目錄

• 圖靈機(jī)(turing machine)
• 例子
• 格局(configuration)
• Turing's Thesis

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圖靈機(jī)(turing machine)

學(xué)過計算機(jī)的人總歸會多或少得聽說過圖靈機(jī)這種東西，但是圖靈機(jī)究竟是什么呢？圖靈機(jī)其實(shí)也是自動機(jī)的一種，并且圖靈機(jī)會在狀態(tài)轉(zhuǎn)換過程中操作一個無限的tape

tape的樣子如下圖所示，tape里面包含字符，其中后面那個兩豎一橫的符號是blank的意思，它是一個特殊的字符，用來填滿無限的tape

tape head指向當(dāng)前tape上的字符

tape上的操作

• 可以對tape head指向的字符進(jìn)行讀/掃描操作
• 可以對tape head指向的字符進(jìn)行寫/更新操作
• 將tape head左移一格
• 將tape head右移一格

操作規(guī)則：
1、
每一步操作都要執(zhí)行一下操作

• 讀取當(dāng)前的字符
• 更新當(dāng)前格子中的字符
• 左移一格或者右移一格

如果當(dāng)前tape指向最左邊的格子，那么執(zhí)行左移操作將不會發(fā)生移動

如果你不想更改當(dāng)前格的字符，那么執(zhí)行更新操作的時候只要讓它更新為和當(dāng)前字符一樣即可

2、
操作行為類似于有限狀態(tài)機(jī)

有初始狀態(tài)

終止?fàn)顟B(tài)有兩種：

• accept state
• reject state

計算結(jié)束后狀態(tài)會變成下列三種中的一種：

• 終止并且接受(accept)
• 終止并且拒絕(reject)
• 循環(huán)(loop，就是說沒有終止)

下面是圖靈機(jī)的正式定義，Turing Machine可以表示為一個七元組$(S,\Sigma ,\Gamma ,\delta ,s_0,b,F)$

• S是一組狀態(tài)的集合
• $\Sigma$是輸入字母表
• $\Gamma$是tape的字母表
• $\delta$是轉(zhuǎn)換函數(shù)
• $s_0$是初始狀態(tài)
• $b$是空符號
• $F$是終止?fàn)顟B(tài)的集合(包括accept或reject)

轉(zhuǎn)換函數(shù) $\delta$定義為:
$$S\times \Sigma \to \Gamma \times (R/L)\times S$$

這里的(R/L)就是執(zhí)行左移或者右移操作，R就是向右(right)移動，L就是向左(left)移動

以下面這張圖為例，在圖上$0\to 1,R$代表的含義是，在狀態(tài)A時接收字符0，那么將會轉(zhuǎn)變?yōu)闋顟B(tài)B，并且在當(dāng)前磁頭位置寫下1這個字符，然后磁頭向右移動一格

例子

接下來我們通過構(gòu)建一個圖靈機(jī)，并且實(shí)際運(yùn)算一下，看看圖靈機(jī)究竟是如何進(jìn)行計算的

我們要構(gòu)建圖靈機(jī)，用于計算n+1函數(shù)，下圖的初始狀態(tài)是q1，結(jié)束狀態(tài)是qa

假設(shè)輸入的數(shù)字為1011（二進(jìn)制），初始時tape head指向第一個值

第一步讀取一個1，自動機(jī)會通過$1\to 1，R$這個轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換后仍然變成$q_1$，在第一格寫入1，并將tape head右移一格

接下來的步驟和上面一樣分別讀取0,1,1仍然轉(zhuǎn)變?yōu)?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">$q_1$，并且寫上和原來相同的數(shù)字

這時候的tape head指向了空字符，按照狀態(tài)機(jī)的轉(zhuǎn)換$q_1$只能轉(zhuǎn)變?yōu)?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">$q_2$，要注意的是，tape head會往左移動一格

我們看看$q_2$這邊的轉(zhuǎn)換，碰到1就寫入0，并且向左移動tape head，因為按照二進(jìn)制加法的邏輯，最后一位如果是1，那么+1后變成0，并且會進(jìn)一位，如果最后一位是0，那么就直接變成1就行了，故此有了圖上$q_2$的轉(zhuǎn)換

再執(zhí)行一次上面的操作

這次讀取到了0，所以狀態(tài)$q_2$將會轉(zhuǎn)變?yōu)?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">$q_3$，并且將0覆寫為1，然后向右移動一格

來到了$q_3$狀態(tài)，在這個狀態(tài)下，只要單純向右移動即可，因為寫入的數(shù)字是相同的

終于到了最后一步啦，看到讀取空字符，然后$q_3$狀態(tài)就會轉(zhuǎn)變?yōu)?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">$q_a$的接受狀態(tài)，因為到達(dá)了終止?fàn)顟B(tài)，滿足了圖靈機(jī)的終止條件，所以圖靈機(jī)運(yùn)行完畢

我們來看看，我們輸入的數(shù)字是1011，然后輸出的數(shù)字是1100，所以我們實(shí)現(xiàn)的這個圖靈機(jī)完成了n+1這個函數(shù)的操作步驟

格局(configuration)

configuration翻譯成了格局，但這個東西其實(shí)就是一個圖靈機(jī)在當(dāng)前狀態(tài)下的快照，由當(dāng)前狀態(tài)下tape中的字符，tape head指向的位置，以及當(dāng)前自動機(jī)的狀態(tài)這三個元素組成，可以簡單的用如下圖所示圖靈機(jī)的格局

用字符串表示格局的話，是類似于下面這樣的：

$?$ 1100$q_1$ 11001

$?$符號代表開始位置，里面的$q_1$代表當(dāng)前的狀態(tài)，里面的字符代表的tape中的字符，tape head指向的是狀態(tài)右邊的第一個字符，所以在這個例子里面，tape head指向的是1

Turing’s Thesis

Turing’s Thesis
1、任何能被數(shù)字計算機(jī)執(zhí)行的事情，Turing Machine同樣也能夠完成（從這里可以看出Turing Machine能力相當(dāng)強(qiáng)大）
2、如果你能寫出一個算法來解決某個問題，那么同樣可以寫出一個圖靈機(jī)程序來解決相同的問題

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的软件理论基础学习笔记——图灵机的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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