劃算法最重要的兩點是：

1、確定dp數組和下標的含義? ? ? ? 2、確定遞推公式(選或者不選物品)

本題中的dp數組我們可以這樣定義：int dp[50][1010];?

dp[i][w]代表 - 前i個物品，在價值為w的情況下，最大的重量是dp[i][w]

因為M<=30，物品的數量不會大于30，所以dp的第一個維度，我們設置一個大于30的長度即可。資金W<=1000，dp的第二個維度代表資金，資金<=1000，所以第二個維度我們設置一個大于1000的長度即可。

---

該題中涉及到的數據結構有：

數據的輸入

輸入資金和瓜子種數

?

數據的處理

此步是最核心最關鍵的，我們定義了dp[i][w]數組，該數組的含義代表前i個物品，在價格為w的情況下，最大的重量是dp[i][w]，對于本題的例子當N=80，M=2的情況下，最多能買50kg的瓜子。即求出dp[2][80]的值。

在dp中，要求出dp[i][j]的值，需要通過遞推計算而來。

注意：要認真區別此處各種符號表示的含義。

對于每一種瓜子，都有選與不選兩種選擇。dp數組的初始化，當i=0或者w=0的情況下，dp[i][w]均為0，因為dp[0][w]代表前0件商品，在價格為w的情況下，最大的重量，既然沒有商品，那么最大的重量肯定為0，dp[i][0]代表前i件商品，在資金為0下，最大的重量，既然沒有資金，那么最大的重量肯定為0.

以資金=80，種類=2為例，有：

dp[0][0],dp[0][1],dp[0][2],dp[0][3],dp[0][4]……dp[0][80]的值均為0.

dp[0][0],dp[1][0],dp[2][0],dp[3][0],dp[4][0]……dp[50][0]的值均為0.

可通過嵌套for循環進行遞推，利用for循環求出dp[i][w]

在當前資金j不夠買第i種瓜子的情況下，dp[i][j]的值等于dp[i-1][j]的值，dp[i-1][j]代表前i-1種瓜子，在價格為j下，最大的重量為dp[i-1][j].

比如對于dp[1][16]，在前1種瓜子下，當前資金是16元，但是根據題目意思，第1種瓜子的價格為18，所以dp[1][16]=dp[0]=16]=0千克，無法買瓜子，所以最大重量為0

再比如對于dp[1][18]，在前1種瓜子下，當前資金是18元，第1種瓜子的價格剛好為18元，資金足夠，根據代碼dp[1][18]=max(dp[0][18],dp[1][0]+10)=10千克，所以最大重量為10千克

再比如對于dp[2][19],，在前2種瓜子下，當前資金是19元，當前第2種瓜子的價格為30元，資金不夠，因此dp[i][j]=dp[i-1][j]=dp[2][19]=dp[1][19]=10千克

對于每一種瓜子，只有買和不買兩種選擇，對于前i種瓜子，在現有資金為j下，如果資金足夠，我們可以買，也可以不買，那到底買不買呢？

買不買取決于：如果不買的重量比買了的重量更大，就不買，如果買了的重量比不買的重量更大，就買。本題例子的輸入，不好解釋dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-wt[i]]+v[i]);這一現象，我們可以更改一下輸入，即?

80 2

30 20

18 10

比如要求：dp[2][30]=max(dp[1][30],dp[2][30-18]+v[2])=max(20,10)=20，前2種瓜子，當資金為30，最大的重量為20.因為當資金30時，如果不選擇買18元的瓜子，就有20千克，如果選擇買18元的瓜子，最終的重量就只有10千克

注意：這里是一種瓜子可以被選擇多次。

數據的輸出

n代表瓜子的數量，w代表錢的數量，對于本道題而言就是dp[2][80]=50?

遞推表格(演示樣例，當資金=80元，瓜子種類數為2種時，最大的重量)：

?

代碼實現：

#include<bits/stdc++.h> using namespace std;int dp[50][1010]; //表示，前i個物品，在價值w的情況下，最大的重量是dp[i][w] int wt[1010],v[50]; //wt是價格，v是重量 int n,w; int main() {cin>>w>>n; for(int i=1;i<=n;i++)cin>>wt[i]>>v[i]; //wt[i]代表第i種瓜子多少錢 v[i]代表第i種瓜子多少千克 for(int i=1;i<=n;i++) //遍歷n種瓜子，每種要么選，要么不選 {for(int j=1;j<=w;j++) //j是價格 {if(j>=wt[i]) //wt是價格 {if(dp[i-1][j]>dp[i][j-wt[i]]+v[i]){dp[i][j]=dp[i-1][j];}else{dp[i][j]=dp[i][j-wt[i]]+v[i];}}else{dp[i][j]=dp[i-1][j]; }}}cout<<dp[n][w]<<endl;return 0; }

總結：

動態規劃的題目還是要多做，做著做著自然會有靈感，如果你一開始覺得很難，就不去動手敲代碼，那你永遠也學不會動態規劃，不僅動態規劃，其它題目也是如此。最后送給大家一句話學如逆水行舟不進則退。

大家可以進微信群討論數據結構與算法，也有資源分享給大家：微信號Q1313135，非誠勿擾.

總結

以上是生活随笔為你收集整理的动态规划之买瓜子—C说算法系列的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。