本文承接上篇博客奈奎斯特穩定性判據的推導

我們來看頻域分析中的非常重要的概念：穩定裕度

首先來看穩定裕度的定義：若$Z=P?2N=0$(其中$P=0$)，則奈奎斯特曲線$G(jw)H(jw)$過$(?1,j0)$點時，系統臨界穩定，相頻和幅頻同時滿足條件:

$$\{\begin{array}{l}A(\omega )=1\\ \phi (\omega )=(2k+1)\pi k=0,\pm 1,\pm 2,?\end{array}$$

系統遠離平衡點的程度，即可用穩定裕度來表示，如下圖所示：

Q:為什么穿越$(?1,j0)$點時為臨界狀態？

A:可以看出，在穩定裕度的定義中假定了$P=0$，即系統的開環正極點數為0，由奈奎斯特穩定性判據，系統的閉環正極點數為$Z=2N$，奈奎斯特曲線逆時針包圍$(?1,j0)$點的圈數(沿相角增大方向穿越$(?1,j0)$左半實軸次數)即為閉環正極點數，我們自然想到，若系統奈奎斯特曲線均在$(?1,j0)$點右側，那么就不存對$(?1,j0)$左半實軸的穿越，閉環系統也就沒有正極點了，所以$(?1,j0)$點是系統穩定的臨界點，穩定裕度刻畫了系統從穩定狀態變化到不穩定狀態時幅值和相角的”變化程度”；

注意：穩定裕度只對最小相位系統適用，因為在穩定裕度的定義中假定了系統沒有開環正極點(這里稍微有些疑惑，最小相位系統是指在$s$右半平面既無零點也無極點的系統，而此處只說明了系統開環傳遞函數沒有正極點)

相角裕度$\gamma$

系統截止頻率$w_c$處，幅值滿足條件$A\left({\omega }_c\right)=\left|G\left(j{\omega }_c\right)H\left(j{\omega }_c\right)\right|=1$時，若其相角再減小$\gamma$后，將達到臨界穩定條件(穿過$(?1,j0)$點)，即：

$$\angle G\left(j{\omega }_c\right)H\left(j{\omega }_c\right)?\gamma =?180^{°}$$

所以：

$$\gamma =180^{°}+\angle G\left(j{\omega }_r\right)H\left(j{\omega }_c\right)$$

稱為相角裕度。

當$\gamma >0$時，系統穩定；當$\gamma =0$時，系統臨界穩定；當$\gamma <0$時，系統不穩定。

幅值裕度$h$

設系統的穿越頻率為$w_x$，$w_x$滿足相角條件

$$\phi \left({\omega }_x\right)=\angle G\left(j{\omega }_x\right)H\left(j{\omega }_x\right)=(2k+1)\pi ,k=0,\pm 1，\pm 2，\dots$$

若幅值再增大$h$倍后，系統達到臨界穩定條件，即：

$$h\left|G\left(j{\omega }_x\right)H\left(j{\omega }_x\right)\right|=1$$

可得：

$$h=\frac{1}{\left|G\left(j{\omega }_x\right)H\left(j{\omega }_x\right)\right|}$$

若在對數坐標系下，則：

$$h(\mathrm{d}\mathrm{B})=?20\lg \left|G\left(j{\omega }_x\right)H\left(j{\omega }_x\right)\right|$$

$h$稱為幅值裕度。

當$h>1$或者$h>0dB$時，系統穩定；當$h=1$或者$h=0dB$時，系統臨界穩定；當$h<1$或者$h<0dB$時，系統不穩定。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的频域分析之稳定裕度的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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